《1993年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1993年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学（一）试题及参考答案（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 20 页1991993 3 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷数学数学（一一）试题）试题一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分, ,把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).)(1) 函数 11( )(2) (0)xF xdt xt的单调减少区间为_.(2) 由曲线223212,0xyz绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0, 3,2)处的指向外侧的单位法向量为_.(3) 设函数2( )()f xxxx的傅里叶级数展开式为01(cossin)2nn naanxb
2、nx,则其中系数3b的值为_.(4) 设数量场222ln,uxyz则(grad )divu _.(5) 设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为1n,则线性方程组0Ax 的通解为_.二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分, ,在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,只有一项只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.).)(1)设sin20( )sin( )xf xtdt,34( )g xxx则 当0x 时 ,( )f x是(
3、)g x的() (A) 等价无穷小(B) 同阶但非等价无穷小 (C) 高阶无穷小(D) 低阶无穷小(2)双 纽 线22222()xyxy所 围 成 的 区 域 面 积 可 用 定 积 分 表 示 为()(A)4 02cos2 d (B)4 04cos2 d (C)4 02cos2 d (D)24 01(cos2 )2d 第 2 页 共 20 页(3)设 有 直 线1158:121xyzL与26:23xyLyz , 则1L与2L的 夹 角 为()(A)6(B)4(C)3(D)2(4) 设曲线积分 ( )sin( )cosxLf xeydxf xydy与路径无关,其中( )f x具有一阶连续导数,
4、且(0)0f,则( )f x等于()(A)2xxee(B)2xxee(C)12xxee(D)12xxee(5) 已知12324369Qt ,P为三阶非零矩阵,且满足0PQ ,则()(A)6t 时,P的秩必为 1(B)6t 时,P的秩必为 2 (C)6t 时,P的秩必为 1(D)6t 时,P的秩必为 2三、三、( (本题共本题共 3 3 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1) 求21lim(sincos)xxxx.(2) 求 1xxxedx e .第 3 页 共 20 页(3) 求微分方程22x yxyy,满足初始条件1|1xy的特解.四、四、( (
5、本题满分本题满分 6 6 分分) )计算22xzdydzyzdzdxz dxdy,其中是由曲面22zxy与222zxy所围立体的表面外侧.五、五、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )求级数20( 1) (1) 2nn nnn的和.六、六、( (本题共本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,满分满分 1010 分分.).)(1) 设在0,)上函数( )f x有连续导数,且( )0,(0)0,fxkf证明( )f x在(0,+ )内有且仅有一个零点.(2) 设bae,证明baab.第 4 页 共 20 页七、七、( (本题满分本题满分 8 8 分分) )已知二次型222
6、 12312323( ,)2332(0)f x x xxxxax x a,通过正交变换化成标准形222 12325fyyy,求参数a及所用的正交变换矩阵.八、八、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设A是n m矩阵,B是m n矩阵,其中nm,E是n阶单位矩阵,若ABE,证明 B的列向量组线性无关.九、九、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点( 1,0)与A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方 程,并写出初始条件.第 5 页 共 20 页十、填空题十、填空题( (本题共
7、本题共 2 2 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 6 6 分分, ,把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).) (1) 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第 二次抽出的是次品的概率为_.(2) 设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2YX在(0,4)内的概率分布密度( )Yfy _.十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设随机变量X的概率分布密度为| |1( )2xf xe,x .(1) 求X的数学期望()E X和方差()D X.(2) 求X与|X的协方差,并问X与|X是否不相关？(3)
8、 问X与|X是否相互独立？为什么？第 6 页 共 20 页1991993 3 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题真题 试卷试卷数学数学（一一）试题参考答案）试题参考答案解析解析一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 个小题个小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)【答案】104x【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性.将函数 11( )(2),xF xdtt两边对x求导,得1( )2F xx.若函数( )F x严格单调减少,则1( )20F xx,即1 2x .所以函数( )F x单调减少区间为104x.
