棱柱、棱锥和棱台的结构特征

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1、【励志故事励志故事】【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 1. 构成空间几何体的基本元素 2. 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 3. 圆柱、圆锥、圆台和球二. 教学目的 1. 认识构成空间几何体的基本元素 2. 掌握柱、锥、台和球的结构特征三. 教学重点、难点 1. 柱、锥、台和球的结构特征 2. 学生看图、识图的能力的培养和尝试模型制作四. 知识分析 我们生活的世界有各种各样的物体，我们总是试着去观察它们，区分它们。区分这些 物体的方法很多，但最直接的方法是什么呢？对，是它们占有空间部分的形状和大小。这 也是我们研究几何体的方向和内容。 （一）构成空间几何体的基本元素（一）构成空间

2、几何体的基本元素 但是什么是几何体呢？我们将要认识和研究几何体的哪些方面的问题？几何体指的是一个物体所占有的空间部分。常见的有柱体、锥体、台体、球体等等。 （见上图）同学们应该明确一点就是几何体不仅仅包括它的外表面，还包括它内部的部分， 或者说它是有皮有瓤的。我们研究几何体，不用理睬它的物理性质和化学成分，不用关心 它的历史，也不用研究它的经济价值，而只考虑它的形状和大小，研究一下它的结构特征 和构成元素间的逻辑关系等等就行了。 我们现在要学习的内容是立体几何初步，它包括两节内容：第一节是空间几何体，第 二节是点、线、面之间的位置关系。学习的重点是认识柱、锥、台、球的结构特征，会用 平行投影法

3、、中心投影法、三视图法、直观图法绘制空间图形，柱、锥、台、球等几何体 的表面积和体积的求法，平面的基本性质，空间直线的位置关系，直线与平面之间及两平 面之间平行和垂直关系，掌握好上述内容，就抓住了立体几何中最重要、最根本的内容， 其他部分也就迎刃而解了。 现在，同学们先观察你的周围，发现了哪些几何体？你都认识它们吗？在我们认识的几何体中，最熟悉的莫过于长方体了，你能说出长方体的结构特征吗？ 观察长方体，会发现它的表面有六个矩形，我们把这六个矩形（含矩形内部）称为长方体 的面，相邻两个面的公共边叫做长方体的棱，长方体的三条两两相交成直角的棱交会到一 点，就是长方体的顶点。通过观察，我们就可以知道

4、：长方体有 8 个顶点，12 条棱，6 个 面。长方体通常用长、宽、高来表示它的大小。 其实，所有的几何体都是由点、线、面构成的。点、线、面是构成空间几何体的基本点、线、面是构成空间几何体的基本 元素元素，其中线有直线（直线段）和曲线（曲线段）之分，面有平面（或一部分）和曲面 （或一部分）之分。 在立体几何中，平面是无限延展的平面是无限延展的，一个平面可以把整个空间分成两部分，平面是没 有厚度的抽象出来的形象。因为平面的无限延展，所以真正的平面画不出来，我们一般是 画一个平行四边形表示平面，但有时根据实际情况也有用三角形、五边形、六边形、圆形、 椭圆形及各种不规则图形等来表示平面。平面一般用希

5、腊字母 、表示，还可以用平行四边形的对角（线）顶点表示， 如“平面 ” 、 “平面 ABCD” ， “平面 AC” ， “平面 BD” 。 空间中的几何体一方面可以看作是由若干个面（平面的一部分或曲面的一部分）围成 的，另一方面也可以用运动的观点来看待： （1）点动成线：点动成线：如果点运动的方向始终不变，那么它的轨迹是一条直线或线段，如果 点运动的方向时刻在变化，那么它运动的轨迹是一条曲线或曲线的一段。 （2）线动成面：线动成面：一条线（直线或曲线）运动的轨迹可以是一个面（平面或曲面） 。直 线平行移动可以生成平面或曲面，直线绕定点转动，可以生成平面或锥面。 （3）面动成体：面动成体：一个面

