《湖北汽车工业学院线性代数答案 10 向量的线性相关及其性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖北汽车工业学院线性代数答案 10 向量的线性相关及其性质（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性代数习题册解答第四章 向量组的线性相关性1010 向量的线性相关性及其性质向量的线性相关性及其性质 一、 填空1设向量则 ,1,2,3,2,1,521TTT) 1 8 19 (，2已知，则向量，TT) 1,3,2,1(32,)2,1,1,2(43T) 2 9 5 10 (，T) 1 7 4 7 (，二、是非判断题 1 若 线性无关 ，则 ( ) 321,2 若线性相关， 则 （ ） 321,3 若线性相关，线性无关，则线性相关 ( ),4 若向量组中可由线性表示，即,，则全不为零 （ ） kkkkkk,5 若线性相关，则可由线性表示 ( ),6 向量组线性相关的充要条件是中至少有一向量)(
2、,mmLm,21L可由其余向量线性表示 （ ） 7 向量组线性相关，且，则n,L),(niRn iL当时，也线性相关 （ ）nrr,L8 设向量组且,则必线性相关 （ ）n sR,Lnss,L三、判断下列向量组是线性相关还是线性无关：1TTT)3,0,0(,)0,2,0(,)0,1,1(321解：因为, 所以线性无关06 300020011321 321, , 2TTTT)1,0,2,1(,)0,1,1,3(,)2,1,0,1 (,)4,3,2,1(4321解：设有数, 使得, 即有4321kkkk，044332211kkkk(1) 0 240 302 2034213214314321kkkk
3、kkkkkkkkk对系数矩阵施行初等行变换如下 5500110002710131151220310200720131110241113210213112423321312214)31(2132)1(4rrrrrrrrrrrrrA线性代数习题册解答第四章 向量组的线性相关性 00001100270102300132342131)27(53rrrrrrrr因为(未知量个数), 所以方程组(1)有非零解, 即向量组线性相关43)(AR4321, , , 四、试将向量用向量组T)1,2,0(线性表示TTT)2,1,3(,) 1,3,2(,)3,2,1(321解：设有数, 使得, 即有321kkk，33
4、2211kkk 其系数行列式为, 由克莱姆法则，得其解为 123232032321321321kkkkkkkkk 18 213132321D，212111323201Dk212131223012Dk211132320213Dk于是有 32121 21 21五、问取何值时下列向量组线性相关？k，TTk)1,2,(,)1,0,1(21T)2,1,3(3解：要向量组线性相关，需321、03 21112031321kk 、解得3k 六、设有向量组，试证：向量组必线性4321,14433221,相 关 解：(解法一)设有数, 使得4321kkkk，, 0)()()()(144433322211kkkk即
5、有0)()()()(443332221141kkkkkkkk（1）若线性无关, 则有4321, 00 0 0 43322141kkkkkkkk线性代数习题册解答第四章 向量组的线性相关性又因方程组的系数矩阵 , 即(未知量个数), 所以方程0000110010101001r A43)(AR组有非零解, 此说明存在不全为零的数, 使得式成立由定义, 知向量组4321kkkk，线性相关14433221,（2）若线性相关, 则由知数4321,)()()()(43322141kkkkkkkk、不全为零，从而数不全为零（否则中各数必全为零） ，即存在不全为零的数4321kkkk、，使得由定义，知4321kkkk、0)()()()(144433322211kkkk向量组线性相关14433221,综上所述，故向量组必线性相关14433221,(解法二) 因为，所以0)()()()(14433221向量组必线性相关14433221,七、设向量组线性相关，也线性相关，问向量组是否一定线性相21, aa21, bb2211,baba 关？试举例说明之解：否例如取，则向量组线性相关， 02,0121aa 33,1121bb21, aa也线性相关（对应分量成比例） ，但向量组21, bb 35,122211baba线性无关（对应分量不成比例）
