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1、高考数学排列组合难题二十一种方法高考数学排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此 解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还 是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的 方法来处理。方法来处理。复习巩固复习巩固 1.1.分类计数原理分类计数原理( (加法原理加法原理) ) 完成一件事，有完成一件事，有类办法，在第类办法，在第 1 1 类
2、办法中有类办法中有种不同的方法，在种不同的方法，在n1m第第 2 2 类办法中有类办法中有种不同的方法，种不同的方法，在第，在第类办法中有类办法中有种不同种不同2mnnm的方法，那么完成这件事共有：的方法，那么完成这件事共有：种不同的方种不同的方12nNmmmL法法 2.2.分步计数原理（乘法原理）分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成个步骤，做第个步骤，做第 1 1 步有步有种不同的方法，做种不同的方法，做n1m第第 2 2 步有步有种不同的方法，种不同的方法，做第，做第步有步有种不同的方法，那么种不同的方法，那么2mnnm完成这件事共有：完成这件事共有：种不同的
3、方法种不同的方法12nNmmmL3.3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不 能完成整个事件能完成整个事件 解决排列组合综合性问题的一般过程如下解决排列组合综合性问题的一般过程如下: : 1.1.认真审题弄清要做什么事认真审题弄清要做什么事 2.2.怎样做才能完成所要做的事怎样做才能完成所要做的事, ,即采取分步还是分类即采取分步还是
4、分类, ,或是分步与分类同或是分步与分类同 时进行时进行, ,确定分多少步及多少类。确定分多少步及多少类。 3.3.确定每一步或每一类是排列问题确定每一步或每一类是排列问题( (有序有序) )还是组合还是组合( (无序无序) )问题问题, ,元素总元素总 数是多少及取出多少个元素数是多少及取出多少个元素. . 4.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用 的解题策略的解题策略 一一. .特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略 例例 1.1.由由 0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5 可以组
5、成多少个没有重复数字五位奇数可以组成多少个没有重复数字五位奇数. .练习题练习题:7:7 种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里, ,若两种葵花不种在中间，若两种葵花不种在中间， 也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二二. .相邻元素捆绑策略相邻元素捆绑策略 例例 2.2. 7 7 人站成一排人站成一排 , ,其中甲乙相邻且丙丁相邻其中甲乙相邻且丙丁相邻, , 共有多少种不同的排共有多少种不同的排 法法. .练习题练习题: :某人射击某人射击 8 8 枪，命中枪，命中 4 4 枪，枪，4 4 枪命中恰好有枪命中恰好有 3 3
6、 枪连在一起的情枪连在一起的情 形的不同种数为形的不同种数为 三三. .不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略 例例 3.3.一个晚会的节目有一个晚会的节目有 4 4 个舞蹈个舞蹈,2,2 个相声个相声,3,3 个独唱个独唱, ,舞蹈节目不能连舞蹈节目不能连 续出场续出场, ,则节目的出场顺序有多少种？则节目的出场顺序有多少种？练习题：某班新年联欢会原定的练习题：某班新年联欢会原定的 5 5 个节目已排成节目单，开演前又增加个节目已排成节目单，开演前又增加 了两个新节目了两个新节目. .如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目 不相邻，那么不同
7、插法的种数为不相邻，那么不同插法的种数为 四四. .定序问题倍缩空位插入策略定序问题倍缩空位插入策略 例例 4.74.7 人排队人排队, ,其中甲乙丙其中甲乙丙 3 3 人顺序一定共有多少不同的排法人顺序一定共有多少不同的排法练习题练习题:10:10 人身高各不相等人身高各不相等, ,排成前后排，每排排成前后排，每排 5 5 人人, ,要求从左至右身高要求从左至右身高 逐渐增加，共有多少排法？逐渐增加，共有多少排法？五五. .重排问题求幂策略重排问题求幂策略 例例 5.5.把把 6 6 名实习生分配到名实习生分配到 7 7 个车间实习个车间实习, ,共有多少种不同的分法共有多少种不同的分法 练
8、习题：练习题： 1 1 某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的 5 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个节目已排成节目单，开演前又增加了两 个新节目个新节目. .如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数 为为 2.2. 某某 8 8 层大楼一楼电梯上来层大楼一楼电梯上来 8 8 名乘客人名乘客人, ,他们到各自的一层下电梯他们到各自的一层下电梯, ,下下 电梯的方法电梯的方法 六六. .环排问题线排策略环排问题线排策略 例例 6.6. 8 8 人围桌而坐人围桌而坐, ,共有多少种坐法共有多少种坐法? ?练习题：练习题：6 6