6、运动的轨迹（经过的空间部分）可以形成一个几何体。 给出一个几何体，一般我们都可以把它展成平面图形，反之，我们也可以根据所给的 平面展开图，还原成相应的几何体。这是这部分内容所涉及的最常见的问题。（二）多面体和棱柱、棱锥、棱台的结构特征（二）多面体和棱柱、棱锥、棱台的结构特征 1. 多面体多面体 多面体是我们接触的相当多的一类几何体，它是由若干个平面多边形（包含它内部的 平面部分）围成的。学习时要注意认识多面体的顶点、棱、面，还要注意辨清多面体的体体 对角线对角线（通常我们称之为多面体的对角线）和面对角线面对角线。掌握多面体的几种分类形式。 研究几何体，有时是研究它在某一平面内的性质，这就需要我

7、们把立体问题平面化。 除了可以研究几何体的表面，我们还可以研究它的某些个截面（一个几何体与一个平面相 交所得的平面图形（包含它的内部） ） 。 2. 棱柱棱柱 请同学们想一想，下图中的几何体有哪些共同的几何特征？归纳：（归纳：（1）有两个面是互相平行且全等的多边形。）有两个面是互相平行且全等的多边形。（2）其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面也都是平行四边形。）其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面也都是平行四边形。 另外，要掌握棱柱的底面、侧面、棱、侧棱、顶点、高和对角线、对角面等概念，掌 握棱柱的简单分类。 要辨清直棱柱、斜棱柱、平行六面体、直平行六面体、正四棱柱、长方体和正方体

8、， 更要掌握它们之间的联系： 棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 3. 棱锥棱锥 请同学们想一想，下图中的几何体有哪些共同的几何特征？归纳：（归纳：（1）有一个面是多边形。）有一个面是多边形。 （2）其余各面是有一个公共顶点的三角形。）其余各面是有一个公共顶点的三角形。 另外，要掌握棱锥的底面、侧面、棱、侧棱、顶点、高和对角面等概念，掌握棱锥的 简单分类。有一种特殊的棱锥，叫做有一种特殊的棱锥，叫做正棱锥正棱锥。它的特征是：底面是正多边形，并且顶点在底面上。它的特征是：底面是正多边形，并且顶点在底面上 的射影是底面的中心。的射影是底面的中心。学好正棱锥，关键是掌握它的特征，特别是如

9、图所示的两个直角三 角形：由正棱锥的高、棱、底面正多边形外接圆半径构成的直角三角形（浅紫色的三角形） 和由正棱锥的高、斜高、底面三角形内切圆半径构成的直角三角形（浅蓝色的三角形） 。这 是我们在棱锥中经常研究的东西。4. 棱台棱台 如果一个棱锥被一个平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分我们称之为棱台。如果一个棱锥被一个平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分我们称之为棱台。根据棱台的形成，我们就有了判断一个几何体是否是棱台的简单方法：延长棱台的所 有的侧棱，如果它们能交于一点，就可以认定这是个棱台，这个方法叫做“还台为锥还台为锥” 。 另外，要掌握棱台的底面、侧面、棱、侧棱、顶点、高和对角

10、面等概念，掌握棱台的 简单分类。也也有一种特殊的棱台，叫做有一种特殊的棱台，叫做正棱台正棱台。它的特征是：上下两底面是两个相似的正多边形，。它的特征是：上下两底面是两个相似的正多边形， 并且两底面的中心的连线与两底面垂直。并且两底面的中心的连线与两底面垂直。学好正棱台，关键是掌握它的特征，特别是如图 所示的两个直角梯形：由正棱台的高、棱、两底面正多边形外接圆半径构成的直角梯形 （浅紫色的梯形）和由正棱台的高、斜高、两底面正多边形的内切圆半径构成的直角梯形 （浅蓝色的梯形） 。这是我们在棱台中经常研究的东西。（三）圆柱、圆锥、圆台和球（三）圆柱、圆锥、圆台和球 1. 旋转体旋转体请同学们想一想，