9、【相关知识点】函数的单调性：设函数( )yf x在 , a b上连续,在( , )a b内可导.(1) 如果在( , )a b内( )0fx,那么函数( )yf x在 , a b上单调增加；(2) 如果在( , )a b内( )0fx,那么函数( )yf x在 , a b上单调减少.(2)【答案】10,2, 35【解析】先写出旋转面S的方程：2223()212xzy.第 7 页 共 20 页令222( , , )3()212F x y zxzy.则S在点( , , )x y z的法向量为,6 ,4 ,6FFFnxyzxyz ,所以在点(0, 3,2)处的法向量为0,4 3,6 22 0,2 3
10、,3 2n .因指向外侧,故应取正号,单位法向量为 02222 0,2 3,3 2110,2 3,3 20,2, 3|30504 36 2nnn .(3)【答案】2 3【解析】按傅式系数的积分表达式1( )sinnbf xnxdx,所以22 311()sin3sin3sin3bxxxdxxxdxxxdx.因为2sin3xx为奇函数,所以2sin30xxdx；sin3xxdx为偶函数,所以30sin32sin3bxxdxxxdx0001222(cos3 )cos3cos3333xxdxxxdx 022 sin32 3333x .(4)【答案】2221 xyz【解析】先计算u的梯度,再计算该梯度的
11、散度.因为graduuuuijkxyz ,所以222222(grad ),uuuuuudivudivxyzxyz.第 8 页 共 20 页数量场222lnuxyz分别对, ,x y z求偏导数,得222222222112 2uxx xxyzxyzxyz,由对称性知222uy yxyz,222uz zxyz,将,uuu xyz 分别对, ,x y z求偏导,得2222222222222222()2 ()()uxyzxxyzx xxyzxyz ,222222222()uzxy yxyz,222222222()uxyz zxyz,因此,2222222221(grad )uuudivuxyzxyz.(
12、5)【答案】(1,1,1)Tk【解析】因为( )1r An,由( )1nr A知,齐次方程组的基础解系为一个向量,故0Ax 的通解形式为k.下面根据已知条件“A的各行元素之和均为零”来分析推导0Ax 的一个非零解,它就是0Ax 的基础解系.各行元素的和均为 0,即111212122212000nnnnnnaaaaaaaaa ,而齐次方程组0Ax 为11 1122121 122221 122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x .两者比较,可知121nxxx是0Ax 的解.所以应填(1,1,1)Tk.第 9 页 共 20 页二、选择题二、选择题( (本题
13、共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).) (1)【答案】(B)【解析】 0( )lim( )xf x g x为“0 0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,运用洛必达法则,有sin222 0 34232300000sin( )( )sin(sin)cossin(sin)limlimlimlimlimcos( )3434xxxxxxtdtf xxxxxg xxxxxxx洛2230sin(sin)lim34xx xx.因为当0x ,sin0,x 所以222sin(sin)sinxxx,所以222323000sin(sin)11lim
14、limlim3434343xxxxx xxxxx,所以( )f x与( )g x是同阶但非等价的无穷小量.应选(B).【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,( ),( )xx为无穷小且存在极限( )lim( )xlx ,(1) 若0,l 称( ),( )xx在该极限过程中为同阶无穷小；(2) 若1,l 称( ),( )xx在该极限过程中为等价无穷小,记为( )( )xx；(3) 若0,l 称在该极限过程中( )x是( ) x的高阶无穷小,记为( )( )xox.若( )lim( )x x 不存在(不为),称( ),( )xx不可比较.(2)【答案】(A)【解析】由方程可以看出双纽线关于x轴、y轴对称,(如草图)只需计算所围图形在第一象限部分的面积；双纽线的直角坐标方程复杂,而极坐标方程较为简单：2cos2.显然,在第一象限部分的变化范围是第 10 页 共 20 页0,4.再由对称性得244 1001442cos22SSdd
