实验1基本度量与误差传递

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1、熟悉基本度量儀器與數據分析-201709 修訂 第 1 頁/共 20 頁 實驗實驗 1 基本度量基本度量與誤差傳遞與誤差傳遞 圖 1: 基本度量實驗使用的器材和各種待測物。後排左至右分別為槓桿式天平、等臂式天平、輻射偵測器暨輻射偵測頭；前排左至右：游標尺、螺旋測微器、球徑計(曲度量測器)和砝碼組。以及三個不同內徑的塑膠圓柱管、鐵球、長方體木塊 、 平面玻璃片和曲面玻璃 。 另有準確度 0.02 g 的電子天平和準確度高達 10-5 g 的高精密分析電子天平(未呈列於照片中)。 學門領域：學門領域：普通物理實驗 關鍵字關鍵字(Keywords)：測量值、估計值、誤差傳遞 (一一) 目的：目的：

2、認識實驗常用的幾種基本量測儀器，瞭解其設計原理，並熟悉正確的使用方法。 1. 建立實驗測量的基本概念和實驗數據的正確取法。 2. 瞭解實驗數據的誤差來源，實驗數據和誤差的正確處理流程。 3. 建構數據分析的基本常識和處理技巧。 二、二、 數據分析原理及方法：數據分析原理及方法： 物理是一門以實驗為基礎的科學，因此在物理學科的學習過程中，物理實驗課程是一門很重要的必修課程。而物理實驗結果的正確與否，不僅取決於實驗數據的量度是否正確，正確的數據處理和分析過程也非常重要。開始基礎物理實驗課程的第一步是常用的幾種基本測量儀器的認識和操作。本實驗設計使用一些基本的測量儀器，進行基本物理量的簡單測量實驗，

3、包括長度與質量的測量。並藉由以不同精確度的長度和質量測量儀器，測量各種待測物的長度和質量。使學習者得以熟用各種基本度量儀器、不同度量儀器間的精準度差異，以及實驗誤差的來源。同時學習認識實驗數據的“可信度”與精密度的概念有一些體會1。首先介紹數據處理： 熟悉基本度量儀器與數據分析-201709 修訂 第 2 頁/共 20 頁 (一) 表示數據的方式 要完整且精確地表示實驗量得的物理量， 數量、精密度和單位三者缺一不可。為了清楚地表示一個數值，最好用簡潔的方式記錄，如寫成(abc d) 10n的科學符號形式2，並附上適當的單位。 (二) 有效數字和捨入 在記錄實驗數據和實驗結果時，要使用適當位數的

4、有效數字，以正確表達實驗的“準確度” 3。例如，測量(長度)時直接從儀器(直尺)刻度上讀出來的數量必定在某一位數中止。我們在記錄數據時，除了從儀器上直接讀下精確的數字(如“25.8“cm )外，通常再加一位估計數字(例如“5“)，最後的這一位估計數字當然是不準確的，這個包含估計數字的數據(“25 . 85“cm )，就稱作“有效數字“。 數據經過運算後，需要將運算結果所得多餘的位數做“捨”或“入”時，可以按“四捨六入”原則，即： (1) 要捨去部份的第一位數是“6”或是大於“6”的數，則捨去後將前面一位數加 1，例如： “1.478”經捨入得“1.48”。 (2) 要捨去部份的第一位數是“4”

5、或是小於“4”的數，則捨去後的前面位數不變，例如：“1.472”經捨入得“1.47”。 (3) 如果捨去部份只有一位，其值為“5“則由前面一位數的奇、偶決定：“遇雙便捨“，“逢單則入“， 使捨入以後的數最後一位是偶數。這樣在運算中會比較好處理；同時就機率而言， 捨和入的機會一樣多。如果捨去部份不僅有一位數，而其第一位數為“5“， 則捨去後前面一位數加“1“(即四捨五入)。 註: 1. 精密度(precision )是指測量的精密程度，亦即測量結果可以重複的程度，它跟“誤差”的大小有關，詳細說明見本節第(五)項內容。 2. a、b 及 c 均為代表 0、1、2 、9 的數字，d 表示誤差， n

