《实验3 数列与级数-2007.9.26》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实验3 数列与级数-2007.9.26（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11实验实验 3 数列与级数数列与级数级数是微积分乃至整个数学分析最重要的基本内容之一。远在公元前三世纪，古希腊 人 Archimedes 就采用了数列极限的思想来计算曲边三角形的面积。本实验的目的是通过计 算机发现数列的规律、极限状态的性质。 所谓一个无穷数列是指按一定顺序排列的一串数字, , , , （1）1a2ana而一个无穷级数则是用无穷项数字构成的和式= + （2）1nna1a2a数列与级数有密不可分的关系。给定一个无穷级数（2） ，它唯一地确定了一个无穷数 列, ,1S2S其中= + , n = 1,2 , .反过来，给定一个无穷数列（1） ，它也唯nS1a2ana一地确定了一个无
2、穷级数1nnb这里= ,n = 2 ,3 , 。并且，无穷级数的和就是相应的无穷数1b1a1nnnaab列的极限。因此，无穷数列与无穷级数是可以相互转化的。给定的数列 ,人们最关心的问题是：na1 数列有什么规律与性质？na2 当 n时，数列的极限是什么？na3 极限是否是一个有限的数字？还是无穷大？抑或根本不存在？ 4 如果极限是无穷大，那么它趋于无穷大的阶是什么？ 5 如果数列的极限根本不存在，那么在无穷大的极限状态又怎么样？ 对于给定的一个无穷级数，也可以提出上述类似的问题。本实验将通过计算机图示的方法来帮助我们发现数列的规律及其极限行为。我们以 Fibonacci 数列为例来探讨上述问
3、题。3.1 FibonacciFibonacci 数列给定如下的数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89， 其递推关系式由, ，2， , (3)nnnFFF121n11F12F给出，该数列被称为 Fibonacci 数列。 Fibonacci 数列经常以著名的养兔问题提出来。某人养了一对兔子（公母各一只） 。一 月后，这对兔子生了一对小兔。以后每月、每对成熟（即一月以上）的兔子都生育一对小 兔。假设兔子不会死亡，问一年后总共有多少对兔子？显然，问题的答案就是数列的第十 二项。 为考察 Fibonacci 数列的极限与规律，我们用计算机算出 Fibonacci 数列每一项的值，
4、12并在二维平面上画出顺次连接点（，） ，n=1,2,，N 的折线图，其中是一个大整数。nnF练习练习 1分别取 N=20，50，100，200，500，观察 Fibonacci 数列的折线图。Fibonacci 数列是 否单调增？它是否趋于无穷？它增加的速度是快还是慢？你能否证实你的观察？为进一步研究 Fibonacci 数列的特性，我们将取对数，在直角坐标系中画出顺次nFnF连接点,n=1,2,N=1000, 对上述数据进行拟合可得)log(,(nFn(4)nFn481211. 0803903. 0)log(5)nFn61803. 1447567. 0练习练习 2分别取 N=2000，50
5、000，10000，用直线去拟合数据, n=1,2,N,由此求数)log(,(nFn列的近似表示，注意观察的线性项的系数，它与黄金分割数有何联系？nF)log(nF由计算机观察到的上述结果我们似乎可以猜测数列的通项具有形式nF（6）n ncrF 将上式代入递推公式（3）得(7)12 rr从而 。因为数列趋于无穷，故取 于是251r251r(8)nncF 251然而，公式（8）并不满足，即并非数列的通项公式。不过，它仍然121 FFnF是数列的主项。nF练习练习 3证明公式（8）不是 Fibonacci 数列的通项。为进一步得到 Fibonacci 数列的通项，我们构造数列n nnrcFb将上式
6、代入公式 （3）可得仍然满足递推公式（3） 。因而我们猜测，数列的通项nbnb也具有形式=nbc rn其中也满足方程（7） ，故 = 这样，我们得到 Fibonacci 数列的通项一个新的猜rr251测nn nrcrcF由条件确定出 c= ,= 从而我们得到121 FF51c51=() () ) (9)nF51 251n 251n13这样，Fibonacci 数列趋于无穷的阶为() 。51 251n练习练习 4验证（9）式正是 Fibonacci 数列的通项公式 Fibonacci 数列与自然界中的许多现象，如植物的枝干与叶子的生长有紧密的联系。它 在纯数学领域的一个极为成功的应用是协助前苏联
7、数学家马蒂雅舍维奇解决了著名的 Hilbert 第十问题。此外，它在优化、运筹以及计算机科学与艺术领域都具有极大的应用价 值。下面我们来“听一听” Fibonacci 数列。练习练习 5取一整数 m（如 m=51）, 将 Fibonacci 数列模 m 得到一周期数列，将该周期数列的值 作为音高，编程演奏它，取不同的 m，或将几段合并，感受旋律的变化。3.2 调和级数熟知，无穷级数（10）11n当1 时收敛，当1 发散，特别地，=1 时，级数（10）称为调和级数。一个令人感兴趣的问题是，调和级数发散到无穷的速度有快？或者说数列=1+nS21 n1 31L趋于无穷的速度有多快？一个直观的方法仍然
