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1、 学有方初三数学 寒假课程1第五讲第五讲 探究规律教教学学目目标标（1）使学生掌握规律题的解题方法（2）使学生掌握类比、归纳等常用数学思想方法（3）强化学生的推理能力。教学重点教学重点规律题的解题方法；类比、归纳等数学思想方法教学难点教学难点规律题的解题方法教学方法建议教学方法建议讲练结合，讲授、讨论结合课堂精讲例题课堂精讲例题搭配课堂训练题搭配课堂训练题课后作业课后作业A 类（ 4 ）道（ 5 ）道（ 8 ）道B 类（ 4 ）道（ 6 ）道（ 7 ）道选材程度及数量选材程度及数量C 类（ 2 ）道（ 2 ）道（ 3 ）道一、知识梳理一、知识梳理规律探索型问题是考察学生推理能力的一种题目。推理
2、能力主要表现在：能通过背景材料，进行观察、比较、实验、归纳、类比、抽象和推理等获得数学猜想，探索数、形及实际问题中蕴含的关系和规律，增强应用数学的意识，提高运用代数知识与方法解决问题的能力.规律题的题型有很多，解题方法也有很多，大致可以分为三类：（1）数式规律探究（2）图形规律探究（3）阅读理解型探究规律二、方法归纳二、方法归纳学有方初三数学 寒假课程2四个函数基本模型四个函数基本模型（1）一次函数模型（也就是高中学习的等差数列）比如：1、3、5、7、9我们都知道，这组数据的规律是 2n-1，而 2 正是这组数据中后一个数减去前一个的差，我们可以把其规律看为：12(n1)2n1再比如 5、9、
3、13、17这组数据的规律是 4n+1,4 是后项减前项的差，其规律为：54(n1)4n1所以，如果一组数据具有后项减前项的差恒定的特点，则属于一次函数模型，即：的规律为：,其中12na ,aaL1ad(n1)nn 1daa（2）幂函数模型（也就是高中学的等比数列）比如这组数据的规律为：，其中是后项与前项的比值，我们1 1 112 4 8L，n 11 2（）1 2可以把其规律看为：n 1n 111122（）（）再比如：这组数据的规律为：，其中是后项与前项的比值，1 133 9L，1，n 21 3（）1 3我们可以把其规律看为：n 1n 211333（）（）所以，如果一组数据具有后项与前项的比值恒
4、定的特点，则属于幂函数模型，即：的规律为：,其中12na ,aaLn 1 1aqnn 1aqa学有方初三数学 寒假课程3（3）二次函数模型比如：这组数据的规律为：,我们发现，这组数据的后项与前项2 612 20L，2nn的差和比值都不是确定的值，但是我们发现，他们的差是：是属于一次函数模型的，4 6 8，这个特点是判断一组数据是否是二次函数模型的唯一标准，即：后项与前项的差是一次函数模型。对于规律的求解，如果学生的能力足够强，当然可以看出其规律是：,但是，不是所有的学生都可以看出来，下面我介绍一种方法，虽然有些2n(n1)nn麻烦，但比较实用。当我们判断出一组数据是二次函数规律后，比如我们可2
5、 612 20L，以按顺序看成是若干个点：（1，2） 、 （2，6） 、 （3，12） 、 （4，20）取前三个点代入即可，2yanbnc即,两两相减即可得到：,最后得到：abc2 4a2bc6 9a3bc12 3ab45ab6 a1b1c0 即：2nn（4）周期函数比如：2、4、8、6、2、4、8、6，这组数据是以 2、4、8、6 为循环节的周期函数，如果要知道第 N 个数字是几，只要用 N 除以循环节 4，所得的余数所对应的数字即为所求，例如，我们想知道第 11 个数字是几，只要用 11 除以 4 所得余数为 3，所以第 11 个数字是 8.三、课堂精讲例题三、课堂精讲例题 （一）数式规律
6、探究（一）数式规律探究 例 1、有一组数：1，2，5，10，17，26，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第 8 个数为 【难度分级难度分级】A 类试题来源试题来源2007 辽宁沈阳中考真题选题意图选题意图函数基本模型（二次函数）的应用解题思路解题思路很明显可以发现后项与前项的差为：1、3、5、7、9，是二次函数模型的标志特征，利用二次函数模型即可算出其规律为：，把带入，就可以求出第 8222 nn8n个数为 50，当然，由于此题只是计算第 8 个数字，也可以利用后项与前项的差按 2 递增的学有方初三数学 寒假课程4特点算出第 8 个数字答案答案50例 2、按一定规律排列的一列数依次为
7、，按此规律排列下去，2 35 810 1517 2426 35L这列数的第个数是（是正整数） nn【难度分级难度分级】A 类试题来源试题来源2007 广西钦州课改中考真题选题意图选题意图函数基本模型（二次函数）的应用解题思路解题思路对于分数类的数字型规律题，我们一般把分母、分子分开寻找其规律。对于对于分数类的数字型规律题，我们一般把分母、分子分开寻找其规律。对于本题，分子和分母都是二次函数模型。在此思路的基础上，我们很容易发现分子的规律是：本题，分子和分母都是二次函数模型。在此思路的基础上，我们很容易发现分子的规律是：21n ，而分母的规律是：1) 1(2n答案：（写成或均可）221 (1)1