6、為正或負的整數。 3. 準確度(accuracy)是指“實驗值”與待測物理量的“真正值”的差異值，詳細說明請看本節第(五)項內容。 (三) 實驗誤差： 用儀器量度物理量時，無論儀器的製作多麼精良，也無論量度實驗做得多麼小心 ， 均不能得到“絕對準確”的數據 。 測量值的“可信度” ， 通常只能推測出一個範圍，實驗進行當中，已達實驗需求的條件之後，再加多少細微變量，儀器開始會有明顯反應? 例如：在(自認為)已達平衡的天平上再加一個小小的砝碼；已達共振的線路再改變一點點頻率；等等，由這類“變量”可以知道在數據的取捨之問必定有誤差產生，因此我們必須瞭解測量數據的精密度，以及探究將誤差減到最低的方法。

7、一般來說，誤差可以粗分為兩大類(參考資料 4 )： A. 系統誤差(systematic error ) ： 系統誤差又分為(i )設備系統誤差，( ii )環境系統誤差，及(iii )人為誤差。設備系統誤差是因儀器的製作不夠精密而來，所以在操作實驗儀器之前，要先檢查設備是否運作正常? 通常需要做到以下三點： 熟悉基本度量儀器與數據分析-201709 修訂 第 3 頁/共 20 頁 1. 適當選擇測量儀器(例如：測紙張面積用直尺，測鋼絲直徑用測微器)。 2. 能有一套標準設備或標準數據校正手邊的儀器。 3. 若發現設備有系統誤差時，應該求出一個校正公式，校正所有由該設備所測得的數據。環境系統誤

8、差的來源是外在環境因素，如： 溫度改變、氣壓、濕度不穩定、電磁場、 等等的干擾，通常可以用一些特別的設計消除或降低環境的影響，或者設法修正其誤差。人為誤差有些是實驗者的個性，習慣或偏見所引起，但也有些是疏忽造成的。前者可以由參與實驗的不同實驗者分別量取數據加以平均，以求人為誤差減至最小；後者發生時，只有捨去數據重做，但在捨去數據時必須有充分的理由或證據。系統誤差會影響實驗結果的準確度。一般情況，如果測量某一物理量少數幾次所得到的平均值比理想值(或曰正確值)為高，則多次測量的結果，平均值也會比理想值為高。 B. 統計誤差(statistical error)： 這種誤差也稱為隨機誤差(rando

9、m error) ，其原因不是觀測者所能控制的，而是自然界存在的一種必然現象，是一種機率問題。設計良好的實驗，其統計誤差出現的範圍較小，但還是不能完全避免，只有增加實驗次數，對同一物理量取較多次的實驗數據，並且用統計理論來處理，以期得到較接近“真確值“的結果4。 註： 4. 被觀測的自然現象之“真確值”是不可能得到的，因為“測量”是有極限的；例如增加儀器的精密度，就一定會增加數據的“擾動”。其實數量、物理公式或經驗方程式並不“等於”它所描述的物理現象本身，而只是人為地“形容”現象。所以在本文介紹的統計分析中，我們強調數據的“有效性”。 (四) 統計分析： 統計分析理論一直被廣泛地用來處理實驗數

10、據，藉這種分析，我們可以瞭解實驗的結果到底含有何種程度的不確定性。這裡先介紹統計分析中常用的幾個術語和它們的計算法，再簡要介紹誤差在加、減、乘、除運算中的傳遞。最後，我們舉一個例題，將統計分析做簡單的應用。 A. 算術平均值(mean )或簡稱“平均值”： 如果對同一個物理量作 n 次測量，每次所得的數據分別為：x1、x2、xn，則實驗的結果通常以算術平均值表示，即： x x1+x2+xnn=1nxin i=1(1) 理論上，無限多的數據可以得到最好的平均值，但實用上，有限個數據已可得到很好的結果。 B. 偏差（deviation )：某一個特定數據與整組數據的算術平均值之差，稱作“偏差”。偏

11、差數值有正有負，整組數據的偏差值總和為零。令符號 d 代表偏差: d1= x1 x ，d2= x2 x ，dn= xn x d1+ d2+ + dn= dii= 0 (2) C. 平均偏差（average deviation )： 平均偏差 D 的定義為： 熟悉基本度量儀器與數據分析-201709 修訂 第 4 頁/共 20 頁 D |d1|+|d2|+|dn| n=1n |di|i(3) 平均偏差的大小可以顯示實驗所用儀器的精密度但一般實驗結果的不準度，很少以平均偏差來表示。 D. 標準偏差(或稱標準差，standard deviation) ： 標準差的定義為： d12+d22+dn2n=

