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1、 前前 言言 “数值分析”或“计算方法”是理工科大学各专业普遍开设的一门课程，其内容主要包 括有关数值计算（numerical computing）的理论与方法。数值计算，近些年来也被称为科学 计算（scientific computing） ，是当今科学研究的三种基本手段之一，它是计算数学、计算机 科学与其他工程学科相结合的产物， 随着计算机技术的发展与普及日益受到人们的重视。 尤 其是近十年来，科学技术逐渐发展进入“纳米时代” 、 “互联网时代” ，各种高科技领域产生 出大量高复杂度的计算问题，使得发展、推广数值计算变得空前重要。 本书的主要内容与一般的 “数值分析” 教材基本一致， 但比
2、较突出算法设计与实际应用， 强调通过理论联系实际提高学生的实践能力。 为此， 本书在数值软件与程序资源方面做了较 多介绍，同时结合 Matlab 软件对一些较新的算法与实用技巧进行讨论。由于主要面向信息 科学与技术有关专业的本科生，本书在编写细节上力求做到以下几点： 1. 对数学理论的介绍对数学理论的介绍尽量尽量简明扼要简明扼要。尽量用形象的方式解释数学中的一些概念与理 论，通过定理总结重要的结论。在不失严谨性的前提下，省略部分定理的证明，取 而代之的是进行直观的解释、验证。同时，阐明有关数学理论的意义与用途。 2. 强调强调算法的算法的实际应用与分析比实际应用与分析比较较。 对大多数算法，
3、采用程序伪码的形式加以描述， 同时分析其时间、空间复杂度。说明算法实际应用中的细节问题，对几个较新的实 用算法还结合 Matlab 源程序加以介绍。通过“应用实例”子栏目、以及对 Matlab 相关命令的介绍，突出算法的实际应用。 3. 从读者的角度出发增强可读性从读者的角度出发增强可读性与实用性与实用性。尽量用图、表等形象的方式对概念、现 象进行解释，书末附有术语索引，便于查阅。每章编写了“算法背后的历史”子栏 目，增强阅读的趣味性。通过附录介绍 Matlab 的基本知识，在正文中的“应用实 例”和部分例题中也给出了 Matlab 源程序，读者可根据它们动手实践。 4. 在内容编排上有利于教
4、学在内容编排上有利于教学。根据知识的相关性安排各章，使得数值线性代数（矩阵 计算） 的内容集中出现在第三章到第六章的前半部分， 这样的安排也能适合从第一 章到第八章的学习顺序。在每章的“评述”部分列出主要知识点，便于学生复习， 而其他评述内容有助于感兴趣的读者深入学习有关知识。 每章给出上机实习题， 附 录中提供部分习题的答案。 学习数值分析与算法， 不但要掌握基本的理论与方法， 还必须通过计算机编程实践来进 一步理解有关算法及其理论。本书提倡使用 Matlab 软件来实现算法、解决实际应用问题， 主要基于如下理由：1. Matlab 本身是一种科学计算环境，其数值计算功能强大，已被广泛 用于
5、求解科学工程中的计算问题；2. Matlab 具有丰富的数学函数，在学习理解有关教学内 容时可直接使用它们，例如在 Matlab 中执行命令 x=Ab 可方便地求解最小二乘问题、或线 性方程组 = ；3. Matlab 体现了当前科学计算的发展趋势，例如尽量使用向量运算而不 是用循环，同时提供丰富的图形工具，易于对计算结果进行可视化； 4. Matlab 编程语言语 法简洁、易于掌握，可节省编程实验时间。 本书作者十多年来一直从事数值算法与软件的有关科研工作，自 2005 年开始在清华大 学计算机系主讲数值分析与算法的有关课程十余次，本书是对近几年教学工作的一个总结。 在编写本书的过程中，作者
6、认真参考、借鉴了十几种较新的国内外优秀教材，力争在理论与 实践相结合、反映学科发展前沿、以及适合中国大学教育等方面取得好的效果，从而适应时 代发展对学生培养提出的新要求。本书适合于 48 个学时或者更多学时的教学安排。为了方 便教学内容的取舍，对于难度较大、或者超出传统教学大纲的较新内容，在目录中以“*”号进行了标记。每章最后包含“有关数值软件”等扩展性的内容，可供感兴趣的学生课后阅 读。 下图显示了各章主要内容的依赖关系， 其中第一章是基础， 后续各章都会用到有关知识。 对于后续各章， 授课教师可根据实际情况适当调整顺序。 应注意， 第二章中 “非线性方程组” 的内容依赖于第三章的部分知识，
7、而其他部分的依赖关系基本上与章节前后顺序一致。 在编写本教材的过程中，得到了许多本科生、研究生的支持。白如冰编写了附录二的初 稿，朱臻垚编写了部分“算法背后的历史”栏目，程康、翟匡亚、汤启明、张青青帮助做了 部分文字输入和格式修改工作， 袁仲达与何鸥多次担任课程助教， 对教学工作的改进做了很 大贡献。本书稿在 2011 年春季学期清华大学的“数值分析”课上进行了试用，收到了选课 学生的诸多反馈，在此一并表示感谢。在作者讲授“数值分析”课程之初，使用了王泽毅教 授的课程讲义，其中部分思想也融入了本书之中，在此表示特别的感谢。另外，还要感谢殷 人昆、边计年、蔡懿慈等教授给与的建议与帮助，以及清华大
8、学出版社的焦虹、白立军等几 位老师在出版本书过程中提出的宝贵意见和付出的辛勤劳动。 数值计算领域宽广、博大精深，编写本书是一个小小的尝试，希望有助于刚刚接触这个 领域的读者打好基础、产生兴趣，起到“抛砖引玉”的作用。由于作者水平有限，书中难免 还存在不妥与错误之处，诚恳地希望读者提出宝贵意见。 喻文健 yu- 清华大学计算机科学与技术系 2011 年 8 月于清华园 第 1 章 数值计算导论 第 3 章 线性方程组的直接解法 第 4 章 线性方程组的迭代解法 第 7 章 数值积分与数值微分 第2章 非线性方程求根 单个非线性方程 (迭代算法) 非线性方程组 第 5 章 矩阵特征值计算 QR 分解 特征值计算 第 6 章 函数逼近与函数插值 函数逼近 函数插值 第 8 章 常微分方程初值问题的解法 单个常微分方程 常微分方程组
