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1、王瑞平：数学物理方法-第二章 第 4 节 12-4 解析函数积分和解析函数构造解析函数积分和解析函数构造 对解析函数，不仅可导，而且其积分与路径无关，即存在某个函数是它的一个原函数，这个原函数可以由不定积分求得。以下不特指，区域 B 指单连通区域。 一、 不定积分定义一、 不定积分定义 不定积分定义：定义：f(z)在 B 区域为可微，单值函数(解析函数)，z0,zB，则 f(z)的不定积分定义为： =zzdfzF0)()( 1 式中 z0为固定点；f(z)称被积函数；F(z)为原函数原函数。 此时积分与微分为互逆关系。由于原函数可为相差 1 个常数的函数簇，1式也简记为： =dzzfzF)()
2、( 2 定理定理 6（原函数存在定理） ：如果被积函数 f(z)可微函数（解析） ，则原函数 F(z)也是可微函数（解析） ，并且： F(z)=f(z) 3 即 F(z)为 f(z)的原函数。 证明：证明：设 z+z 是点任意邻点，则： +=+zzzzzzzzdfdfzFzzF)()()()()(00所以： +=zzzdfzzzF)(1)(以下证明，右端即为 f(z)： | )()(| )()(1| )()(1|zffzfdfzzfdfzzzzzzzzz=+现 f(z)连续，对任意给定0，可以找到|-z|时，|f()-f(z)| 。即： 0| )()(|lim| )()(|lim)(lim 0
3、00= zffzffzfzFzzzz有结论： )( lim)( 0zFzFzf z= # 王瑞平：数学物理方法-第二章 第 4 节 2二、 定积分二、 定积分 不定积分的原函数不是唯一的，它们可以相差一个常数，任一原函数可以写为： CdfCzFzzz+=+=0)()()( 1 令：z=z0，得 C=(z0)，即常数由初值确定。有： )()()(0 0zzdfzz= 2 当 z 也固定时，得到解析函数的定积分定积分： =10)()()(01zzzFzFdf 3 解析函数的定积分只与原函数起终点坐标值有关。 例题：例题：试证明原函数可以相差一个常数。 证明证明：设 f(z)有两个原函数：1和2：
4、)();( 2 1zfzf= 则： （1-2）=0 即有： 1-2=C # 例题：例题：(郭书 P41)计算积分： =bandzzI （nZ） 解：解：当 n-1 时，zn的原函数为 zn+1/(n+1)，有定积分公式： ) 1()(11 1111 +=+=+ nabnnzInnban 当 n=-1 时，其原函数为 lnz，所以： )arg(arglnlnlnabiababzdzIba+= 式与绕原点积分路径有关。因为右端两点复角之差与积分路线有关，原因是被积函数的奇点是原函数的支点。当逆时针方向时（l1） ，虚部即为 argb-arga；当顺时针（l2） ，-argb-(-arga)=arg
5、a-argb。解决方法，规定绕 O 点逆时针为正方向，积分路线为正方向。 # 王瑞平：数学物理方法-第二章 第 4 节 3三、解析函数构造三、解析函数构造 解析函数的实虚部不是独立的， 这在物理平面稳定场中有非常重要的应用： 可以用实部代表求得的势函数，而虚部代表力强度。这种表示式称为复势表示。由于对于解析函数 f(z)等效其实虚部函数 u(x,y),v(x,y)CB:XY，这样根据解析函数的性质，已知解析函数的实部 u（或虚部 v） ，可以求出它对应的虚部 v(或实部 u)。一般采用：1、全微分法；2、曲线积分法和 3、不定积分法三种方法。以例题给予说明。 例题：例题：已知解析函数 f(z)
6、的实部为： u(x,y)=x2-y2 且 f(0)=0。试求此函数的虚部 v(x,y)。 解解：由 u(x,y)=x2-y2 可得：2; 22222 = yu xu 满足调和方程： 02222 =+ yu xu 其对应的共轭调和函数 v(x,y)：由 全微分法全微分法： dyyvdxxvdv+= 由 C-R 条件： =xxu yvyyu xv22 代入上式，得： xdyydxdv22+= 由式，凑一个全微分： )2(22xydxdyydxdv=+= v=2xy+C 王瑞平：数学物理方法-第二章 第 4 节 4f(z)=x2-y2+i2xy+C=z2+C 由 f(0)=0，得：C=0，结果为：
7、f(z)=z2 曲线积分法曲线积分法：式右端为全微分，积分值与路径无关： xyxyxdyydxvvyxxxyx220)22()0 , 0(,)0 ,()0 ,()0 , 0(),()0 , 0(=+=+=+= 计算中选择路径如图。下略。 不定积分法不定积分法：式 v 的不定积分表示： +=xdyydxv22 视 x 为参数： )(2)(2xxyxxdyv+=+= (x)为 x 的任意函数。由 C-R 条件： yyu xvxyxv2);( 2=+= 即有： (x)=0; (x)=C v=2xy+C 下略。 # 例题例题 2：已知：u (x,y)= ex(xcosy-ysiny)，f(0)=0。求
8、 f(z) 解：解： cossin)1 ()cossinsin(sincos)1()(cos)sincos(yyyxeyyyyxeyuyyyxeyeyyyxexuxxxxx+=+=+=+=王瑞平：数学物理方法-第二章 第 4 节 5)sincos)2(sincoscos)1(sincos)2(cossincos)1(2222yyyxeyyyyxeyuyyyxeyeyyyxexuxxxxx+=+=+=+=满足调和函数。其虚部由： cossin)cos()sin(cos)(sinsincos)1(cossin)1(yyeyxedyydeydxeydxyxeyddyyyyxedxyyyxedyxudxyudyyvdxxvdvxxxxxxx+=+=+=+=+=zxxxxzeyiyiyeyiyxeyyyxieyyyxezf=+=+=)sin(cos)sin(cos)cossin()sincos()(# _ 还有一个更简便方法：如果 f(z)在 z=0 处可微，则： iauizzuzf+=)0 , 0()2,2(2)(； 如果 f(z)在 z0处可微，则： iayxuizzzzuzf+=),()2,2(2)(00* 0* 0； _ 习题习题：P18:1-3
