高中数学《数列》教案3苏教版必修5

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1、数列数列教学目标1使学生理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一 种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项（1）理解数列是按一定顺序排成的一列数，其每一项是由其项数唯一确定的（2）了解数列的各种表示方法，理解通项公式是数列第 项 与项数 的关系式， 能根据通项公式写出数列的前几项，并能根据给出的一个数列的前几项写出该数列的一个 通项公式（3）已知一个数列的递推公式及前若干项，便确定了数列，能用代入法写出数列的前 几项2通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力 和抽象概括能力3通过由 求 的过程，培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯教学

2、建议教学建议（1）为激发学生学习数列的兴趣，体会数列知识在实际生活中的作用，可由实际问题 引入，从中抽象出数列要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的 例子，还有物品堆放个数的计算等（2）数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数 的关系在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同 的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列函数表示法有列表法、图象法、解析式法， 类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法由于数列的自变量为正整数，于是就有 可能相邻的两项（或几项）有关系，从而数列就有其特殊的表示法递推公式法（3）由数列的通项

3、公式写出数列的前几项是简单的代入法，教师应精心设计例题，使 这一例题为写通项公式作一些准备，尤其是对程度差的学生，应多举几个例子，让学生观 察归纳通项公式与各项的结构关系，尽量为写通项公式提供帮助（4）由数列的前几项写出数列的一个通项公式使学生学习中的一个难点，要帮助学生 分析各项中的结构特征（整式，分式，递增，递减，摆动等），由学生归纳一些规律性的结论，如正负相间用 来调整等如果学生一时不能写出通项公式，可让学生依据前 几项的规律，猜想该数列的下一项或下几项的值，以便寻求项与项数的关系（5）对每个数列都有求和问题，所以在本节课应补充数列前 项和的概念，用 表示 的问题是重点问题，可先提出一个

4、具体问题让学生分析 与 的关系，再由特殊到一般，研究其一般规律，并给出严格的推理证明（强调 的表达式是分段的）；之后 再到特殊问题的解决，举例时要兼顾结果可合并及不可合并的情况（6）给出一些简单数列的通项公式，可以求其最大项或最小项，又是函数思想与方法 的体现，对程度好的学生应提出这一问题，学生运用函数知识是可以解决的教学设计示例教学设计示例数列的概念数列的概念教学目标教学目标1通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列 的项2通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想3通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性教学重点，

5、难点教学重点，难点教学重点是数列的定义的归纳与认识；教学难点是数列与函数的联系与区别教学用具：教学用具：电脑，课件（媒体资料），投影仪，幻灯片教学方法：教学方法：讲授法为主教学过程教学过程一揭示课题今天开始我们研究一个新课题先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有 100 根，在其上一 层（称作第二层）码放了 99 根，第三层码放了 98 根，依此类推，问：最多可放多少层？ 第 57 层有多少根？从第 1 层到第 57 层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而 是要但求如何去研究，找出一般规律实际上我们要研究的是这样的一列数（板书） 象这样排好队的数就是我们的研究对象数

6、列（板书）第三章 数列（一）数列的概念二讲解新课要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义， 再给出几列数：（幻灯片） 自然数排成一列数：3 个 1 排成一列：无数个 1 排成一列：的不足近似值，分别近似到 排列起来：正整数 的倒数排成一列数：函数 当 依次取 时得到一列数：函数 当 依次取 时得到一列数：请学生观察 8 列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位 置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数（板书）1数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）以上述八个数 列为例，让学生练

7、某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一 些项的项数由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，每 一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定所以数列中的每一项与其项数有着对应 关系，这与我们学过的函数有密切关系（板书）2数列与函数的关系数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集 ，或是正整数集 的有限子集 于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列遇到数学概念不单要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的 表示法（板书）3数列的表示法数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示

8、法有联系，首先请学生回忆函数的 表示法：列表法，图象法，解析式法相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，用 表示第 项，依次写出成为（板书）（1）列举法（如幻灯片上的例子）简记为 一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法（板书）（2）图示法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横 坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可 以直

9、观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即 ，这个函数式 叫做数列的通项公式（板书）（3）通项公式法如数列 的通项公式为 ；的通项公式为 ；的通项公式为 ；数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的 一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数 列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项例如，数列 的通项公式 ，则 值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公 式，即便有

10、通项公式，通项公式也未必唯一除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式 来表示，叫做递推公式（板书）（4）递推公式法如前面所举的钢管的例子，第 层钢管数 与第 层钢管数 的关系是 ，再给定 ，便可依次求出各项再如数列 中， ，这个数列就是 像这样，如果已知数列的第 1 项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项） 间的关系用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式递推公式是数列所特有 的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可可由学生举例，以检验学生是否理解三小结1数列的概念2数列的四种表示四作业 略五板书设计数列（一）数列的概

