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1、1实变函数练习题一、选择题1的辐射角情况为（ ） 。)0( zzA 有无穷多个 B 有限个 C 可能无穷可能有限 D 不存在2如果则（ ） 。21zzeeA B C D21zz izz221izz221ikzz2213设为复数列，则（ ） 。kakkkkzbzaIm,ReA 级数收敛而级数不收敛 1kka1kkbB 级数不收敛而级数收敛1kka1kkbC 级数和均收敛 1kka1kkbD 级数和均不收敛1kka1kkb4的支点是（ ） 。nzw 4A 0 B C 0 及 D 不确定5设 f (z)及 g (z)都在区域 D 内解析，且在 D 内的某一段曲线上的值相同，则这两个 函数在 D 内（
2、 ） 。 A 不恒等 B 恒等 C 相差个非零常数 D 不确定6方程所表示的平面曲线为（ ） 。1Re2zA 园 B 直线 C 椭圆 D 双曲线 7设，则（ ） 。izcosA B C D0ImzzRe0zzarg8设 W=Ln(1-I)则 Imw 等于（ ） 。A B4L, 1, 0,42kkC D4L, 1, 0,42kk9解析函数的幂级数展式有（ ） 。2A 唯一一个 B 无穷多个 C 不一定存在 D 可数个 10同一函数在不同的圆环内的洛朗展式（ ） 。 A 相同 B 不同 C 不一定唯一 D 以上均错 11若是的聚点，则（ ） 。aE A B C 是内点 D A、B 均对EaEaaE
3、12设 C 为正向圆周，则积分等于（ ） 。1zzdzcA 0 B C Di22213是函数的（ ） 。3zzzzf3)sin()(3A 一阶极点 B 可去奇点 C 一阶零点 D 本性奇点14幂极数的收敛半径为（ ） 。1)!2()!1(nnznnA 0 B 1 C 2 D 15设积分路线 C 是贴为 z=-1 到 z=1 的上半单位圆周，则等于（ ） 。dzzzc21A B C D i2i2i 2i 216已知解析 K 为正整数则=（ ） 。1)(nnCnZzf0 ,)(RekzzfSA CK B K!CK C CK-1 D 无法确定17方程表示（ ） 。2izA 以原点为心，以 2 为半径
4、的圆 B 以 i 为圆心，以 2 为半径的圆 C 以-i 为圆心，以 2 为半径的圆 D 以上均不对18在点 Z0=5 处的 Tay10r 级数的收敛半径为（ ） 。1sin)(99zezzfzA 1 B 2 C 3 D 419沿正向圆周的积分=（ ） 。2121cossinzdzzzzA B 0 C D 以上都不对1sin,2 i1sini320下列映射中，把角形域保角映射成单位圆内部的为（ ） 。4arg0z1wA B C D1144zzw1144zzwizizw44izizw44二、填空题 1实数的共轭是_；纯虚数的共轭是_。 2设已给集合 E.M 是复平面上一点，如果 M 有一个 r
5、领域完全属于 E，M 称为 E 的 _；M 的任一 r 领域内既有集 E 的点，也有非 E 的点，M 称为 E 的（ ） ；M 有一个领域完全不属于 E，M 称为 E 的_。 3指数函数 f (z)=ez在_上解析。4指数函数的奇点为322) 1() 1(sin)5()(zzzzzzf_，_，_。 5我们把有二阶连续偏导数且满足拉普斯方程的函数称为_。6级数的收敛半径为_。) 1(12zzzznLL7ez在 z=0 的泰勒展式为_。8已知则 Re (z)=_; Im(z)ii iz131=_；=_。zz 9复数的指数表示为：_，三角表示为:_。2110w=z2将 z 平面上 x2-y2=4 映
6、射成 w 平面上怎样的曲线？ _。 11. 1ni=_，Lni=_。12令 C 为连接点 a 及 b 的任意曲线则有=_=_。cdzczdz13若，是 z 是_。zz 14若则_。012 xx37 xxx15设为复数则_；_；_；21;zzz z2z21zz=_。21zz16若;则=_ 。)sin()cos(ArgziArgzzznz17shz=_，chz=_。 18(1+i)c=_。19设则 Ref (z)=_;Imf(z)=_。zzzf11)(20设 C 是连接原点 0 和 1+i 的直线则=_。czdzRe421设 D 是闭路 C 所围成的单连通区域，在闭域 C+D 上解析，则=_。cd