8、是画出由点（n,）,n=，N 构成的折线图。nSL, 2 , 1练习练习 6 充分大的 N,观察调和级数的折线图，你觉得它发散的速度是快还是慢？将它的图形, ，以作比较，谁的速度快？xy xy 4xy 从上述实验的结果看出，调和级数发散的速度较慢，但是它到底以什么样的速度发散 到无穷？让我们再做下面的练习。练习练习 7 对充分大的一系列 n 计算，你能否猜测出，当 n 趋于无穷的极限？nnSS2nnSS2 更一般地，趋于无穷的极限是什么？反过来，固定 n，让 k 趋于无穷，趋于nnSSk2nkS2无穷的速度是什么？你能否由此得出当 n 趋于无穷的极限阶？nS14我们也可以从另外一个角度考察上述
9、问题。练习练习 7 用表示不小于的最小整数。 nJnS1.对，计算。你能做出什么猜测？是某个大整数NNn, 2 , 1L nJnJ2对每个 n，设，则的范围是什么？ 1nJmJnm2.对每个令 n 是使得成立的最大整数，我们把它记为，3021Lm mnJ，试计算比值。你能据此做出何种猜测？当 m 趋于无穷时，关 mL mLmL1 mL于 m 的阶是多大？由此，关于 n 的极限是多少？nS对调和级数做更仔细的分析，可以得到更精细的结果。有兴趣的读者不妨做进一步探 讨。3.3 思考问题作为本实验内容，请读者研究下列数列的极限状态与规律。问题问题 1 设，研究数列的极限行为。1,111aaaannn
10、na(1)在平面上画出顺次边接点,1,2,，2000 的折线图。nan,n(2)根据上述图形，你认为数列的极限是什么？na(3)用一恰当的函数去拟合上述图形。 xfy (4)猜测数列的极限阶。na(5)你能否证明你的结论？问题问题 2 研究数列的极限状态的规律。 nansin(1)在平面上画出点列,1,2,，(如).nan,nN5000N(2)根据上述图形，你认为数列的极限是否存在？na(3)你能从上述图形中观察到点列的分布有什么规律？ (4)你能否证明所观察到的规律？ (5) 任取区间，画出数列中落在区间中的点，将区间放大并 1 , 1,baba,ba,取不同的，观察落在区间中的点集有何变化
11、。Nba,(6)根据以上观察，你认为数列的聚点集合是什么？你能否证明你的结论？na问题问题 3 考察由如下关系确定的正整数数列为偶数如果为奇数如果nnnn nxxxxx2/131任取一正整数作为初值，计算数列，并在平面坐标系中用折线连接,0xnx),(nxnn=0,1,N.取不同的初值，观察所得的结果。你能发现数列，有什么规律？你能否尝0xnx试证明我所发现的规律？问题问题 4 研究 Farey 数列的规律与项数。 给定整数 n，将分母不超过 n 的所有真分数（以最简分数形式出现）从小到大排列， 所得到的数列称为 n 阶 Farey 数列。例如，6 阶 Farey 数列是151/6，1/5，1
12、/4，1/3，2/5，1/2，3/5，2/3，3/4，4/5，5/6。对 n 阶 Farey 数列，我们要问它 有多少项？相邻各项之间有何联系？为研究这些问题，请做以下实验。 （1）任取一 Farey 数列，考察任意相邻三项之间的关系。将头尾两项的分子分母分别 相加，所得分数是什么?你能因此做出什么样的猜想？你能否证明你的猜猜想？ （2）考察 Farey 数列相邻两项三项之间得差，你能得到什么结论？你能否证明你的结 论？（3）将 Fraey 数列的每一项减去，所得到的新数列有什么性质？21（4）用表 n 阶 Farey 数列 Fn的项数。观察 n 阶 Farey 数列和 n+1 阶 Farey
13、 数列的na关系。由此, 与有何关系？na1na（5）点列（n, ）,n=2,3.,N（如 N=1000）标在二维坐标平面上（可用折线将它们na连接起来） 。猜测与 n 的关系，并拟合之。的极限阶是多少？注意，极限阶前的常数nana与有何关系？21 （6）用表示的第 k 项，并令。用（5）类似的办法估计knF,nF11,|naknknnakFDDn的极限阶。据此,你能做出何种猜测？在这里，你要非常小心。你做出的猜测很可能与著 名的猜想（见有关素数的实验）有某种联系。Riemann问题问题 5 在调和级数中，将分母的十进制表示中含有数字 9 的项去掉，由此得到的级 数是收敛还是发散呢？请根据本实
14、验中介绍的方法做仔细的分析。问题问题 6 考察时，级数（10）的一些结果。2a（1）对充分大的 N ，计算级数的前 N 项和，并计算它与的比值。你能否据此2 猜测级数（10）的和？ （2）设,， 是按顺序排列素数。考察无穷乘积21p32p（11）LLL 22 22 1111111nppp试计算该无穷乘积的近似值。这个值与（1）中级数的和有何关系？由此，你能做出什么样 的猜测？你能否证明你的猜测？ （3）你能否猜测，对一般的，无穷级数（10）的和与哪个无穷乘积相等？1a 需要再次提醒读者，本问题与 猜想也有着千丝万缕的联系。Riemann附录 MathematicaMathematica 程序下
15、面是本实验中的有关 Mathematica 程序。使用时，只要输入并调用相关函数即可。1. 画 Fibonacci 数列折线图的函数FibShown_Integer:= Modulet= ,i,Fori=1, iTrue 162.用直线去拟合( , log(F ), =1,2,n 的函数iiiFibFitn_Integer:=Moduldt= ,i,For i=1, i0,n,SamplRate-5ListPlayt,PlayRange-0,n,SamplRate-5 4.显示点列（ ,sin( ), =1,2，n 的函数iiiPlotListn_Integer:=PlotListn_Integer:=Modulet=Modulet= ,i,ForFori=1,=1, i- PointSize0.005PointSize0.005 5.级数（10）的部分和HamoSumn_Integer,m_Integer