11、念 涉及的数列及表示1数列的定义2数列与函数的关系3数列的表示法（1）列举法（2）图示法（3）通项公式法（4）递推公式法典型例题典型例题例例 1 1数列 共有_项分析：数一个数列的项数都是从 1 开始的，找项与项数的关系关键是找首项与 1 的关 系解：已知数列的项数与数列 的项数相同，又 ，所以又与数列 的项数相同因为 共有 个数，所以 共有 个数因此 有 个数说明：数清项数是解决数列问题的首要问题，在有穷数列中，数列的末项未必是数列 的第 项，即有穷数列的项数未必是 一定要区分有穷数列的末项与通项例例 2 2已知数列 中， ，对任意 ， ，都有 则 _分析：已知条件 表示了无数个等式： ，

12、， ，再加上 这一条件便确定了这个数列，即可递推求出数列的各 项解：令 ，得 ， ， 令 ，得 ，令 ，得 令 ，得 说明：本题涉及了方程的思想，同时体现了特殊与一般的关系也可能有学生看出就求出了数列的通项公式，用代入法便可求出数列的任意一项，如果希望学生看出这一结果，可将所求换成求项数较大的项例例 3 3数列 的通项公式为 ， 表示数列 的前 项和，求 分析：数列的每一项 ，数列的前 项和便抵消了一些项解： 说明：可以在此补充裂项求和法，当然裂项法不仅仅针对分式形式的通项公式，只要 的形式就行例例 4 4在数列 中， ，那么这个数列中的最大项与最小项 的项数为_分析：通过函数 的取值情况来探

13、求数列的最大项及最小项解：函数 ，其图象是由函数的图象向右平移 个单位，再向上平移 1 个单位得到， 根据图象可得 最小， 最大，即第 9 项最小，第 10 项最大说明：数列的项与项数构成特殊的函数关系，研究其最值的方法就是求函数最值的基 本方法，求函数最值的方法之一是数形结合，即利用函数图象来判断最值例例 5 5设数列 各项均为正数的数列， ，且满足： ， 则数列 的通项公式为_分析：解决此问题有两个思路，一是 求出数列的前几项，由此猜出数列的通项 公式（因为这是填空题）；另一个思路是 化简已知递推式（因式分解，降次），使 与 明确，简洁，便于寻求解决方 式解：由已知得 ， ， ， 于是有

14、，这 个等式相乘得 ，由于 ，所以 说明：这种方法叫做迭乘法，相类似的还有迭加法扩展资料扩展资料扩展资料扩展资料兔子繁殖问题与斐波那契兔子繁殖问题与斐波那契裴波那契裴波那契（Fibonacci leonardo，约 1170-1250）是意大利著名数学家 他最重要的 研究成果是在不定分析和数论方面，他的“裴波那契数列”成为世人们热衷研究的问题 保存至今的裴波那契著作有 5 部，其中影响最大的是 1202 年在意大利出版的算盘书 ，算盘书中许多有趣的问题中最富成功的问题是著名的“兔子繁殖问题” 如果每对 兔子每月繁殖一对子兔，而子兔在出生后第二个月就有生殖能力，试问一对兔子一年能繁 殖多少对兔子

15、？可以这样思考：第一个月后即第二个月时，1 对兔子变成了两对兔子，其 中一对是它本身，另一对是它生下的幼兔 第三个月时两对兔子变成了三对，其中一对是 最初的一对，另一对是它刚生下来的幼兔，第三对是幼兔长成的大兔子 第四个月时，三对兔子变成了五对，第五个月时，五对兔子变成了八对，这组数可以用图来表示，这组数 从三个数开始，每个数是两个数的和，按此方法推算，第六个月是 13 对兔子，第七个月是 21 对兔子，裴波那契得到一个数列，人们将这个数列前面加上一项 1,成为“裴波那契数列”，即：1,1,2，3,5,8,13 数列用 表示有： 出人意 料的是，这个数列在许多场合都会出现，在数学的许多不同分支中都能碰到它 如果把普遍目前数列邻项之比作为一个新数列的项，我们得到： ，可以证明这个数列的极限是： ，这是非常有名的黄金分割率，大自然中许多现 象总是力求接近黄金比 ，这个黄金比在科学中甚至艺术中也经常出现 例如，宽比长 的比等于黄金比 时最美：黄金比在古希腊建筑和陶瓷中可以经常见到埋在现代建筑设计 等方面也越来越多地显示出黄金比的独特魅力 裴波那契数列的许多有趣的性质和重要应 用，引起了近 800 年数学历史上许多学者的兴趣，世界上有关裴波那契数列的研究文献多 得惊人，裴波那契数列不仅是在初等数学中引人入胜，而且它的理论已广泛应用，特别是 在数列、运筹学及优化理论方面为数学家们