高中数学新课 排列、组合和二项式定理 教案 （2）

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1、课课 题题： 10101 1 加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理 ( (一一) )教学目的：教学目的：1奎屯王新敞新疆了解学习本章的意义,激发学生的兴趣.2.理解分类计数原理与分步计数原理,培养学生的归纳概括能力.3.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题. 教学重点：教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 奎屯王新敞新疆教学难点：教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解奎屯王新敞新疆授课类型：授课类型：新授课 奎屯王新敞新疆课时安排：课时安排：1 课时 奎屯王新敞新疆教教 具具：多媒体、实物投影仪 奎屯王新敞新疆内容分析内容分析： 两

2、个基本原理是排列、组合的开头课，学习它所需的先行知识跟学生已熟 知的数学知识联系很少，排列、组合的计算公式都是以乘法原理为基础的，而 一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，所以在教 学目标中特别提出要使学生学会准确地应用两个基本原理分析和解决一些简单 的问题奎屯王新敞新疆对于学生陌生的知识，在开头课中首先作一个大概的介绍，使学生有一个大致的了解是十分必要的奎屯王新敞新疆基于这一想法，在引入新课时，首先是把这一章将要学习的内容，以及与其它科目的关系做了介绍，同时也引入了课题奎屯王新敞新疆正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件；分 类用加法原理，分步用乘

3、法原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样 合理地进行分类和分步奎屯王新敞新疆教学中给出的练习均在课本例题的基础上稍加改动过的，目的就在于帮助学生对这一知识的理解与应用奎屯王新敞新疆两个原理是教与学重点，又具有相当难度加法和乘法在小学就会，那么， 在中学再学它与以往有什么不同?不同在于小学阶段重在运算结果的追求，而 忽视了其过程中包含的深层次思想；两个原理恰恰深刻反映了人类计数最基本 的“大事化小” ，即“分解”的思想更具体地说就是把事物分成类或分成步 去数 “分类” 、 “分步” ，看似简单，不难理解，却是全章的理论依据和基本方 法，贯穿始终，所以，是举足轻重的重点两个原理，要能在各种场

4、合灵活应 用并非易事，所以，着实有其难用之处奎屯王新敞新疆教学过程教学过程： 一、复习引入：一、复习引入：一次集会共 50 人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一 下，大家握手次数共有多少？ 某商场有东南西北四个大门，当你从一个大门进去又从另一个大门出来， 问你共有多少种不同走法？揭示本节课内容：等我们学了这一部分内容后，这些问题会很容易解决奎屯王新敞新疆而这部分内容是代数中一个独立的问题，与旧知识联系很少，但它是以后学习二项式定理、概率学、统计学等知识的基础内容奎屯王新敞新疆从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分排列、 组合奎屯王新敞新疆它们研究对象独特，研究问题

5、的方法不同一般奎屯王新敞新疆虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以 及生物的选种等都与它直接有关奎屯王新敞新疆至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它奎屯王新敞新疆今天我们就来学习本章的两个基本原理(这是排列、组合的第一节课，把这 一章的内容作一个大概的介绍，能使学生从一开始就对将要学习的知识有一个 初步的了解，并为本章的学习研究打下思想基础奎屯王新敞新疆) 奎屯王新敞新疆二、讲解新课：二、讲解新课： 1.问题一 （11）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有 3 班，汽 车有 2 班，那么一天中，乘坐这些交

6、通工具从甲 地到乙地共有多少种方法？ 分析：因为一天中乘火车有 3 种走法，乘汽 车有 2 种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地， 所以，共有 3+2=5 种不同的走法，如图所示奎屯王新敞新疆(12) 从甲地到乙地，可以乘火车，也可 以乘汽车，还可以乘轮船奎屯王新敞新疆一天中，火车有 4 班, 汽车有 2 班，轮船有 3 班奎屯王新敞新疆那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 分析：从甲地到乙地有 3 类方法：第一类方法，乘火车，有 4 种方法； 第二类方法，乘汽车，有 2 种方 法；第三类方法，乘轮船，有 3 种方法；所以，从甲地到乙地共 有 4+2+3=9 种方法奎屯

7、王新敞新疆2奎屯王新敞新疆分类计数原理(加法原理)：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在1m第二类办法中有种不同的方法，在第 n 类办法中有种不同的方法2mnm奎屯王新敞新疆那么完成这件事共有 12nNmmmL种不同的方法奎屯王新敞新疆3.问题二 （21）从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车 到乙地，一天中，火车有 3 班，汽车有 2 班，那么两天中，从甲地到乙地共有 多少种不同的走法？甲地乙地 分析:因为乘火车有 3 种走法，乘汽车有 2 种走法，所以，乘一次火车再接着乘一次汽车从甲地到乙地，共有种不同走法，如图所示，3 26所有走法：

