圆周角与圆心角

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1、 1第第 9 讲讲 圆圆心角与心角与圆圆周角周角本本课课是在学是在学习习了了圆圆，半径，直径，弦，弧，半径，直径，弦，弧，圆圆心角等概念以及心角等概念以及圆圆的的对对称性的基称性的基础础上，用推理上，用推理论证论证的方法的方法研究研究圆圆周角与周角与圆圆心角关系。它在与心角关系。它在与圆圆有关推理、有关推理、论证论证和和计计算中算中应应用广泛，是本章重点内容之一。用广泛，是本章重点内容之一。【 【知知识识点清点清单单】 】 圆圆心角、弧、弦、弦心距之心角、弧、弦、弦心距之间间的关系的关系1.圆的旋转不变性：把圆绕着圆心旋转 角度，都与原来的图形重合，我们把这种性质称为圆的 。则圆是以圆心为对称

2、中心的中心对称图形。2.圆心角：顶点在 的角。3.弦心距：从圆心到 的距离叫作弦心距，弦心距可以说成是圆心到弦的垂线段的长度。4 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（即四量定理）：在 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个 、 、 或 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等5的弧：把顶点在圆心的周角等分成 360 份时，每 1 份的圆心角1o是的角；把整个圆也被分成 360 份，我们把每一份这样的弧叫作 的弧。1o6.圆心角度数定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数 。圆圆周角及其相关定理周角及其相关定理1 1圆周角圆周角：顶

3、点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角。注意：(1)圆周角必须具备两个特征：顶点在圆周上；角的两边都和圆相交。如下图中的角2 2圆周角定理：圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。圆周角定理的证明：（添加以圆周角的顶点为端点的直径为辅助线分类讨论）因为在0 中，同一弧所对的圆周角和圆心角的位置关系有三种情况：圆心在圆周角的“一边上” （如图） 圆心在圆周角的“内部” （如图）圆心在圆周角的“外部“（如图）23.3. 圆周角定理的推论：圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；的圆周角所对

4、的弦是直径。90o【 【典例精析典例精析】 】考点考点 1: 圆圆心角、弧、弦、弦心距之心角、弧、弦、弦心距之间间的关系的基本理解的关系的基本理解【 【例例 1】 】判断题:(1)相等的圆心角所对弦相等（ ） (2)相等的弦所对的弧相等（ ）(3) 相等弦的弦心距相等（ ） (4)同圆或等圆中，两弦相等，所对弧也相等（ ）变变式式训练训练:1.下列说法中，正确的是（ ）A等弦所对的弧相等 B等弧所对的弦相等C圆心角相等，所对的弦相等 D弦相等所对的圆心角相等E同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距也相等2.已知 是同圆中的两条弧，且 那么弦 CD 与 2AB 的大小关系为 【 【例例 2】 】(0

5、9 南充)如图 1，AB 是的直径，点 C、D 在上，求OO110BOCADOCAOD变变式式训练训练:1. 如图 2，在O 中，BOC=50, OCAB, ACO= 。2弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是 ，弦所对的圆心角是 考点考点 2:圆圆心角、弧、弦、弦心距之心角、弧、弦、弦心距之间间的关系的的关系的证证明、明、计计算算 CD=2AB AB 和 CD图 1OBDAC图 23【 【例例 4】 】如图，AB 为直径，ABOC, AB=24cm，EF 过 CO 的中点 D，EFAB,求证： 求 EF 的长。变变式式训练训练:已知：O 中，弦 ABCD 于 P，且 AB=CD，OEAB 于 E

6、，OFCD 于 F求证：四边形 0EPF 是正方形. 连 OP，若O 半径为 5 cm，cm，求 AB 的长。3 2OP 考点 3: 证明两弧相等【 【例例 5】 】AB 是O 的直径，E、F 分别是 AO、BO 的中点，且 ABCE，ABDF求证：方法归纳：证明两弧相等有如下几种思路：方法归纳：证明两弧相等有如下几种思路：等弧的定义；等弧的定义；证圆心角相等或所对的弦相等，或所对的弦的弦心距相等；证圆心角相等或所对的弦相等，或所对的弦的弦心距相等；运用平行弦夹等弧运用平行弦夹等弧考点考点 4：四量关系定理的：四量关系定理的综综合运用合运用【 【例例 6】 】 在ABC 中，AB=AC,AB

