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1、恒成立与有解恒成立与有解1 恒成立问题与一次函数联系恒成立问题与一次函数联系 给定一次函数 y=f(x)=ax+b(a0),若 y=f(x)在m,n内恒有 f(x)0，则根据函数的图象 （直线）可得上述结论等价于）或）亦可合并定成 0)(0 mfa 0)(0 nfa 0)(0)( nfmf同理，若在m,n内恒有 f(x)2p+x 恒成立的 x 的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x 及 P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量， 另一个作为常数。显然可将 p 视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于 p 的一 次函数大于 0 恒成立的问题。 略解：不等式即(x-1)p+x2-2x
2、+10,设 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则 f(p)在-2,2上恒大于 0，故 有：即解得： )2(0)2(ff 0103422xxx 1113xxxx或或x3. 2 恒成立问题与二次函数联系恒成立问题与二次函数联系若二次函数 y=ax2+bx+c=0(a0)大于 0 恒成立，则有，若是二次函数在指定区 00a间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。 例 2、设 f(x)=x2-2ax+2,当 x-1,+)时，都有 f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围。分析：题目中要证明 f(x)a 恒成立，若把 a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间-1
3、,+)时恒大于 0 的问题。解：设 F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.)当=4（a-1)(a+2)3 即a+245 a45 a上式等价于或2)2(4504502aaaa 04502 aa解得。485a注：注意到题目中出现了 sinx 及 cos2x，而 cos2x=1-2sin2x,故若把 sinx 换元成 t,则可 把原不等式转化成关于 t 的二次函数类型。、 构造函数、区构造函数、区间间最最值值求解求解例例 1、 、设设其中其中，如果，如果时时， ，恒有意恒有意义义，求，求124( )lg,3xxaf xaR(.1)x ( )f x的取的取值值范范围围。 。a分析：如果时，恒
4、有意义，则可转化为恒成立，(.1)x ( )f x1240xxa即参数分离后，恒成立，接下来可转化为212(22)4x xx xa (.1)x 二次函数区间最值求解。解：如果时，恒有意义，对恒成立.(.1)x ( )f x1240xxa (,1)x 恒成立。212(22)4x xx xa (.1)x 令，又则对恒2xt2( )()g ttt (.1)x 1( ,)2t( )ag t1( ,)2t成立，又在上为减函数，。( )g tQ1 ,)2tmax13( )( )24tg g3 4a 例例 2、 、设设函数是定函数是定义义在在上的增函数，如果不等式上的增函数，如果不等式(,) 对对于任意于任
5、意恒成立，求恒成立，求实实数数的取的取值值范范围围。 。2(1)(2)faxxfa0,1xa分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于212axxa任意恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。0,1x解：是增函数对于任意恒成立( )f xQ2(1)(2)faxxfa0,1x对于任意恒成立212axxa 0,1x对于任意恒成立，令，210xaxa 0,1x2( )1g xxaxa ，所以原问题，又即0,1xmin( )0g xmin(0),0( )(), 202 2,2ga ag xgaa 易求得。2min1,0( )1, 204 2,2aaag xaaa 1a 、 3、已知当已知当
6、xR 时时，不等式，不等式 a+cos2x(4sinx+cos2x)设则f(x)=4sinx+cos2x22f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin x+4sinx+1=-2(sinx-1) +3 3 -a+53a0,t-1,1恒成立。 设 f(t)= 2t2-4t+4-a，显然 f(x)在-1，1内单调递减，f(t)min=f(1)=2-a,2- a0a1,并且必须也只需 (2)(2)gf 故 loga21,a1,10,若将等 号两边分别构造函数即二次函数 y= x2+20x 与一次函数 y=8x-6a-3，则只需考虑 这两个函数的图象在 x 轴上方恒有唯一交点即可。解：令 T1：y1
7、= x2+20x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,则 如图所示，T1的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜 率为定值 8，而截距不定的直线，要使 T1和 T2在 x 轴 上有唯一交点，则直线必须位于 l1和 l2之间。 （包括 l1 但不包括 l2) 当直线为 l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=;6163当直线为 l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=a 的范围为，）。21616321、 正正难则难则反、逆向思反、逆向思维维例例 7、 、对对于于满满足足|p|2 的所有的所有实实数数 p,求使不等式求使不等式 x2+px+1
