《轴拉荷载下含有圆形夹杂的无限大平面弹性体弹性场的等效夹杂法的解答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《轴拉荷载下含有圆形夹杂的无限大平面弹性体弹性场的等效夹杂法的解答（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、http:/ - 1 -轴拉荷载下含有圆形夹杂的无限大平面弹性体弹性 场的等效夹杂法的解答轴拉荷载下含有圆形夹杂的无限大平面弹性体弹性 场的等效夹杂法的解答 徐前 河海大学工程力学系,南京（210098） E-mail： 摘摘 要：要：本文根据 Eshelby 等效夹杂理论，利用两种情况下所列出的物理方程的等量代换， 先求出本征应变，进而导出轴拉荷载下含有圆形夹杂的无限大平面弹性体的位移场和应力 场，并对结果进行量化。 关键词：关键词：应力，位移，夹杂，等效夹杂理论 1引言引言 材料是科学技术的必要物质基础， 任何一项新技术的突破， 都要有相应的新材料作前提保证， 而且某些新材料的研制过程本身
2、就是新技术的发展， 新材料对于新技术和新兴工业的发展具有举足轻重的关键作用。 所谓复合材料3是将两种或两种以上， 具有不同性质的材料，用某种工艺方法均匀地合成为一体而形成的一种新的材料。 颗粒增强类复合材料是复合材料的一个重要分支， 它是指以金属微粒子或非金属粒子为增强剂的复合材料。 颗粒增强类复合材料的优良性能使得它在各个领域都有广泛的用途， 这也就鼓励我们对它的力学性能做深入的研究。 目前，对含有夹杂的各种模型的数值模拟已经相当成熟，但在理论推导方面，还比较欠缺，也有一些学者做过很多研究，获得了一些有意义的成果5-7。在这里，我们将采用等效夹杂理论对轴拉荷载下含有圆形夹杂的无限大平面弹性体
3、的弹性场进行研究。 2等效夹杂理论介绍等效夹杂理论介绍 设想在一个均匀各向同性的无限大弹性体内有一局部区域， 其材料由于某种原因 （例如相变） ， 在无约束的情况下将产生一个永久变形* ij。 Eshelby 将此应变称为相变应变， Mura则将其称为本征应变，以涵盖更广泛的一类非弹性应变。由于在区域的外部实际上有约束存在，整个弹性体的位移与应变将是iu与ij。我们把应变ij分解为两部分； ij=+ije* ij 其中ije为弹性应变部分，而本征应变* ij在区域的外部取值为零。 根据弹性力学中的虎克定律，弹性体的应力为 ij=ijklC（kl* kl） （1） 其中 ijklC=klij+2
4、jlik 与为拉梅常数，ij为 Kronecker 记号。 将应力表达式代入平衡微分方程中，得 ijklCjkl,=ijklC* , jkl （2） 同时由于弹性体上无外荷载作用，在其外边界上有 http:/ - 2 -ijklCkljn= 0 （3） 从式 （2） ， （3） 可以看出， Eshelby 相变问题相当于在弹性体内部作用有分布体力ijklC* , jkl的问题。 Eshelby 证明了当本征应变* ij为常数时，内的应变ij是均匀的，它可以表示为 ij=ijklS* kl （4） 这里ijklS称为 Eshelby 四阶张量。 考虑在弹性常数为ijklC的基体相D中，存在一个弹
5、性常数为1 ijklC的区域的情况，在无异性夹杂存在时均匀的应力场，由于的出现将受到干扰。对于的形状为椭球体的情况，若假定物体为无限大，由此产生的位移和应力的受扰部分等效于中本征应变取适当值的椭球体夹杂产生的位移和内应力。 令无异性夹杂时由均匀的外部应力0 ij作用产生的位移为0 iu，相应的弹性应变为0 ij，由于的存在，位移和弹性应变分别变为0 iu+iu和0 ij+ij，其内部的应力场变为0 ij+ij，其中ij与ij为由于夹杂的存在而产生的扰动应力与应变，它们满足1 2 0 ij+ij=1 ijklC（0 kl+kl） 在内 （5） 0 ij+ij=ijklC（0 kl+kl） 在外
6、（6） 以及 0 ij =ijklC0 kl （7） Eshelby 证明了在这种情况下夹杂内部的应力场与应变场是均匀的，上述非均匀弹性体的弹性场可以用 Eshelby 相变问题来替代。设有一个均匀的弹性常数为ijklC的无限大弹性体，它在远场受均匀应力0 ij的作用，同时在区域内给定一均匀的本征应变* ij。在这一弹性体内它的应力场为1 2 0 ij+ij=ijklC（0 kl+* klkl） 在内 （8） 0 ij+ij=ijklC（0 kl+kl） 在外 （9） 其中ij与ij为由于本征应变* kl而引起的扰动应力与应变，ij 满足（4） ，即3- 5 ij=ijmnS* mn （10）
