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1、推理与证明推理与证明（一）（一）合情推理与演绎推理 1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。 2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。 3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 （二）（二）直接证明与间接证明 1了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。 2了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。 （三）（三）数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1 1推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。 2
2、 2推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。第第 1 1 课时课时 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理1.1. 推理一般包括合情推理和演绎推理； 2.2.合情推理包括 和 ； 归纳推理：从个别事实中推演出 ，这样的推理通常称为归纳推理；归纳推理的思维 过程是： 、 、 . 类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也 或 ，这样的推理称为类比推理，类比推理的思维过程是： 、 、 . 3.3.演绎推理：演绎推理是 ，按照严格的逻辑法则得到的 推理过程；三段论 常用格式为：M 是 P， ，S 是 P；其中是 ，它提供了一个个一般性原理； 是
3、 ，它指出了一个个特殊对象；是 ，它根据一般原理，对特殊情况作出的判 断. 4.4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等） 、实验和实践的结果，以及个人 的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程 中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培养。演绎推理是根据 已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程例例 1.1. 已知：23150sin90sin30sin222ooo； 23125sin65sin5sin222ooo通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_=2
4、3（ * ）并给出（ * ）式的证明.解：解：一般形式: 23)120(sin)60(sinsin222oo证明：左边 = 2)2402cos(1 2)1202cos(1 22cos1oo典型例题典型例题基础过关基础过关考纲导读考纲导读高考导航高考导航= )2402cos()1202cos(2cos21 23oo= ooo240cos2cos120sin2sin120cos2cos2cos2123240sin2sino= 2sin232cos212sin232cos212cos21 23= 右边23（将一般形式写成 2223sin (60 )sinsin (60 ),2oo2223sin (2
5、40 )sin (120 )sin2等均正确。）变式训练 1：设)()(,cos)( 010xfxfxxf， 21( )( ),fxfxL 1( )( )nnfxfx，nN，则)(2008xf 解：解：xcos，由归纳推理可知其周期是 4 例例 2.2. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：.222bac设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 OLMN，如果用321,sss表示三个侧面面积，4s表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .解：解：2 42 32 22 1SSSS。变式训
6、练变式训练 2 2：在ABC 中，若C=90，AC=b,BC=a，则ABC 的外接圆的半径222bar，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。 答案：答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形， 所以在空间中我们可以选取有 3 个面两两垂直的四面体来考虑。 取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体 ABCD，且 AB=a，AC=b，AD=c，则此三棱锥的外接球的半径是2222cbar。例例 3.3. 请你把不等式“若21,aa是正实数，则有21 12 222 1aaaa aa”推广到一般情形，并证明你的结论。答案：答案： 推广的结论：若 naaa,21L都是正数，nnn
7、naaaaa aa aa aaLL21 121232 222 1证明：证明： naaa,21L都是正数 12 22 12aaaa，21 12 22aaaa，12 12nn nnaaaa，nnaaaa21 12 nnnnaaaaa aa aa aaLL21 121232 222 1变式训练变式训练 3 3：观察式子：474131211 ,3531211 ,23211222222，则可归纳出式子为（ ）A、121131211222nnL B、121131211222nnLC、nnn12131211222L D、122131211222nnnL答案：答案：C。解析：用 n=2 代入选项判断。 例例
8、4.4. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b 平面，直线a 平面，直线b平面，则直线b直线a”的结论显然是错误的，这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 答案：答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。 变式训练变式训练 4 4：“QAC,BD 是菱形 ABCD 的对角线，AC,BD 互相垂直且平分。 ”补充以上推理的大前提是 。答案：答案：菱形对角线互相垂直且平分第第 2 2 课时课时 直接证明与间接证明直接证明与间接证明1.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接
9、证明； 直接证明的两种基本方法分析法和综合法 综合法 ；分析法 ； 2.2. 间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法；反证 法即从 开始，经过正确的推理，说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫 做反证法（归谬法）.例例 1 1若cba,均为实数，且62,32,22222xzczybyxa。求证：cba,中至少有一个大于 0。 答案：答案：（用反证法） 假设cba,都不大于 0，即0, 0, 0cba，则有0cba，而3)632() 1() 1() 1()62()32()22(222222zyxxzzyyxcba =3) 1() 1()
10、1(222zyx典型例题典型例题基础过关基础过关222) 1( ,) 1( ,) 1(zyx均大于或等于 0，03 ，0cba，这与假设0cba矛盾，故cba,中至少有一个大于 0。变式训练变式训练 1 1：用反证法证明命题“abNba, 可以被 5 整除，那么ba,中至少有一个能被 5 整除。”那么假 设的内容是 答案：答案：a,b 中没有一个能被 5 整除。解析：“至少有 n 个”的否定是“最多有 n-1 个”。 例例 2.2. ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，求证：cbacbba311。答案：答案：证明：要证cbacbba311，即需证3 cbcba bacba。即证1cba
11、 bac。又需证)()()(cbbabaacbc，需证222bacac ABC 三个内角 A、B、C 成等差数列。B=60。 由余弦定理，有o60cos2222caacb，即acacb222。 222bacac成立，命题得证。变式训练变式训练 2 2：用分析法证明：若a0，则2121 22aa aa。答案：答案：证明：要证2121 22aa aa，只需证2121 22aa aa。a0，两边均大于零，因此只需证22 22)21()21(aa aa只需证)1(222211441 22 22 22 aa aa aa aa，只需证)1(221 22 aa aa，只需证)21(211 22 22 aa
12、aa，即证21 22 aa，它显然成立。原不等式成立。例例 3 3已知数列 na，0na，01a，)(12 12 1 Nnaaannn记nnaaaSL21)1 ()1)(1 (1 )1)(1 (1 1121211nnaaaaaaTLL求证：求证：当 Nn时，（1）1nnaa；（2）2 nSn；（3）3nT。解：解：（1）证明：用数学归纳法证明当1n 时，因为2a是方程210xx 的正根，所以12aa假设当*()nk kN时，1kkaa，因为22 1kkaa22 2211(1)(1)kkkkaaaa2121()(1)kkkkaaaa，所以12kkaa即当1nk时，1nnaa也成立 根据和，可知1
13、nnaa对任何*nN都成立（2 2）证明：）证明：由22 111kkkaaa ，121knL，（2n），得22 231()(1)nnaaaanaL因为10a ，所以21nnSna 由1nnaa及22 11121nnnaaa 得1na ，所以2nSn（3 3）证明：）证明：由22 1112kkkkaaaa ，得111(2 313)12kkkaknnaaL，所以2 3421(3)(1)(1)(1)2n n naaaaaaL，于是2222 232211(3)(1)(1)(1)2()22nn nnn naanaaaaaL，故当3n时，2111 1322nnT L，又因为123TTT， 所以3nT 推理与证明综合练习推理与证明综合练习1.考察下列一组不等式： ,5252522233 ,5252523344 LL,525252322355.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 .2已