8、2p+x 恒成立的恒成立的 x 的的取取值值范范围围。 。分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了 p 的范围要求 x 的相应范围，直接从 x 的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p 看作自变量，x看成参变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于 p 的一次函数函数值大于 0恒成立求参变量 x 的范围的问题。解：原不等式可化为 (x-1)p+x2-2x+10,令 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于 f(p)0 在 p-2,2上恒成立，故有：oy2-2xy-22 xxyl1l2l-20o方法一：或x3.10 (2)0x f 10 ( 2)0x f 方法二
9、：即解得：( 2)0 (2)0f f 0103422xxx 1113xxxx或或x3.、 直接推理、直接推理、顺顺理成章理成章例例 8、已知、已知的反函数的反函数的的图图像像过过点（点（5， ，2），且在区），且在区间间5( )62xf xmm1( )fx内恒有内恒有，求，求。 。23(,)41( )0fx1( )fx解：的图像过点（5，2）的图像过点（2，5）1( )fxQ( )f x或25(2)652fmm1 2m 2m i)当时，又在区1 2m 119( )( )24xf x 1 1 21919( )log () ()44fxxx间内恒有23(,)41( )0fx1 2mii)当时又在区
10、间2m ( )21xf x 1 2( )log (1) (1)fxxx 不能满足恒有23(,)41( )0fx2m综上所述，。1 2m 1 1 21919( )log () ()44fxxx例例 9、已知数列、已知数列、 、中，中， ，na nb1 12324296n naaaanL，求使，求使恒成立的恒成立的的最大整数的最大整数值值。 。2|(3log)3n nabn111 6niim bm解：由可知：1 12324296n naaaanLI）当时1n 13a II）当时2n 2 123124296(1)n naaaan L16,22nnan 综上有 既有13,1 6,22nnn an 3,
11、1 (1),2nnbn nn =12111 (1)3nniiibi i 211151()1361niiin又111 6niim bmin 11111 6(1 6)3nniiiimmmbb 恒成立的的最大整数值为 2。111 6niim bm、 借助函数性借助函数性质质、巧架解、巧架解题桥题桥梁梁例例 10、已知函数、已知函数，若函数，若函数图图象上任意一点象上任意一点 P( )log (1),(1)af xxa( )yg x关于原点的关于原点的对对称点称点 Q 的的轨轨迹恰好是函数迹恰好是函数的的图图象。象。( )f x（1）写出函数的的解析式及其定义域；( )g x（2）当时，令，若总有成立
12、，求实数0,1)x( )( )( ).F xf xg x( ) 10F xm 的取值范围。m解：（1）易求得( )log (1),(,1)ag xx x （2）分析：由条件容易求出对应函数的解析式则原问题1( )( )( )log1axF xf xg xx可转化为，恒成立。而函数min ( ) 1mF x0,1)x又具有单调性，则可利用单调性求最值。1( )( )( )log1axF xf xg xx解：由题意得当时，。设0,1)x1( )( )( )log1axF xf xg xx(1)a 1201xx2121 21 2121(1)(1)2()()()loglog10(1)(1)(1)(1)
13、xxxxF xF xxxxx。当，时函数为21()()F xF x0,1)x(1)a 1( )( )( )log1axF xf xg xx增函数；所以当时， ，若总有成立0,1)x( )( )( ).F xf xg x( ) 10F xm 。minmin ( ) 1( )1(0) 11mF xF xF 1m例例 11、若、若 f(x)=sin(x+)+cos(x-)为为偶函数，求偶函数，求的的值值。 。解：由题得：f(-x)=f(x)对一切 xR 恒成立， sin(-x+)+cos(-x-)=sin(x+)+cos(x-) 即 sin(x+)+sin(x-)=cos(x+)-cos(x-) 2
14、sinxcos=-2sinxsin sinx(sin+cos)=0 对一切 xR 恒成立，sin+cos=0。=k.（kZ)42 2 主参换位法主参换位法 某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出 参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个 位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。例例 4 4：若对于任意 a，函数的1 , 1 axaxxf2442值恒大于 0，求 x 的取值范围。 分析：分析：此题若把它看成 x 的二次函数，由于 a, x 都要变，则函数的最小值 很难求出，思路受阻。若视 a 为主元，则给解题带来转机。解：解： 设 ，把它看成关于 a 的直线， 4422xxaxag由题意知，直线恒在横轴下方。 所以 01 g01 g解得： 或或1x2x3x例例 5 5：
