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1、极限的理论及在极限的理论及在新概念形成过程中的新概念形成过程中的应用应用内容提要内容提要 针对针对目前高中部分目前高中部分数学教师对极数学教师对极限思想限思想教学教学中中由于思由于思维维的的局限性和局限性和对衔对衔接初等接初等数学与数学与高等高等数学数学这这一思想的重要性一思想的重要性认识认识不足，本文不足，本文拟拟从极从极限思想的限思想的产产生生与与发发展展; ; 极极限思想的理限思想的理论论内内涵涵; ; 极极限理限理论论的具体指的具体指导导和和应应用等三用等三方面方面阐阐述述这这一一逻辑严逻辑严密的理密的理论对数学教学论对数学教学指指导导作用作用. .【关键词关键词】极限思想，理论内涵，
2、具体应用极限思想，理论内涵，具体应用一极限思想的产生与发展一极限思想的产生与发展. 极限思想是社会实践的产物。它极限思想是社会实践的产物。它起源于古巴比伦和埃及起源于古巴比伦和埃及.原因是在求不规原因是在求不规 则图形面积和体积时遇到了类似于则图形面积和体积时遇到了类似于“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”无限过无限过 程的问题。芝诺、德谟克利特、亚里士多德等人为极限思想的建立奠定了基础程的问题。芝诺、德谟克利特、亚里士多德等人为极限思想的建立奠定了基础. 在我国在我国极限的思想可以追溯到古代。刘徽创立了割圆术，用圆内接正多边形面极限的思想可以追溯到古代。刘徽创立了割圆
3、术，用圆内接正多边形面 积逼近圆面积，用圆内接正多边形周长逼近圆周长，解决了推求圆周率精确值积逼近圆面积，用圆内接正多边形周长逼近圆周长，解决了推求圆周率精确值 问题，是他应用极限思想的成功事例。这种思维过程是对直观基础上的一种原问题，是他应用极限思想的成功事例。这种思维过程是对直观基础上的一种原 始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对对 无限的恐惧无限的恐惧”，他们避免明显地，他们避免明显地“取极限取极限”，而是借助于间接证法，而是借助于间接证法归谬法来完归谬法来完 成了有关证明。成了有关证明。
4、 极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16 世纪的欧洲处世纪的欧洲处 于资本主义萌芽时期，生产力有了极大的发展，生产和技术中大量的问题用初于资本主义萌芽时期，生产力有了极大的发展，生产和技术中大量的问题用初 等数学的方法已无法解决，要求数学突破仅仅研究常量的传统范围，提供能够等数学的方法已无法解决，要求数学突破仅仅研究常量的传统范围，提供能够 用以描述和研究运动、变化过程的新工具，促进了极限发展。尽管各个时代的用以描述和研究运动、变化过程的新工具，促进了极限发展。尽管各个时代的 数学家由于思维的局限性和对极限思想本质认识不足均未能
5、给出极限严格和紧数学家由于思维的局限性和对极限思想本质认识不足均未能给出极限严格和紧 密化的定义，但密化的定义，但 1919 世纪中叶世纪中叶维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，他指出：维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，他指出：所谓所谓 AA ，就是指：，就是指：“如果对任何如果对任何 0，总存在自然数，总存在自然数 N，使得，使得Lim nan当当 nN 时，不等式时，不等式anA 恒成立恒成立”。 他建立的他建立的 N 语言，用静态的语言，用静态的 定义刻划变量的变化趋势。这种定义刻划变量的变化趋势。这种“静态静态动态动态静态静态”的螺旋式的演变，反的螺旋式的演变，反 映了数学发展的辩证
6、规律。映了数学发展的辩证规律。极限定义在目前也是一种十分完善的定义，它的逻极限定义在目前也是一种十分完善的定义，它的逻 辑性相当严密。可以说它是整个数学分析的基石和坚强后盾，辑性相当严密。可以说它是整个数学分析的基石和坚强后盾，给微积分提供了给微积分提供了 严格的理论基础严格的理论基础,建立了微积分的社会背景。建立了微积分的社会背景。二极限思想的理论内涵二极限思想的理论内涵所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。它揭所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。它揭 示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律示了变量与常量、无
7、限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律 在数学领域中的应用。在数学领域中的应用。三极限思想的具体指导和应用三极限思想的具体指导和应用（1）借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从量变认识质变，从）借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从量变认识质变，从 “不变不变”认识认识“变变”，从直线形认识曲线形，从近似认识精确。具体而言它是用联，从直线形认识曲线形，从近似认识精确。具体而言它是用联 系发展的观点，把所考察的对象（如圆面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边系发展的观点，把所考察的对象（如圆面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边 梯形的面积等）看作是某对象（内接正边形的面积、匀速运动的物