11、下图中的几何体有哪些共同的几何特征？总结：都是由一个平面图形绕着它所在平面内的一条定直线旋转产生的曲面所围成的 几何体。2. 圆柱、圆锥、圆台圆柱、圆锥、圆台ABM ABBNNNMM分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为 旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。 旋转轴叫做它们的轴，在轴上的这条边（或它的长度）叫做这个几何体的高；垂直于 轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个 几何体的侧面；无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线。3. 球和球面球和球面半圆以它的直径为旋转轴，旋转而成

12、的曲面叫做球面。 球面所围成的几何体叫做球体，简称球。球面可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合，而球就可以看作空间中 到一个定点的距离小于或等于定长的点的集合。 用一个平面去截一个球，截面是圆面。如图，球心和截面圆心的连线垂直于截面，球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r 有下面关系：22dRr球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫做球 的小圆。在球面上，两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。 我们把这个弧长叫做两点的球面距离。4. 组合体组合体由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体。 例如

13、下图中的几何体。【典型例题典型例题】 例例 1. 根据下图中（左边两个）给出的平面图形，折叠成几何模型，并画出空间图形。解析：解析：见上图右边两个。 点评：点评：本题通过观察、分析及动手操作，考查了同学们的空间想象力和动手操作能力。例例 2. 如图所示，正四棱台 AC的高是 17cm，两底面的边长分别是 4cm 和 16cm ,求这 个棱台的侧棱长和斜高。解析：解析：设棱台两底面的中心分别是 O和 O，BC、BC 的中点分别是 E、E， 连结 OO、EE、OB、OB、OE、OE，则 OBBO、OEEO都是直角 梯形。在正方形 ABCD 中，BC16cm，则 OB=28cm,OE8cm在正方形

14、ABCD中，BC4cm，则 OB22cm，OE=2cm. 在直角梯形 OOBB中，)cm(19)2228(17)BOOB(OOBB2222 在直角梯形 OOEE中，)cm(135)28(17)EOOE(OOEE2222所以，这个棱台的侧棱长为 19cm，斜高为cm135。 点评：点评：解决正棱台的相关问题，只要用好那两个直角梯形就可以了。例 3. 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径之比是 14，母线长是 10cm，求圆锥的母线长。 解析：解析：设圆锥的母线长是 ycm，圆台的上、下底面半径分别是 x cm、4x cm，作圆锥 的轴截面如图所示。在 RtSOA 中，PM / OA，所以

15、 SMSA=PMOA即 (y10)yx4x，解得：3113y 所以，圆锥的母线长为3113 cm。 点评：点评：处理与旋转体有关的问题一般要作出其轴截面，在轴截面中去寻求答案。例 4. 已知半径为 5 的球的两个平行截面圆的周长分别为 6 和 8，求这两个截面间的 距离。ABDCCDABO解析：解析：设球的轴截面为圆 O，AB 为球的直径且分别与两个截面交于点 C、D，则 C、D 为截面的圆心，且两圆半径分别为 3 和 4，若两个平行截面在球心同侧，见上图左，则14535CD2222;若两个平行截面在球心的两侧，见上图右，则74535CD2222，所以 两截面间距离为 1 或 7。 点评：点评

16、：解决球及球的截面问题取其大圆，化为圆中问题进行解决。 【模拟试题模拟试题】 1. 关于平面，下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形是一个平面B. 平面是有厚薄的 C. 平面是有边界线的D. 平面是无限延展的 2. 空间三个平面两两相交，将空间最多分成 m 个部分，最少分成 n 个部分，则 m + n （ ） A. 5 B. 10 C. 14 D. 16 3. 设 M正四棱柱，N长方体，P直四棱柱，Q正方体，这些集合间的关 系是（ ）A. PMNQB. PNMQC. QNMPD. QMNP4. 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ） A. 三棱锥B. 四棱锥C. 五棱锥D. 六棱锥 5. 四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别是 2cm 和 6cm，两底面之间的距离