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1、对数恒等式解析哈尔滨市第十四中学数学组 潘俊伟 对于高中生来讲，解等式及不等式不是什么陌生的知识。但对数的等式及不等式却 变成了学生易错的地方。原因是对数是全新的高中知识。 “对数恒等式”是解决指对等式及不等式常用的工具。对数恒等式是指。)0, 10(loglogNaaNaNaN aNa且，下面给出这两个公式的证明，以及它们的应用。 一、两个公式的证明)0, 10(log.2).1 (logNaaNaNaN aNa且），（证明：（1）法 1：，将左面看做一个整体时这个对数式等价于它NNaaloglogQ的指数式. 即.NaNalog法 2：设，.即.NatNt a ,logNaatNalogN
2、aNalog（2）法 1：，将左面看做一个整体时这个指数式等价于它的对数NNaaQ式.即.NaN alog法 2：设，. 即.NttaaNlog,NtaaN aloglogNaN alog二、两个公式的应用例一、解不等式.04loglog12212 x分析：将两端化为同底数的形式，可一步步消去外层，最后得到未知量的范围.解：，1log4loglog212212 x 21log1)4(log211221x21 1242140x，原不等式的解集为.2112 x41x 41xx点评：利用对数恒等式将等式或不等式两端化为同底数形式，可以解决这类指对不 等式问题。化简时要注意真数大于零，这类题考察了学生
3、思维的严密性。练习：1、解不等式.(参考答案：解集为)211loglog313 x 33110xx2、已知，解不等式.(参考答案：解集为)252(log)(2 5 . 0xxxf1)(xf) 252210xxx或例二、解方程.2)232(log) 13(log22xx分析：真数提取 2 后同前一个真数一致，可通过换元解决.232x解：可知2) 13(2log) 13(log22xx，21) 13(log) 13(log22xx02) 13(log) 13(log22 2xx， ，21) 13(log2或x 41log) 13(log2log) 13(log2222xx或.经检验以上两根都满足.45log13xx或原方程的解为.45log, 1321xx点评：在解对数方程时一定要注意真数为正，也就是说最后解出的结果要进行检验.
