第26卷第4期 1996年7月东 南 大 学 学 报 JOURNAL OF SOUTHEAST UNIVERSIT YVol. 26 No. 4 July 1996建筑结构非线性动力响应的统一算式?李爱群 张晓峰 程文 氵 襄( 东南大学土木工程系, 南京 210018)摘 要 在竖向串联多自由度模型基础上, 建立了采用不同方法( 线性加速度法、 Wilson-?法、Newmark-?法) 求解建筑结构非线性动力响应的统一算式“ 拟动力方程” , 列出了计算步骤. 该法物理概念明确, 计算步骤清晰. 同时可克服计算中的积累误差问题.关键词 建筑结构; 动力方程; 拟动力方程中图法分类号 T U 375图1 竖向 串联多自 由度模型多层、 高层建筑结构在地震作用下的非线性响应计算是一个非常复杂的问 题. 人们首先要解决的问题是将复杂的实际结构分析加以简化, 并建立起能反映 原结构受力变形特点且便于分析的力学模型. 目前最常用的用于分析多、 高层建 筑结构非线性响应的力学模型是竖向串联多自由度体系模型( 图1) . 该模型是假 定建筑结构每层质量只集中于楼层及屋面处, 用反映层间结构受力变形特点的杆 件联接各集中质点, 从而整个结构成为一个下端固定并在各楼层及屋面处具有集 中质点的竖向串联多自由度振动模型. 由于该模型具有最少的自由度数, 且能较 好地反映出各层的受力变形情况, 因而被广泛采用. 本文在此模型基础上建立了 采用不同方法求解结构非线性响应的统一算式和计算步骤.1 动力方程竖向串联多自由度体系在地震地面运动下的动力方程为[ M] {x?} + [ C] {x?} + {F} = - [ M] {1}x?( 1) 式 中, [ M] 为质量矩阵, 在不考虑各质点惯性力的耦联作用时, [ M] 为对角阵, 其 表达式为[ M] =m10 m2 ? 0mn( 2)其中mi为第 i 层质点的质量; [ C] 为阻尼矩阵, 可采用瑞雷阻尼形式, 即取质量矩阵与刚度矩 阵的线性组合, 其表达式为? 国家自然科学基金资助项目. 修改稿收到日期: 1995- 03- 05.[ C] = ? [ M] + ?[ K]( 3) 其中, 常数 ? 、 ?可由结构体系第 i, j 振型的阻尼比 ?i、 ?j和自振圆频率 ?i、 ?j反算求得?= 2?i?j( ?j?i- ?i?j) / ( ?2i- ?2j) , ?= 2( ?i?i- ?j?j) / ( ?2i- ?2j)( 4) 通常i 和j 分别取1和 3. 考虑到建筑结构阻尼比一般较小, 计算时各振型可采用相同的阻尼比 值, 对于钢筋混凝土结构, 可取 ?i= ?j= 0. 05. 因而 ? , ?的表达式可进一步表示为?= ?i?j?, ?= 0. 1( ?i+ ?j)( 5) 计算时, 在圆频率 ?i, ?j求出后, 可先求出 ?, 再求出 ? . [ K ] 为结构体系在弹性阶段时的总侧移刚度阵, 基本形式为[ K ] =k11k12⋯k1n k21k22⋯k2n ⋯⋯⋯⋯ kn1kn2⋯knn( 6)对于层间剪切模型, [ K ] 为三对角阵; 而对于层间弯曲模型或层间弯剪模型, [ K] 则为满阵. {x?} 、 {x?}、 {x} 分别为多质点体系各质点相对于地面的加速度向量、 速度向量和位移向量; x?0( t) 为地震时地面运动加速度时程曲线; {F} 为质点恢复力向量, 在弹性工作阶段时, 有{F} = [ K ] {x }.2 求解非线性响应统一算式的建立由于作为输入地震波的地面运动加速度时程曲线x?0( t) 是很不规则的, 无法用时间函数曲 线表示, 故串联多自由度体系的动力响应不可能用解析式表达出来, 而只能采用直接积分法求 解. 直接积分法, 又称步步积分法. 其基本思路是: 将整个输入地震波的持续时间T 分成许多小 时段 ?t, 引入某些假定, 建立结构体系的位移、 速度、 加速度间的近似关系式( 通常是差分关系 式) , 根据时段初各质点的位移{x ( t) } 、 速度{x?( t) } 和加速度{x?( t) }, 由动力方程直接计算出时段末各质点的位移{x( t + ?t) } 、 速度{x?( t + ?t) } 和加速度{x?( t + ?t) } , 再将该值作为下一时段的初值, 计算下一时段末的各反应量. 依此类推, 积分求解直到输入地震波结束为止. 工程应用中求解动力反应的直接积分法有多种[ 1, 2], 常用的有线性加速度法 Wilson-?法 和 Newmark-?法等. 为直接由动力方程求解动力反应, 本文建立了用于不同方法求解的统一 算式 ——“ 拟动力方程” , 其推导过程如下:2. 1 线性加速度法该法假设在 ?t 时段内, 质点的加速度反应{x?} 为线性变化, 见图 2, 则有表达式{x?( t + ?t) } = {x?( t) } + ?t{ x??? ( t) }( 7)即 { x??? ( t) } =1 ?t( {x?( t + ?t) } - {x?( t) })( 8)由泰勒公式, 有{x( t + ?t) } = {x( t) } + ?t{x?( t) } +?t22{ x?( t) } +?t36{ x??? ( t) }( 9){x?( t + ?t) } = {x?( t) } + ?t{x?( t) } +?t22{ x??? ( t) }( 10)将式( 8) 分别代入式( 9) 和式( 10) , 得{x( t + ?t) } = {x( t) } + ?t{x?( t) } +?t23{ x?( t) } +?t3 6{x?( t + ?t) }( 11){x?( t + ?t) } = {x?( t) } +?t 2{x?( t) } +?t22{x?( t + ?t) }( 12)85第4期李爱群等: 建筑结构非线性动力响应的统一算式由式( 1) 知结构体系在( t + ?t) 时刻的运动方程为[ M] {x?