8、n n 221 2n nn 21 (2)n n n 【搭配课堂训练题搭配课堂训练题】1、观察下列一组数：21，43，65，87， ，它们是按一定规律排列的 那么这一组数的第k个数是 【难度分级难度分级】A 类试题来源试题来源2009 年龙岩中考试题答案答案kk 212 2、观察下面的一列单项式：，根据你发现的规律，第 7 个单项x22x34x48x式为 ；第个单项式为 n【难度分级难度分级】A 类试题来源试题来源2009 年青海中考试题答案答案；764x1( 2)nnx3、观察一列有规律的数：4，8，16，32，它的第 2007 个数是（ ）ABCD200722007212008220062【
9、难度分级难度分级】A 类试题来源试题来源2007 湖南张家界课改中考试题学有方初三数学 寒假课程5答案答案C例 3、将杨辉三角中的每一个数都换成分数 ，得到一个如图 4 所示的分数三角形，称莱布尼茨三角形.若用有序实数对(，)表示第行,从左到右第个数,如(4,3)表示分数.那121么(9,2)表示的分数是 .【难度分级难度分级】B 类试题来源试题来源2008 恩施自治州中考真题选题意图选题意图让学生明白：解规律题也要注意出题的背景解题思路解题思路此题的背景是杨辉三角，而杨辉三角的特点是下面的数字是上面两个数字的和，而在此题中，我们发现下面的数字并不是上面两个数字的和，但是，上面的数字却是下面两
10、个数字的和，根据此规律，我们即可得到答案：721答案答案721【搭配课堂训练题搭配课堂训练题】1、观察数表根据表中数的排列规律，则字母所表示的数是A_【难度分级难度分级】A 类试题来源试题来源2009 恩施自治州中考真题答案答案-10例 4、正整数按图 2 的规律排列请写出第 20 行，第 21 列的数字 学有方初三数学 寒假课程6【难度分级难度分级】B】B 类试题来源试题来源2009 年广西南宁中考真题选题意图选题意图考查学生观察、分析、归纳、总结材料的能力解题思路解题思路解决此题的关键点有两个，1：第一列上的数字都是，2：在 1 的基础上，2n发现对角线上的数字是：，在此基础上，要解决第
11、20 行，第 21 列的数字是几的12nn问题，只需要计算出 21 行，21 列的数字，然后再减去 1，即可。【答案答案】420【搭配课堂训练题搭配课堂训练题】1、将正偶数按下表排成五列: 第 1 列 第 2 列 第 3 列 第 4 列 第 5 列第 1 行 2 4 6 8第 2 行 16 14 12 10第 3 行 18 20 22 24 28 26根据上面排列规律,则 2000 应在( ) A. 第 125 行第 1 列 B.第 125 行第 2 列 C.第 250 行第 1 列 D.第 250 行第 2 列【难度分级难度分级】B 类试题来源试题来源2001 年荆州中考试题答案答案CC例
12、5、观察下列算式，用你所发现的规律得出的末位数字是（ ）20102, , , , , , , ,1222243284216523262647212882256A2 B4 C6 D8学有方初三数学 寒假课程7【难度分级】A 类试题来源2010 广东深圳中考真题选题意图有寻环节的规律题的解题方法解题思路很明显，此题以：2、4、8、6 为一个循环，将 2010 除以 4，余 2，则答案为4【答案】B 【搭配课堂训练题搭配课堂训练题】1、下面两个多位数 1248624、6248624，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以 2，若积为一位数，将其写在第 2 位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第
13、2位。对第 2 位数字再进行如上操作得到第 3 位数字，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第 1 位数字是 3 时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前 100 位的所有数字之和是（ ）A）495 B）497 C）501 D）503【难度分级】B 类试题来源2010 安徽省中考试题答案A（二）图形规律探究（二）图形规律探究例 6、王婧同学用火柴棒摆成如下的三个“中”字形图案，依此规律，第 n 个“中”字形图案需 根火柴棒.【难度分级】A 类试题来源2009 年娄底中考真题选题意图函数模型的应用（一次函数）解题思路三个图形中的火柴根数分别为：9、15、21，很明显是一次
14、函数模型。【答案】6n+3例 7、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如： 学有方初三数学 寒假课程8他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1，4，9，16，这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是（A）15 （B）25 （C）55 （D）1225【难度分级】B 类试题来源2010 山东日照中考真题选题意图函数模型的应用（二次函数）解题思路首先得出图 1 及图 2 的规律分别为：，所以排除选项 A、C，) 1(21nn2m又因为方程没有正整数解，所以也排除，所以选 D25) 1(21nn【答案】D 例例 8、在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的位置如图所示，点 A 的坐标为（1，0） ，点 D的坐标为（0，2） 延长 CB 交 x 轴于点 A1，作正方形 A1B1C1C；延长 C1B1交 x
