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1、归纳柯西不等式的典型应用归纳柯西不等式的典型应用【摘要摘要】：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的方法证明了柯西不等式，介绍了如何利用柯西不等式技巧性解题，在证明不等式或等式，解方程，解三角形相关问题，求函数最值等问题的应用方面给出几个典型例子。最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。【关键词关键词】：柯西不等式 ；证明；应用【引言引言】：本人通过老师在中教法课上学习柯西不等式时，老师给出了一些有关的例题并讲解，由于柯西不等式是一个非常重要的不等式，如果巧妙利用它，在高考可以节省很多宝贵时间，而且得分率高。因此，本文介绍归纳了柯西不等式的典型应用，经过收集及整理
2、资料，得到四类的典型题。【正文正文】：1.1.柯西不等式的一般形式为柯西不等式的一般形式为：对任意的实数 nnbbbaaa,2121 2 221122 22 122 22 1)(nnnnbabababbbaaa 其中等号当且仅当时成立,其中nn ba ba ba2211R变式：2 22112121)(nnnnyxyxyxyyyxxx 2. 柯西不等式的证明：柯西不等式的证明：证明柯西不等式的方法总共有 6 种，下面我们将给出常用的 2 种证明柯西不等式的方法：1）配方法：作差：因为222111()()()nnnijii ijiabab221111()()()()nnnnijiijj ijija
3、baba b221111nnnnijiijj ijija baba b22221111111(2)2nnnnnnijjiijji ijijija ba bab a b2222111(2)2nnijijjiji ija bab a ba b2111()02nnijji ijaba b所以，即222111()()()nnnijii ijiabab0222111()()()nnnijii ijiabab即2222222 1 1221212()()()nnnnaba ba baaabbb 当且仅当0( ,1,2, )ijjiaba bi jn 即时等号成立。(1,2, ;1,2, ;0)ji j ij
4、aain jn bbb 2）用数学归纳法证明 i）当时，有，不等式成立。1n 222 1 112()aba b当时，2n 22222 1 12212221 122()2aba ba ba baba b。222222222222 121211221221()()aabba ba ba ba b因为，故有2222 12211 1222a ba baba b22222 1 1221212()()()aba baabb当且仅当，即时等号成立。1 22 1aba b1212aa bbii）假设时不等式成立。即nk2222222 1 1221212()()()kkkkaba ba baaabbb 当且仅当
5、时等号成立。1212nnaaa bbb 那么当时，1nk2 1 12211()kkkkaba ba bab 222 1 122111 12211()2()kkkkkkkkaba ba bababa ba bab 22222222 1212111 12211()()2()kkkkkkkkaaabbbababa ba bab 2222222222222222 121211111111()()kkkkkkkkkkaaabbba bb aa bb aab 222222 121121()()kkaaabbb 222222 1212()()nnaaabbb 当且仅当时等号成立，1111212111,kkk
6、kkkkkabbaa bb aa bb a 即时等号成立。112121kkkkaaaa bbbb 于是时不等式成立。1nk由 i）ii）可得对于任意的自然数 ，柯西不等式成立。n3.3. 柯西不等式在解题中的应用柯西不等式在解题中的应用3.13.1 证明恒等式证明恒等式利用柯西不等式来证明恒等式，主要是利用其取等号的充分必要条件来达到目的，或者是利用柯西不等式进行夹逼的方法得证。例 3.1.1 已知求证：。, 11122abba122 ba证明：由柯西不等式，得111)11(2222222bbaaabba由已知则可知上式取等号，当且仅当, 11122abba时abab2211 ,1122baa
7、b,112222baba于是 。122 ba3.23.2 证明不等式证明不等式很多重要的不等式都可以由柯西不等式导出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，下面略举一、二说明怎样利用柯西不等式证明不等式。例 3.2.1 已知为互不相等的正整数，求证：对于任意的12,na aa 正整数 ，有不等式。n12 222111122naaa nn 证明：由柯西不等式：211(1)2n 12212111()12nnaaa naaa 12 222 12111()()12nnaaa naaa 于是。12 22212111112(1)111122nnaaan nn aaa 又因为为
8、互不相等的正整数，故其中最小的数不小12,na aa 于 ，次小的数不小于 ，最大的不小于 ，这样就有12n。1211121111nnaaa 所以有。1211111112(1)111122nn nn aaa 因为12 22212111112(1)111122nnaaan nn aaa 而1211111112(1)111122nn nn aaa 所以有。12 222111122naaa nn 例 3.2.2：设 a,b,c 为正数且不相等到，求证：cbaaccbba9222证明：我们利用 9 与 2 这两个常数进行巧拆，9=，2111 accbbacba2这样就给我们利用柯西不等式提供了条件。明
9、：2 cbaaccbbaacaccbcbbabaaccbbaaccbbaaccbbaaccbbaaccbbacba 9222911111111111111122222 222因为 a,b,c 各不相等，等号不可能成立，从而原不等式成立。因此，有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，认清其内在的结构特征，就可以达到利用柯西不等式解题的目的。下面略举一例加以说明。3.33.3 证明条件不等式证明条件不等式柯西不等式中有三个因式 ， ，而一般题目中 niia12 niib12 niiiba1只有一个或两个因式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的
10、因式之和往往是定值） ，这也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中诸量 ， 具有广泛的选择余地，任iaib意两个元素 ， （或 ， ） 的交换，可以得到不同的iajaibjb不等式，因此在证题时根据需要重新安排各量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的方便。这种变换也是运用柯西不等式的一种技巧，下面我们简单举例说明怎样利用上述技巧运用柯西不等式来证明条件不等式。例 3.3.1 设,且，求证：Rdcb, a5632a3,dcba2222dcb21 a解：由 则 3dacbadcb3由2222563b2adc且应用柯西不等式 2222)()61 31 21)(632(dcbdcb即
11、 22315aa故 21 a例 3.3.2 已知，,ba,R1ba,21Rxx求证： 212121xxaxbxbxax分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论。若把第二个小括号内的前后项对调一下，情况就不同了。证明： 2121axbxbxax 1221bxaxbxax22121xxbxxa 。21212xxxxba3.43.4 解方程组解方程组用柯西不等式解无理方程，是先把方程的（含有无理式的）运用柯西不等式化为不等式，然后结合原方程把不等式又化成等式，在判定为等式后再利用柯西不等式取等号的特性，得到与原方程同解的且比原方程简单的无理方程，进而得到简单的整式方程，从而求得原方
12、程的解。例 3.4.1 解方程组486)()(6922222224wywwzyxxwxzyx解：原方程组可化为486)(6922222wxzyxwxzyx运用柯西不等式得, 2222111)(zyxzyx222)() 11)(wxwx即，39222zyx271826222 wx两式相乘，得 48622222wxzyx当且仅当时取等号。wzyx故原方程组的解为。3wzyx例 3.4.2 解方程组：设3，解方程zy, x366)6( 4)4( 2)2(222 yxz xzy zyx解： 6-y)6( 4)4( 22x222xz xzy zy）（)6()4()2(yxxzzy2642zyx即 36)6()4()2(yxxzzy212xzy36 26zyx212yzx令,则 72szy x6s212 s0244822ss即 0)24(02 s0242s等号成立 则有 24szyx2222)4()4()2()2(xzyzyx22)6(6z yx11122421224 12)(212 66 44 22x2 zyxzyx yxz xzy zy16246 4244 2242 zz yy xx故
