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1、考研数学讲座（15）极，拐，零点巧讨论讨论好连续函数的极值点，图形拐点，零点。函数图形特征一目了然。1极值点与图形拐点极值点是函数单调性改变的分界点。极值是函数微局部的最大或最小值。由于只是微局部的最值，就有可能某个极大值比另一个极小值还小。唯一的极值（极大或极小）一定是函数的最值。实际上，极值点唯一，函数分两段单调，且单调性不同。如果有另一个最值，则它必定是边界值。函数图形类似于抛物线。用增量的语言来说，函数在一点取得极值的充要条件是，在此点的适当小邻域内，函数增量 y 为负（极小）或为正（极大）。按照游戏规则，定义区间端点没有资格做极值点。计算闭区间上连续函数的最值把驻点（一阶导数的零点）
2、，不可导点，区间端点，排成一列，比对相应函数值来挑选。拐点（x0，y0）函数图形凹凸性改变的分界点。在 x0 两侧，函数的二阶导数反号。函数有高阶导数时，可以用疑点处的高阶导数值来作判断。称之曰“第二判别法”。如果驻点处的二阶导数小（大）于 0，则函数值极大（极小）。在多元情形，没有了单调概念。要判断普通极值，就只能依靠“二阶导数”。驻点处的多个“二阶导数”值恰能排成一个方阵（海森矩阵），最终得用上线性代数理论。如果拐点疑点（二阶导数的零点）处的三阶导数值不为 0，则图形上的相应点一定是拐点。在指导（13）中“逐阶说单调”时，我们已经得到了这个结论。例 70 已知连续函数 f(x)在点 x=a
3、 有极大值 f(a)，则在点 a 的适当小的邻域内有（A）（xa）（f(x)f(a)）0（B）（xa）（f(x)f(a)）0（C）ta 时，lim（f(t)f(x)）(tx)平方0,（xa)(D)ta 时，lim（f(t)f(x)）(tx)平方0,（xa)分析在极值点的两侧，函数增量 y 定号且同号，自变量增量 x 则左负右正，故乘积 xy 在极值点的两侧必定反号，（A）、（B）皆错。（C）与（D）是连续函数取极限。f(a)是极大值，（f(x)f(a)）0，应选（C）例 71 函数 f(x)有连续的二阶导数，且 f(0)=0，又当 x 趋于 0 时，极限limf“（x）x=1，则（A）f(0)
4、是 f(x)的极大值（B）f(0)是 f(x)的极小值（C）(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。（D）f(0)不是函数的极值，(0，f(0)也不是拐点。分析（基本推理。符号体验，近朱者赤。）在 x=0 的适当小的去心邻域内，要取极限的商式恒正，分子分母同号。即有 f“（x）0逐阶说单调。一阶导数 f(x)单增而 f(0)=0，所以 f(x)在 0 点左侧为负，右侧为正。函数 f(x)先单减再单增，f(0)极小。选（B）。例 72 已知函数 y=(x1)平方(x2)平方，它的图形共有几个拐点？分析（1）函数是四次多项式，有两个二重根。只好先求一阶导数。（2）y=4（x1）（x2）（x3），
5、三次多项式总共有 3 个单根。（画外音：可以做“垒宝塔”游戏了。）（3）y“有且仅有两个零点 1，2，且 11223（4）三阶导数是一次多项式，有且仅有 1 个零点，且位于 1 与 2 之间。（5）逆向思维，三阶导数在点 1 与 2 都不为零。故函数图形共有两个拐点。例 73 设 f(x)=x（1x），讨论，0 点是否是 f 的极值点，（0，0）是否是其图形的拐点。分析（1）第一感觉，f 是连续的分段函数。在 0 点做微局部讨论。只需在 0 点邻近把它还原为分段表达式。(潜台词：不要去管另一个零点，自讨麻烦。)即x0 时 f=x（x1）而 x0 时 f=x（1x）（2）用第一判别法。不要管中心点，直接在原点两侧分别求一，二阶导数，再看符号。（3）结论：0 点是 f 的极值点，（0，0）又是其图形的拐点(画外音：为什么会这样，鱼和熊掌兼得。原因在于 0 点是不可导点。)
