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1、哈尔滨师范大学学 年 论 文 题 目 反证法的应用研究 学 生 陈超群 学 号 2004040590 指导老师 鲍曼 年 级 2005级8班 学 院 数学与计算机科学学院 系 别 数学系哈尔滨师范大学2007年12月反证法的应用研究陈超群摘要：反证法是一种间接证法，它不直接证明论题“若A则B”（即AB）为真，而是从反面去证明它的否定命题“既A且B” 为假，从而肯定“若A则B”为真的证明方法。应用反证法解题应把握它的一般步骤：反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；归谬：将“反设”作条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自
2、相矛盾：结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误。既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。适于应用反证法证明的命题：基本命题，即学科中的起始性命题。此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推得的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。否定式命题，即结论中含有“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题。此类命题的反面比较具体，适于应用反证法。限定式命题，即结论中含有“至少”、“最多”等词语的命题。唯一性命题，即结果指定唯一的命题。反证法是数学家最有力的一件武器，用逆向思维往往可以轻而易举地解决，已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一
3、。关键词：反证法 应用研究 Paper Abstract: Certification is a form of indirect reduction to absurdity, it does not directly prove that the subject if A then B(A B) are true, but from the negative side to prove its negative proposition both A and B to be false, thereby affirming if A while B to really prove that
4、method. Based on the law on anyway and thinking, the reduction to absurdity resolve the origin of what is anyway; Anyway, the problem-solving method steps to understand its general steps for the anti-based, in the absurd, conclusions three steps; proved suitable for the application of reduction to a
5、bsurdity Proposition sum up, there are basic proposition negative proposition - limit proposition, the only sexual proposition; reduction to absurdity in the role of mathematics, the focus on the reduction to absurdity in solving problems of application and research.Mathematician reduction to absurd
6、ity is the most powerful weapon to reverse thinking can often be easily resolved, has become the most commonly used and most effective way to solve problems one.Key Words: Reduction to absurdity Applied research一 定义反证法对反证法的认知，可以从一个小故事谈起：在古希腊时，有三个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是在花园里的一棵大树下躺下休息而睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑
7、了他们的前额，三人醒过来后，彼此相看而笑，每人都以为其他两人在取笑，而没想到自己脸上也被抹黑。隔了一会其中有一个人突然不笑了，因为他发觉自己的脸上也被涂黑了。他是怎样觉察到的呢？实际上，发现自己脸上被涂黑者，并非直接看到，而是据他观察另外两人的表情进行分析、思考后，从反面说明自己脸上被涂黑了的，这是一种间接的证明方法，即反证的方法。反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法。有的数学问题不易直接从问题结论的正面去考虑，这时从问题结论的反面着手却比较容易解决，这种论证方法叫做间接证法，反证法就是一种间接证法，它从否定结论出发，经过正确、严格的推理，得到与已知 (