( t + ?t) } + [ C] {x?( t + ?t) } + {F( t + ?t) } = - [ M] {1}x?0( t + ?t)( 13) 考虑到建筑结构的非线性, 结构体系的层间等效刚度是变化的, 式( 1) 中的质点恢复力列 阵{F} 可写成{F} = [ K-] {x} + {P}( 14) 式中[ K-] 为结构体系的状态刚度矩阵; {P} 为质点非线性力列阵. [ K-] 和{P} 由各层恢复力模 型所处阶段确定. 在( t + ?t) 时刻, 有{F( t + ?t) } = [ K-] {x ( t + ?t) } + {P( t + ?t) }( 15) 将式( 15) 、 式( 11) 和式( 12) 代入式( 13) , 经整理后, 有[ M] +?t 2[ C] +?t26[ K-] {x?( t + ?t) }= - [ M] {1}x?0( t + ?t) - [ K-] ( {x( t) } + ?t{x?( t) } +?t2 3{x?( t) } ) -[ C] {x?( t) }+?t 2{x?( t) }) - {P( t + △t) }( 16)令 [ M]*= [ M] +?t 2[ C] +?t2 6[ K-]{F}*= - [ M] {1} {x?0} ( t + ?t) - [ K-] ( {x ( t) } + ?t{x?( t) } + ?t23{x?( t) }) - [ C]{x?( t) } +?t 2{x?( t) } - {P( t + ?t) }则式( 16) 表示为[ M]*{x?( t + ?t) } = {F}*( 17) 上式可称为拟动力方程, 其中[ M]*视为拟质量阵, {F}*视为拟惯性力列阵.2. 2 Wilson-?法该法是假设在一个延长的积分步长?= ? ?t 内质点的加速度反应是线性变化的, 见图3. 要 求在( t + ? ) 时刻满足运动方程, 从而确定{x?( t + ?) } 的值, 然后仍退回计算( t + ?t) 时刻结构 体系的各反应量.图 2 线性加速度法假设 图 3 wilson- ?法假设由与线性加速度相似的推导过程, 推得[ M] +? 2[ C] +?26[ K-] {x?( t + ? ) }= - ? [ M] {1}x?0( t + ?t) - ( 1 - ? ) [ M] { 1}x?0( t) - [ K-]{x( t) } + ?{x?( t) } +?23{x?( t) }- [ C] {x?( t) } +? 2{x?( t) } - {P( t + ? ) }( 18)86东 南 大 学 学 报第26卷令 [ M]*= [ M] +? 2[ C] +?26[ K-]{F}*= - ? [ M] {1}x?0( t + ?t) - ( 1 - ? ) [ M] { 1}x?0( t) - [ K-] {x ( t) } + ? {x?( t) } + ?23{x?( t) } - [ C]{x?( t) } +? 2{x?( t) }- {P( t + ?) }则得Wilson-?法的拟动力方程[ M]*{x?( t + ? ) } = {F}*( 19)2. 3 Newmark-?法该方法采用的基本假设为{x?( t + ?t) } = {x?( t) } + ( 1 - ?) ?t{x?( t) } + ? ?t{x?( t + ?t) }( 20){x( t + ?t) } = {x( t) } + ?t{x?( t) } +1 2- ? ?t2{x?( t) } + ??t2{x?( t + ?t) }( 21) 其中常系数 ?= 1. 2, ?= 1/ 8 ～ 1/ 4. 按照与线性加速度法相似的推导过程, 推得拟动力方程, 其形式与式( 17) 相同. 其中[ M]*= [ M] +?t 2[ C] + ??t2[ K-]{F}*= - [ M] {1} x?0( t + ?t) - [ K-] {x( t) } + ?t{x?( t) } + 1 2- ? ?t2{x?( t) } - [ C]{x?( t) } +?t 2{ x?( t) } - {P( t + ?t) }可见, 对于上述 3 种方法, 建立了用于求解的统一算式 ——“ 拟动力方程” . 3 求解响应的计算步骤由以上的统一算式求出加速度响应, 进一步可求出速度响应和位移响应. 采用上述 3 种方 法计算结构响应的步骤归纳于附表中. 附表 求解结构响应的计算步骤求解方法线性加速度法Wilson-?法Newmark-?法统一算式[M ]*{x?( t + ?t)} = {F}*[M ]*{x?(t + ?) } ={F}*[M ]*{x?(t + ?t)} = { F}*计算步骤1) 由上式求出加速度 响应{x?(t + ?t)} 2) 由式(12) 求出速度 响应{x?( t + ?t)} 3) 由式(11) 求出位移 响应{x( t + ?t)}1) 由上式求出{x?( t + ?}} 2) 由式{ x?(t + ?t}} = (1 - 1/? ) { x?(t) } + 1/? { x?(t +?t) } 求出 { x?(t + ?t} 3) 由式( 12) 求出{x?( t + ?t}} 4) 由式( 11) 求出{x?( t + ?t}1) 由上式求出 {x?(t + ?t)} 2) 由式(20) 求出 {x?{t + ?t}} 3) 由式(21) 求出 {x (t + ?t)}本文推导并建立的统一算式( 拟动力方程) 与常规方法[ 1～3]相比具有以下特点: 1) 常规方 法建立的是拟静力方程[ M]*{x ( t + ?t) } = {P}*( 其中[ K ]*称为拟刚度。