7、zzf)(22若 f(z)在 z=0 的邻域内连续则=_。200)(limdrefir23设则它的本函数为_。)52)(1(7)(2PPPPPF24设 C 是连接 Z 及 Z。两点的简单曲线那么=_。cdz25是函数的_。3z zz zf3)3sin( )(26级数的收敛半径_。12) !(nn nznn27C 是的正向圆周；则=_。1zczdz cos28在内的罗朗级数为_。10 z) 1(12zz29、若 ab，则（a, b）的基数为 。30、设(mE),f(x)0a. e.于 E，又E f(x)dx=0，则 mE= )RpE 。31、若 An=x;0x1+1/nn=1、2、3，则 。An
8、 n 132、设 E=（x,y）;x0,1Q,y=0R2，则 E= 。33、点集 E 为闭集的充要条件是 。三、判断题 1复数都有无穷多个对数。 （ ）2及是有界的。 （ ）zsinzcos3解析函数有任意阶导数。 （ ） 4f (z)在域 D 内解析，则它的实部及虚部是该区域内的调和函数。 （ ）5在单位圆周上，点点绝对收敛。 （ ）1Z12 nnnz6如果 f (z)在 z0连续，那么 f (z0)存在。 （ ） 7如果 f (z0)存在。那么 f (z)在 z0解析。 （ ）8如果 u (x ; y)和 (x ; y)可导，那么 f (z)=u+i也可导。 项基本原则（ ）59每一个在
9、z0连续的函数一定可以 z0在的领域内展开 Taylor 级数。 （ ） 10每一个幂级数收敛于一个解析函数。 （ ）11若级数绝对收敛，则级数也收敛。 （ ） nika1 nika112（ ）2121zzzz13（ ）212121sinsincoscos)cos(zzzzzz14级数收敛半径为 1。 （ ）LLnzzzz211115每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。 （ ）16、对于给定的集合 A、B 有（A-B）B=A。 （ ）17、任何可数点集的外测度都是零。 （ ）18、如果 f(x)是 E 上的非负函数，E f(x)dx=0 则 f(x)=0 a. e.于 E。 （ ）19、当
10、f(x)即是 E 上又是 F 上的非负可测函数时，f(x)也是 EF 上的非负可测函数。（ ）四、计算题1)2)(yixyix2 2-2i (用指数式计算其辐角的一般值)3（利用复数的三角式计算）3)3(i4) 1() 1)(1(2 rzzzdzrz5求变换点的转动角。13zz在6求函数分别在圆环及内的洛朗级数展式)2)(1(1 zz21 z z27计算留数22) 1()(zzezfiz8将化为三角式和指数式iz212 9一个复数乘以 i 他的模与幅角有何改变？10证明复平面上圆的方程可写成0czzz zC为实常数为复常数(11是否存在着在原点解析的函数 f (z)满足条件：), 3 , 2
11、, 1( ,21)21(, 0)121(Lnnnfnf612求方程在内根的个数。012558zzz1z13求积分的值。iizdze3214把展开 z 幂级数，并指出它的收敛半径。311 z15计算积分路线自原点到 3+i 的直线段。idzz30216、求10221dxnxLimxn五、求下列各式的积分1 cdzzz14sin2211:zc2dzzzzzz212) 1(53rznnrzdz), 1() 1(为自然数4求积分201,sinatadtI5求的值。iizdze32六、证明题 1对于两复数 z1,z2求证：z1z2=0 的充要条件是 z1与 z2中至少有一个为零。 2利用 C-R 方程，证明函数 f (z)=z3在全平面上解析。 3如果函数 f (z)在闭路 C 上解析，在 C 的内部除去 n 个孤立奇点 a1,a2,an外也解析，则 cnkkazfsidzzf1),(Re2)(4证明：令函数不断试证：f(z)在