8、 假设 ) 或已成立的数学命题相矛盾的结果，原因是开始时否定结论所导致，固而原命题的结论是不容否定的正确结论。定义：证明定理的一种方法，先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理。也叫归谬法。反证法是一种间接证法，它不直接证明论题“若A则B”（即AB）为真，而是从反面去证明它的否定命题“既A且B” 为假，从而肯定“若A则B”为真的证明方法。适用范围：证明一些命题，且正面证明有困难，情况多或复杂，而否定则比较浅显。 二 反证法的逻辑依据反证法的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律矛盾律和排中律。所谓“矛盾律”是说：在同一论证过程
9、中两个互相反对或互相否定的论断，其中至少有一个是假的。而所谓“排中律”则是说：任何一个判断或者为真或者为假，二者必居其一。也就是说结论“p真”与“非p真”中有且只有一个是正确的。反证法与证逆否命题是不同的：真命题与逆否命题同真假，逆定理与否定理同真假。从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定，是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若 p则q”为真。像这样证明“若p 则q”为真的证明方法，叫做反证法。如上所述，用反证法证明命题“若p则q”，是把“p且非q”作为假设，利用正确的推理推出矛盾，得出“p且非q”为假，从而得出“若p则q”为真；而证明命题“若p则q”的逆
10、否命题“若非q则非p ”，是将非q作为条件，用正确的推理推出非p成立，根据“若p则q”和“若非q则非p ”的等价性得出“若p则q”成立。比较可知，不论从思路方面还是从方法方面来讲，反证法与证逆否命题是有着本质的不同的。因而“反证法就是证逆否命题”这一说法的不妥之处便是非常清楚的了。运用反证法证题时常见的矛盾形式用反证法证明命题“若p则q”时，可能出现以下三种情况：导出非p为真，即与原命题的条件矛盾；导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾；导出一个恒假命题。三 学习反证法应把握它的一般步骤学习反证法应把握它的一般步骤:反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；归谬：将“反设”作
11、条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾：结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误。既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。具体方法：命题r=在C下，若A则B 反证：若A则B，证明B与A的矛盾例1求证 A(原论题) 证明(1)设非A真(非A为反论题) (2)如果非A，则B(B为由非A推出的论断) (3)非B(已知) (4)所以，并非非A(根据充分条件假言推理的否定后件式) (5)所以，A(非非A=A)。 例2如果a是大于1的整数，而所有不大于的素数都不能整除a，则a是素数。 证明：假设a是合数，记a=bc(b、cZ，且b，
12、 c1)， 由于a不能被大于1且不大于的素数整除， 所以b，c，从而bca，这与假设a=bc矛盾，故a是素数。四 运用反证法应注意的问题运用反证法证明命题的第一步是：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。在这一步骤中，必须注意正确的“否定结论”，这是正确运用反证法的前提，否则，如果错误地“否定结论”，即使推理、论证再好也都会前功尽弃。在否定命题的结论之前，首先要弄清命题的结论是什么。当命题的结论的反面非常明显并且只有一种情形时是比较容易做出否定的，但命题的结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不太容易做出否定。这时必须认真分析、仔细推敲，在提出“假设”后，再回过头来看看“假设”的对立面是
13、否恰是命题的结论。 例3结论：至少有一个S是P。错误假设：至少有两个或两个以上S是P。 正确假设：没有一个S是P。例4结论：最多有一个S是P。错误假设：最少有一个S是P。 正确假设：至少有两个S是P。例5结论：全部S都是P。错误假设：全部的S都不是P。 正确假设：存在一个S不是P。 现将一些常用词的否定形式列表如下：原结论词假设词原结论词假设词是不是存在不存在都是不都是 至少有 n 个至多有n1个 大（小）于不大（小）于至多有一个至少有两个运用反证法证明命题的第二步是：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾。在这一步骤中，整个推理过程必须准确无误，这样导致的矛盾才是有效的。对于一个用反证法证明的命
14、题，能够推出什么样的矛盾结果，事先一般很难估计到，也没有一个机械的标准，有时甚至是捉摸不定的。一般总是在命题的相关领域里考虑。例如，立体几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等。对于“若p则q”型的数学命题，一般都能用反证法证明，但难易程度会有所不同。因此，尽管反证法是一种重要的证明命题的方法，也不能把所有的命题都用反证法来证明。在证明命题时，要首先使用直接证法，若有困难时再使用反证法。五 适于应用反证法证明的命题基本命题，即学科中的起始性命题。此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推得的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。如平面几何、立体