9、颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈七七. .多排问题直排策略多排问题直排策略 例例 7.87.8 人排成前后两排人排成前后两排, ,每排每排 4 4 人人, ,其中甲乙在前排其中甲乙在前排, ,丙在后排丙在后排, ,共有多少共有多少 排法排法练习题：有两排座位，前排练习题：有两排座位，前排 1111 个座位，后排个座位，后排 1212 个座位，现安排个座位，现安排 2 2 人就人就 座规定前排中间的座规定前排中间的 3 3 个座位不能坐，并且这个座位不能坐，并且这 2 2 人不左右相邻，人不左右相邻， 那么不同排法的种数是那么不同排法的种数是 八八. .排列组
10、合混合问题先选后排策略排列组合混合问题先选后排策略 例例 8.8.有有 5 5 个不同的小球个不同的小球, ,装入装入 4 4 个不同的盒内个不同的盒内, ,每盒至少装一个球每盒至少装一个球, ,共有共有 多少不同的装法多少不同的装法. .练习题：一个班有练习题：一个班有 6 6 名战士名战士, ,其中正副班长各其中正副班长各 1 1 人现从中选人现从中选 4 4 人完成四人完成四 种不同的任务种不同的任务, ,每人完成一种任务每人完成一种任务, ,且正副班长有且只有且正副班长有且只有 1 1 人参人参 加加, ,则不同的选法有则不同的选法有 种种九九. .小集团问题先整体后局部策略小集团问题
11、先整体后局部策略 例例 9.9.用用 1,2,3,4,51,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,1,在两个奇数之间在两个奇数之间, ,这样的五位数有多少个？这样的五位数有多少个？练习题：练习题： . .计划展出计划展出 1010 幅不同的画幅不同的画, ,其中其中 1 1 幅水彩画幅水彩画, ,幅油画幅油画, ,幅国画幅国画, , 排排 成一行陈列成一行陈列, ,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端， 那么共有陈列方式的种数为那么共有陈列方式的种数为2.2. 5 5
12、男生和女生站成一排照像男生和女生站成一排照像, ,男生相邻男生相邻, ,女生也相邻的排法有几种女生也相邻的排法有几种十十. .元素相同问题隔板策略元素相同问题隔板策略 例例 10.10.有有 1010 个运动员名额，分给个运动员名额，分给 7 7 个班，每班至少一个个班，每班至少一个, ,有多少种分配有多少种分配 方案？方案？ 练习题：练习题： 1 1 1010 个相同的球装个相同的球装 5 5 个盒中个盒中, ,每盒至少一有多少装法？每盒至少一有多少装法？ 2 2 . .求这个方程组的自然数解的组数求这个方程组的自然数解的组数 100xyzw十一十一. .正难则反总体淘汰策略正难则反总体淘汰
13、策略 例例 11.11.从从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,90,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为不这十个数字中取出三个数，使其和为不 小于小于 1010 的偶数的偶数, ,不同的不同的 取法有多少种？取法有多少种？练习题：我们班里有练习题：我们班里有 4343 位同学位同学, ,从中任抽从中任抽 5 5 人人, ,正、副班长、团支部书正、副班长、团支部书 记至少有一人在内的抽法有多少种记至少有一人在内的抽法有多少种? ?十二十二. .平均分组问题除法策略平均分组问题除法策略 例例 12.12. 6 6 本不同的书平均分成本不同的书平均分成 3 3 堆
14、堆, ,每堆每堆 2 2 本共有多少分法？本共有多少分法？1 1 将将 1313 个球队分成个球队分成 3 3 组组, ,一组一组 5 5 个队个队, ,其它两组其它两组 4 4 个队个队, , 有多少分法？有多少分法？2.102.10 名学生分成名学生分成 3 3 组组, ,其中一组其中一组 4 4 人人, , 另两组另两组 3 3 人但正副班长不能分在人但正副班长不能分在 同一组同一组, ,有多少种不同的分组方法有多少种不同的分组方法 3.3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入入 4 4 名学生，要安排到该名学生，要安排到该 年级的两个班级且每班安
15、排年级的两个班级且每班安排 2 2 名，则不同的安排方案种数为名，则不同的安排方案种数为_十三十三. . 合理分类与分步策略合理分类与分步策略 例例 13.13.在一次演唱会上共在一次演唱会上共 1010 名演员名演员, ,其中其中 8 8 人能能唱歌人能能唱歌,5,5 人会跳舞人会跳舞, ,现现 要演出一个要演出一个 2 2 人唱歌人唱歌 2 2 人伴舞的节目人伴舞的节目, ,有多少选派方法有多少选派方法1.1.从从 4 4 名男生和名男生和 3 3 名女生中选出名女生中选出 4 4 人参加某个座谈会，若这人参加某个座谈会，若这 4 4 人中必须人中必须 既有男生又有女生，则不同的选法共有既
16、有男生又有女生，则不同的选法共有 2.2. 3 3 成人成人 2 2 小孩乘船游玩小孩乘船游玩,1,1 号船最多乘号船最多乘 3 3 人人, , 2 2 号船最多乘号船最多乘 2 2 人人,3,3 号号 船只能乘船只能乘 1 1 人人, ,他们任选他们任选 2 2 只船或只船或 3 3 只船只船, ,但小孩不能单独乘一只船但小孩不能单独乘一只船, , 这这 3 3 人共有多少乘船方法人共有多少乘船方法. . 十四十四. .构造模型策略构造模型策略 例例 14.14. 马路上有编号为马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯的九只路灯, ,现要关掉其中现要关掉其中 的的 3 3 盏盏, ,但不能关掉相邻的但不能关掉相邻的 2 2 盏或盏或 3 3 盏盏, ,也不能关掉两端的也不能关掉两端的 2 2 盏盏, , 求满足条件的关灯方法有