12、 1ndi2n i=1(4) 當數據為有限個時，將標準差作下面的修正，則結果較正確，即： = 1n1di2n i=1(5) E. 簡單的統計理論(參考資料 3)： 各位在高中一定學過簡單的機率論，這些觀念對做實驗的人非常重要。一般來講，最具代表性的機率分佈有三種：二項式分佈(binomial distribution)、朴松分佈(Poissons distribution)及常態分佈(normal distribution)。 1. 二項式分佈： 這是最簡單也是日常生活中最容易遇到的一種。假設有一個人擲骰子，得到“6”點向上的機率一定是 1/6 。 如果他一次共擲出十個骰子 ， 其中有三個骰子

13、“6”點向上，其餘七個都不是“6”點向上的機率就是 p = c(10,3)(16)3(56)7=10!3!(103)!(16)3(56)103 這是很容易瞭解。一次擲出十個骰子，有三個“6”朝上；和一個骰子重覆擲十次，有三次“6”點朝上，機率是相同的。 現在假設一事件發生的形式只有 X 與 Y 兩種，而 X 的發生機率為 p，Y 的發生機率為 q (q=1-p)，則在 N 次的實驗中，X 形式發生 n 次的機率為： PB(n) =N!n!(Nn)!pnqNn (6) 這種函數形式稱為二項式分佈。 2. 朴松分佈： 上述的情況，若 X 形式發生的機率趨近於零(p0) ，且將實驗次數增為極大(N)

14、 ，則 X 形式發生 n 次的機率就成朴松分佈(參考圖 2)。在原子核物理實驗中，放射性樣品是一堆具有放射性的原子核，各個原子核在每秒內因輻射而蛻變或衰變的機率 p 可能在 10-10或者更低，但是通常所用的樣品可能包含 N=1015個或更多個原子核，因此每秒鐘內的輻射量大約是 105左右，這時我們定義期望值(expectation value)或平均值為： m = Np 熟悉基本度量儀器與數據分析-201709 修訂 第 5 頁/共 20 頁 圖 2 朴松分布曲線圖: (a)m=2; (b)m=10。 不過，實際的測量並不一定量得到有 m 個原子核蛻變。這和我們知道拋擲一個銅板，落地時正面向

15、上的機率是 1/2 ，但同時丟出十個銅板，並不一定剛好有五個是正面朝上是同樣的道理。(6)式經過數學的導證(參考資料 3) ，在 N時，可以得到朴松分佈： Pp(n) =mnemn!(7) 式中 m 為 n 的平均值，即標準偏差為： = m (8) 當 m 值越大，圖 2 的形狀越接近對稱，同時由(9)式可知：/m 越小。通常在原子物理及原子核物理實驗中，為了獲得較佳的統計誤差，計數輻射粒子時，往往延長測量時問，使輻射粒子到達偵測器的數目為數千甚至上萬，如此可將百分誤差值降低到 5 % ，甚至 1 以下。但若遇輻射線強度很弱的情況，這樣做將費時甚久。因此作實驗時，到底 m 應取多大才合適，必需

16、由實驗者作適當的判斷。 3. 常態分佈： 通常又稱為高斯分佈(Gaussian distribution)。對自然界中很多事物的某一物理量做重覆多次測量時，所得數據大都會呈一個鐘形的分佈圖形，這種情況相當於朴松分佈中 m 非常大的情形。測量的次數愈多，這個分佈曲線就愈平滑、愈明顯。這種常態分佈曲線(參看圖 3、圖 4) ，可以用函數形式表示(參考資料 4)： PG(x) =121e(xx0)2/22 (9) 式中，x0為鐘形分佈之鐘頂位置的 x 座標值，為標準差，與 x 的單位相同。一組呈常態分佈形式的數據，其算術平均值是在常態曲線的對稱中心。 圖 3(a)表示當一個數值距平均值有多少個標準差時，分佈在平均值與這個數值之問的數據佔全部數據的比例。例如：數值在x (x + 與x )之間的數據佔全部數據的 68.2% ; 數值在x 2之間的數據佔全部數據的 95.5 % ; 數值