15、几何等，在按照公理化方法来建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定义、公理。因此，起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜于用反证法来证明。 例6求证 两条直线如果有公共点，最多只有一个。 证明：假设它们有两个公共点A，B，这两点直分别是a，b 那么A，B都属于a，A，B也都属于b， 因为两点决定一条直线， 所以a，b重合所以命题不成立， 原命题正确，公共点最多只有一个。否定式命题，即结论中含有“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题。此类命题的反面比较具体，适于应用反证法。例7为圆两条相交弦，且不全为直径， 求证：不能互相平分。 证明：假设弦被点平分， 由于点一定不是圆心，连接
16、， 则有， 即过一点有两条直线与垂直， 这与垂线性质矛盾，所以弦不能被平分。例8证明函数y = cos不是周期函数。 证明：假设函数 y=cos是周期函数，即存在 T0，使cos= cos 令 x=0，得 T=4k (k0， kZ， 不妨设 k0)。 令x=4，得 = 2m (mN) =mN 但是当k0时， kk+1，因而不是整数，矛盾 故 函数y = cos不是周期函数。例9求证：形如4n+3的整数不能化为两整数的平方和。 证明：假设p是4n+3型的整数，且p能化成两个整数的平方和，即p=a+b， 则由p是奇数得a、b必为一奇一偶。 不妨设a=2s+1，b=2t，其中s、t为整数， p=a+
17、b=(2s+1)+(2t)=4(s+s+t)+1，这与p是4n+3型的整数矛盾。 例10证明：ABC内不存在这样的点P，使得过P点的任意一条直线把ABC的面积分成相等的两部分。证明：假设在ABC内存在一点P，使得过P 点的任一条直线把ABC的面积分成 相等的两部分。连接AP、BP、CP并分 别延长交对边于D、E、F。 由假设，SABD=SADC，于是D为BC 的中点，同 理E、F分别是AC、AB的 中点，从而P是ABC的重心。 过P作BC的平行线分别交AB、AC于M、N，则 ， 这与假设过P点的任一条直线把ABC的面积分成相等的两部分矛盾。限定式命题，即结论中含有“至少”、“最多”等词语的命题
18、。例11已知函数f(x)是单调函数，则方程f(x)=0 最多只有一个实数根。 证：假设方程至少有两个根x，x且xx， 则有 f(x)=f(x)(xx) 这与函数单调的定义显然矛盾，故命题成立。例12平面上有六个圆，每个圆圆心都在其余各圆外部，则平面上任一点不会同时在这六个圆上。 证：题意即这六个圆没有共同的交点。 如果这六个圆至少有一个共同的交点，则连接这交点与每个圆的圆心的线段 中，总有两条线段所成的角不超过60。 这时，这两条线段所连接的圆如果半径相等，那么两圆圆心在对方圆内； 否则，较小的圆圆心在较大的圆之内，这都与已知矛盾。例13若p0，q0，p3q32。试用反证法证明：pq2。 证明
19、：此题直接由条件推证pq2是较困难的，由此用反证法证之。 假设pq2，p0，q0， （pq）3p33p2q3pq2q38 又p3q32。代入上式得：3pq（pq）6。即pq（pq）2 又由p3q32得(pq)（p2pqq2）2 由得pq（pq）（pq）（p2pqq2) pq0。 pqp2pqq2p22pqq20（pq）20与(pq）20相矛盾。 假设pq2不成立。故pq2。唯一性命题，即结果指定唯一的命题。例14已知证明的方程有且只有一个根。 证明：由于因此方程至少有一个根 如果方程不只一个根，不妨设是它的两个不同的根 即 两式相减，得：=0 因为，所以，所以应有，这与已知矛盾， 故假设错误。
20、所以，当时，方程有且只有一个根。例15求证：方程x = sinx的解是唯一的。 证明：显然，x = 0是方程的一个解。以下用反证法证明方程的解是唯一的。 假设方程至少有两个解、()，则有sin= ，sin= 两式相减得： sinsin= 2cossin=- |sin| |cos| 得 |cos|1， 显然矛盾。 故 方程 x = sinx的解是唯一的。例16求证方程 22+x=6 仅有唯一实根 2。 证明：假设方程 22+x=6 有一个非 2 的实根 。 则有 2a + =6 ，与 22+2=6 相减，得 2a -22=2- 。 2 ，故 2 或 2。 当 2 时， 2a -22 0 ，而 2
21、- 0 ，相矛盾 。 当 2 时， 2a -22 0 ，而 2- 0 ，也矛盾 。 假设方程有一个非 2 的实根是错误的 。 不存在非 2 的实根，即方程仅有唯一实根 2。 英国近代数学家哈代曾经这样称赞它：“反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让予对方！”有时候，人们用正向思维解答不了的问题，用逆向思维往往可以轻而易举地解决。数学证明也有相同的情形，靠一般方法难以奏效时，反证法会助人一臂之力。在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一。本文通过一个小故事说明反证法在生活中
22、的普遍性以及由此故事衍射出反证法的定义，性质和应用在解题中的时的思维方式。再接着用科学的方法具体阐述以上几点，通过图表，分类解说和详尽的例题例子，全面充分地考察了反证法在数学中的应用。然而反证法的作用不止于数学应用和解题研究，它在生活中，在别的领域中也有十分广泛的应用，例如“抽屉原理”，“鸽笼原理”，某些物理，化学研究等等，这就需要我们进一步去研究考察。参考文献：1蔡上鹤.高中数学新教材第一章教学问答（二）M .2000年第8期.2严镇军、陈吉范.从反面考虑问题M .中国科学技术大学出版社.2000年3邓传斌.反证法漫谈.中学数学杂志M .1996年第2期.4王玉文、鲍曼.数学逻辑基础M .黑龙江教育出版社.2003年.