8、火车 1汽车 1；火车 1汽车 2；火车 2汽车 1； 火车 2汽车 2；火车 3汽车 1；火车 3汽车 2奎屯王新敞新疆（22）如图,由 A 村去 B 村的道路有 2 条，由 B 村去 C 村的道路有 3 条奎屯王新敞新疆从A 村经 B 村去 C 村，共有多少种不同的走法？ 分析: 从 A 村经 B 村去 C 村有 2 步, 第一步, 由 A 村去 B 村有 2 种方法, 第二步, 由 B 村去 C 村有 3 种方法, 所以 从 A 村经 B 村去 C 村共有 23 = 6 种不同的方法奎屯王新敞新疆4.分步计数原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有种不同的方法

9、，做第二步有种不同的方法，做第 n 步有1m2m种不同的方法，那么完成这件事有nm12nNmmmL种不同的方法奎屯王新敞新疆5.原理浅释 分类计数原理(加法原理)中， “完成一件事，有n类办法” ，是说每种办法 “互斥” ，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没 有遗漏进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法 中的哪一种方法，都能独立完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用加法 原理，否则不可以. 分步计数原理(乘法原理)中， “完成一件事，需要分成n个步骤” ，是说每 个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏 如果完成一件事需要分成

10、几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所 有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法， 下一步都有 m 种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理. 可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同两个原理的公式是: , 12nNmmmL12nNmmmL这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在 这里我们大有用武之地：可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步A村C村 B村强调知识的综合是近年的一种可取的现象两个原理，可以与物理中电路 的串联、并联类比 两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数奎屯王新敞新疆两

11、个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是 “分类完成” ，乘法原理是“分步完成”奎屯王新敞新疆三、讲解范例：三、讲解范例： 例例 1 1书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文 艺书，第 3 层放有 2 本不同的体育书， （1）从书架上任取 1 本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，有多少种不同的取法？ 解：（1）从书架上任取 1 本书，有 3 类办法：第 1 类办法是从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 类是从第 2 层取 1 本文艺书，有 3 种方法； 第 3 类办法是从第 3 层

12、取 1 本体育书，有 2 种方法奎屯王新敞新疆根据分类计数原理，不同取法的种数是 4+3+2=9 种奎屯王新敞新疆所以，从书架上任取 1 本书，有 9 种不同的取法； （2）从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，可以分成 3 个步骤完成：第 1 步从 第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取 1 本艺术书，有 3 种 方法；第 3 步从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法奎屯王新敞新疆根据分步计数原理，从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，不同取法的种数是种奎屯王新敞新疆4 3 224 所以，从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书，有 24 种不同

13、的取法奎屯王新敞新疆例例 2 2一种号码拨号锁有 4 个拨号盘，每个拨号盘上有从 0 到 9 共 10 个数 字，这 4 个拨号盘可以组成多少个四位数号码？ 解：每个拨号盘上的数字有 10 种取法，根据分步计数原理，4 个拨号盘上各取 1 个数字组成的四位数字号码的个数是，10 10 10 1010000N 所以，可以组成 10000 个四位数号码奎屯王新敞新疆例例 3 3要从甲、乙、丙 3 名工人中选出 2 名分别上日班和晚班，有多少种 不同的选法？ 解：从 3 名工人中选 1 名上日班和 1 名上晚班，可以看成是经过先选 1 名 上日班，再选 1 名上晚班两个步骤完成，先选 1 名上日班，

14、共有 3 种选法；上 日班的工人选定后，上晚班的工人有 2 种选法奎屯王新敞新疆根据分步技数原理，不同的选法数是种，6 种选法可以表示如下：3 26N 日班 晚班 甲 乙 甲 丙 乙 甲 乙 丙 丙 甲 丙 乙所以，从 3 名工人中选出 2 名分别上日班和晚班，6 种不同的选法奎屯王新敞新疆例例 4 4甲厂生产的收音机外壳形状有 3 种，颜色有 4 种，乙厂生产的收音 机外壳形状有 4 种，颜色有 5 种，这两厂生产的收音机仅从外壳的形状和颜色 看，共有所少种不同的品种？ 解：收音机的品种可分两类： 第一类：甲厂收音机的种类，分两步：形状有 3 种，颜色有 4 种，共 种；3 412 第二类：

15、乙厂收音机的种类，分两步：形状有 4 种，颜色有 5 种，共 种奎屯王新敞新疆4 520所以，共有个品种奎屯王新敞新疆122032 说明：分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题奎屯王新敞新疆区别在于：分类计数原理针对“分类”问题，其中方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤中 方法相互独立，只有各个步骤都完成才算完成了这件事奎屯王新敞新疆四、课堂练习四、课堂练习：1 1 . . 书架上层放有 6 本不同的数学书，下层放有 5 本不同的语文书奎屯王新敞新疆(1) 从中任取一本，有多少种不同的取法？ (2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？ 解：(1)从书架上任取一本书，有两种方法：第一类可从 6 本数学书中任取 一本，有 6 种方法；第二类可从 5 本语文书中任取一本，有 5 种方法；根据加 法原理可得共有 5+6=11 种不同的取法奎屯王新敞新疆(2) 从书架上任取数学、语文书各一本，可以分成两步完成：第一步任取一本 数学书，有 6 种方法；第二步任取一本语文书，有 5 种方法奎屯王新敞新疆根据乘法原理可得共有 56=30 种不同取法奎屯王新敞新疆2.2. 某班级有男学生 5 人，女学生 4