8、体的速度、梯形的面积等）看作是某对象（内接正边形的面积、匀速运动的物体的速度、 小矩形面积之和）在无限变化过程中变化结果的思想，它出发于对过程无限变小矩形面积之和）在无限变化过程中变化结果的思想，它出发于对过程无限变 化的考察，而这种过程总是与过程的某一特定的、有限的、暂时的结果有关。化的考察，而这种过程总是与过程的某一特定的、有限的、暂时的结果有关。 它不仅包括极限过程，而且又完成了极限过程。它体现了它不仅包括极限过程，而且又完成了极限过程。它体现了“从有限中找到无限，从有限中找到无限， 从暂时中找到永久，并且使之确定起来从暂时中找到永久，并且使之确定起来 。(2) 极限思想的具体应用极限思
9、想的具体应用 用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构 思一个与它相关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；思一个与它相关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量； 最后用极限计算来得到这结果。最后用极限计算来得到这结果。 在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利然后利 用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数
10、的敛散性、多元函数的 偏导数偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。 在求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的前两步，即在求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的前两步，即“分割分割”和和“求和求和” ，是初等数学方法的体现，而且也是初等数学方法中形式逻辑思维的体现，是初等数学方法的体现，而且也是初等数学方法中形式逻辑思维的体现. 只只 有第三步有第三步“取极限取极限”这种蕴含于变量数学中的丰富的辨证逻辑思维，才使得初这种蕴含于变量数学中的丰富的辨证逻辑思维，才使得初 等数学无法解决的问题得到顺利地解决。定积分中的极限方
11、法可以使有关常量等数学无法解决的问题得到顺利地解决。定积分中的极限方法可以使有关常量 与变量、近似与精确、变与不变等矛盾的对立双方相互转化，从而化未知为已与变量、近似与精确、变与不变等矛盾的对立双方相互转化，从而化未知为已 知，体现了对立统一法则知，体现了对立统一法则.同时也体现了否定之否定法则同时也体现了否定之否定法则: 在求曲边梯形的面积在求曲边梯形的面积总量总量 I I 在取极限过程中，当在取极限过程中，当时，一方面使积分和时，一方面使积分和中的积分元中的积分元1()niiifx 素素转化为总量转化为总量 I I 的微分的微分这是对总量这是对总量 I I 的否定，这次否定的结的否定，这次
12、否定的结( )dIf x dx 果得到了果得到了 I I 的微分的微分 dIdI 这是对总量这是对总量 I I 的无限项细分；另一方面，当的无限项细分；另一方面，当时，积时，积分和分和转化为对微分转化为对微分 dIdI 的无限项相加，这是对的无限项相加，这是对 dIdI 的否定，这一次的否定，这一次1()niiifx 否定的结果得到了总量否定的结果得到了总量 I I，这是对，这是对 dIdI 的无限积累的无限积累. 现考察下列极限思想具体应用题：现考察下列极限思想具体应用题： 112lim()122nn n nnnL求之值分析：分析：112lim()122nnn n nnnL设S12 1()1
13、2111n nnn nn nnn L，该题实际上也就是求曲线，该题实际上也就是求曲线1x x通过观察拟考察函数f (x)=与与 x=1 及两个坐标轴正半轴及两个坐标轴正半轴围成的曲边梯形面积围成的曲边梯形面积( )1xf xx由于由于在在0,10,1上有界上有界, 在在0,10,1中插入中插入 n n 个分点个分点把区间把区间0,10,1分割成分割成 n 个长度相同的小区间个长度相同的小区间 00. n1 n2 nn1 nn0, , n1 n1 n2 nn nn,1各小区间的长度各小区间的长度 均为均为n1在每个小区间在每个小区间上任取一点上任取一点作函数值作函数值与小区与小区(0,1,2)
14、iiinnL间长度间长度的乘积的乘积, 并作和式并作和式记记实际上不论对实际上不论对0,10,1怎样的分法怎样的分法, 也不论在小区间也不论在小区间上点上点怎样取法怎样取法, 只要当只要当时时, 和和总趋于确定的极限总趋于确定的极限 I, 称这个极称这个极限限 I 为函数为函数在区间在区间0,10,1上的定积分上的定积分, 记为记为 I=I=）112lim()122nnn n nnnLSnnnnnnnn nn 1212111(1limLx xdx1011 0ln(1)|xx12ln，综上所述：综上所述：极限理论是人类思想文化的结晶，蕴涵着丰富的辩证思想，极限理论是人类思想文化的结晶，蕴涵着丰富的辩证思想，极限极限的建立是数学发展史中的一个重要转折点的建立是数学发展史中的一个重要转折点,它把初等数学扩展到一个新阶段它把初等数学扩展到一个新阶段- 变量数学变量数学.它是变量数学的基础理论它是变量数学的基础理论.对当前高中数学已有的极限内容对当前高中数学已有的极限内容,必须采取必须采取 有效的教学方法和手段有效的教学方法和手段,教好学好教好学好, 为以后建构新的数学知识体系为以后建构新的数学知识体系；继续学习变；继续学习变 量数学奠定良好的基础量数学奠定良好的基础.