7、 比较（5）与（8） ，可以看出如果这两个问题等效，则有 1 ijklC（0 kl+kl）= ijklC（0 kl+* klkl） （11） 联立求解方程（10）与（11）就能够得到等效本征应变* kl，并进而求得夹杂内外的弹性场。 3轴拉荷载下含有圆形夹杂的无限大平面弹性体弹性场的等效夹杂 法的解答轴拉荷载下含有圆形夹杂的无限大平面弹性体弹性场的等效夹杂 法的解答 3.1 公式推导公式推导 用等效夹杂理论来解含有圆形异性夹杂的无限大平面弹性体受有轴向拉伸外力时的应http:/ - 3 -力场，假设无限大平面弹性体 D 的弹性模量为 E，泊松比为，拉梅常数为与，圆形异性夹杂的半径为 a ，弹性
8、模量和泊松比分别为 E1，1，拉梅常数为1与1， D 的左右两个边界上的均布拉力集度为 q，并建立坐标系，如图 1。 图 1 含有圆形夹杂的无限大平面弹性体受轴拉荷载 设当弹性体无异性夹杂时产生的均匀的应力为0 ij， 相应的弹性应变为0 ij， 由于的存在，弹性应变变为0 ij+ij，其应力场变为0 ij+ij，其中ij与ij为由于夹杂的存在而产生的扰动应力与应变，则在内部的物理方程1 2为（5） ，将其展开为 xx+0=)(0001 zzyyxx+2+1)(0 xx+ yy+0=)(0001 zzyyxx+2+1)(0 yy+ zz+0=)(0001 zzyyxx+2+1)(0 zz+ x
9、yxy+0=1（xyxy+0） yzyz+0=1（yzyz+0） zxzx+0=1（zxzx+0） （12） 再设有一个均匀的弹性常数为ijklC的无限大弹性体，它在远场受均匀应力0 ij的作用，同时在区域内给定一均匀的本征应变* ij，ij与ij为由于本征应变* kl而引起的扰动应力与应变，在内它的应力场12为（8） xx+0=)(*0*0*0 zzzyyyxxx+2+)(*0 xxx+ yy+0=)(*0*0*0 zzzyyyxxx+2+)(*0 yyy+ zz+0=)(*0*0*0 zzzyyyxxx+2+)(*0 zzz+ xyxy+0=（*0 xyxyxy+） yzyz+0=（*0
10、yzyzyz+） zxzx+0=（*0 zxzxzx+） （13） 因为扰动应变ij与本征应变* ij有式（10）的关系，将其展开3- 5，得 x=* 1111xS+* 1122yS+* 1133zS+* 1112xyS+* 1113xzS+* 1121yxS+* 1123yzS+* 1131zxS+* 1132zyS http:/ - 4 -y=* 2211xS+* 2222yS+* 2233zS+* 2212xyS+* 2213xzS+* 2221yxS+* 2223yzS+* 2231zxS+* 2232zyS z=* 3311xS+* 3322yS+* 3333zS+* 3312xyS
11、+* 3313xzS+* 3321yxS+* 3323yzS+* 3331zxS+* 3332zyS xy=* 1211xS+* 1222yS+* 1233zS+* 1212xyS+* 1213xzS+* 1221yxS+* 1223yzS+* 1231zxS+* 1232zyS xz=* 1311xS+* 1322yS+* 1333zS+* 1312xyS+* 1313xzS+* 1321yxS+* 1323yzS+* 1331zxS+* 1332zyS yz=* 2311xS+* 2322yS+* 2333zS+* 2312xyS+* 2313xzS+* 2321yxS+* 2323yzS
12、+* 2331zxS+* 2332zyS （14） 因为ijklS具有对称性，所以xy=yx，xz=zx，yz=zy。 此问题相当于钱币形夹杂的问题，2/131312323=SS ，)1/(33223311=SS ，13333=S，其余的 Eshelby 张量都为零，将以上取值代入（14） ，得 x=y=0， z=* 1x +* 1y +* z， xy=yx=0， xz=zx=* 21xz+* 21zx=* xz， yz=zy=* 21yz+* 21zy=* yz （15） 当无异性夹杂存在时，如图 2 所示，此问题的应力表示为 0 x=q ，0 y=0 ，00=z ，0 xy=0 xz=0 yz=0 图 2 均匀无限大弹性体受轴向拉伸 代入物理方程，应变表示为 0 x=2q )23(2 +q，0 y=0 z=)23(2 +q，0 xy=0 xz=0 yz=0 （16） （12）与（13）利用等量代换，并将（15）代入，整理得， http:/ - 5 -( +1211 )* x+(