7、交O 于 G、H 两点，AC 交O 于 F、E 两点，GH=EF,BH=CE如图 1，求证：AO 垂直平分 BC 如图 2，BF 与 CG 交于点 M，连结 AM 并延长分别交 GF、BC 于点 N、D，若 BH=1,GH=3,GA=2,求 MN:MD 的值。图 1 图 2变变式式训练训练: 如图O 中两条相等的弦 AB、CD 分别延长到 E、F，使 BE=DF(1)求证：EF 的垂直平分线必过圆心(2)若 AB 与 CD 在O 内相交于 P，同样延长 AB、CD，使 BE=DF，那么是否还有(1)中相同的结论，请说明理由(如 图 2)O FEDCBA EC=2EA AC=BD4ABCDEPO

8、图 1 图 2考点考点 5： ：圆圆周角的概念理解周角的概念理解【 【例例 7】 】下面命题中，正确的命题个数为（ ）(1)顶点在圆周上的角是圆周角 (2)圆周角的度数等于圆心角度数的一半(3)的圆周角所对的弦是直径 (4)圆周角相等，则它们所对的弧也相等90oA1 个 B2 个 C3 个 D4 个【 【例例 8】 】已知：如图 1，AB 为O 的直径，弦 CD 交 AB 于 P，APD=,COB=则ABD= 。变变式式训练训练:60o30o1.下列命题中，真命题的是（ ）A同圆中，同一条弦所对的圆周角相等 B相等的圆周角所对的弧相等C等弧所对的圆周角相等 D长度相等的弧所对的圆周角相等2.如

9、图 2，A、B、C 是0 上的三点，以 BC 为一边，作CBD=ABC，过 BC 上一点 P，作 PEAB 交 BD 于点 E若AOC=60，BE=3，则点 P 到弦 AB 的距离为_。图 1 图 2考点考点 6: 圆圆周角与垂径定理：周角与垂径定理：【 【例例 9】 】如图，AB 为直径，ABOC, AB=24cm，EF 过 CO 的中点 D，EFAB,求ABE 的度数。变变式式训练训练: 如图，AB、AC 是O 的两条弦，M、N 是分别是弧 AB、弧AC 的中 点，M、N 交 AB、AC 于 E、F，求证：AEF 是等腰三角形。（2 种证5法）【以以练练励学励学】1下列说法错误的是（ ）A

10、等弧所对圆周角相等 B同弧所对圆周角相等C同圆中，相等的圆周角所对弧也相等 D同圆中，等弦所对的圆周角相等2如图 1，半圆的直径 AB=4，O 为圆心，半径 OEAB，F 为 OE 的中点，CDAB，则弦 CD 的长为（ ）A23B3C5D253已知：如图 2，O 的直径 CD 垂直于弦 AB，垂足为 P，且 AP=4cm，PD=2cm，则O 的半径为（ ）A4cm B5cmC42cmD23cm图 1 图 2 图 34、O 的弦 AB 等于半径，那么弦 AB 所对的圆周角一定是（ ）A30 B150 C30或 150 D60 5.（2007 天津）已知，如图 3， 与 的度数之差为 20，弦 AB 与 CD 交于点 E， CEB=60，则CAB 等于（ ）A. 50B. 45C. 40D. 356.如图，C 是O 直径上一点，过 C 点作弦 DE，使 CD=CO，若弧 AD 的度数为，求弧 BE 的度数。40o BC ADOEDCBA67、已知：如图，ABC 是O 的内接三角形，O 的直径 BD 交 AC 于 E，AFBD 于 F，延长 AF 交 BC 于 G 求证：AB2=BGBC