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1、“C41N22” 2017/6/6 16:36 page 22 #1數學傳播41卷2期, pp. 22-33數學 一 一 簡單與高深席南華本文原載 數理與人文 叢書, 取得作者及叢書編輯同意轉載, 謹此致謝。 數學傳播編輯部席南華, 中國科學院院士, 中國科學院數學與系統科學研究院學術院長, 中國科學院大學副校長。 研究代數群與量子群, 對仿射 A 型外爾群 (Affine Weyl group oftype A) 證明了路茲梯格 (Lusztig) 關於雙邊胞腔的基環的猜想, 確定了德林 朗蘭茲關於仿射赫克代數的猜想 (Deligne-Langlands conjecture for aff
2、ine Heckealgebras of type A) 成立的充要條件, 與路茲梯格合作發現典範左胞腔, 在量子群 的表示和基的研究上開展了系統深入的工作。我們常常喜歡瞭解數學的前沿, 那裡給人的印象都是高深的數學。 其實, 前沿和高深的數學都是圍繞基本問題展開的。 很多基本的問題都來自簡單的數學。 這裡我想用一些例子說明簡 單的數學其實與高深的數學有著密切的關係, 簡單的數學能說明我們認識一些高深和前沿數學的根基是什麼。1.排隊學數學一般都開始於數 1,2,3,4,., 然後有加法、 減法等, 下面我們從數的排隊開始說 起。 在幼稚園裡孩子們首先要學會做的事情之一是排隊。 這很合理, 因為
3、生活中很多時候都需要秩序。 不過排隊卻是一個非常複雜的問題。 比方說三個數 1, 2, 3 排隊就有 6 種可能。 全中國的 人放在一起排隊的排法是一個天文數字。 排隊這件事情並不簡單, 裡面有著豐富的數學內容。 而且, 特別有意思的是排隊之中有結構。 要認識這個結構, 我們需要換一個角度來看排隊。 排隊其 實是一個映射, 可以看成是自身到自身的映射。 比如說, 1, 2, 3 的一個排隊 231 的含義是第一個位置排 2, 第二個位置排 3, 第三個位置排 1, 所以排隊 231 可以看成從集合 1,2,3 到自身 的映射 f231: 1 2,2 3,3 1。 重新排隊就是兩個映射的合成,
4、是一種運算, 例如把 231本文根據作者的同名報告整理而成。22“C41N22” 2017/6/6 16:36 page 23 #2數學簡單與高深23重新排回 123 可以看作是映射 f231與 f312的合成: 1 2 1,2 3 2,3 1 3, 即 f312 f231= f123。 排隊中的這種運算有結合律, 在 1,2,3 的六個排隊中, 123 有些特別, 它與其他任何一個排隊做合成運算還是那個排隊。 當然, 1,2,3 的每一個排隊都可以經過一次重新排隊成為 123。 實際上我們已經接觸到了數學中一個極重要的概念 群, 1,2,3 的六個排 隊在映射合成運算下成為群, 稱為三個數位
5、或三個字母的對稱群。一般說來, 集合 G 稱為一個群, 如果它有一個二元運算, 滿足結合律, 有一個單位元, 每個元素都有逆元。 即對集合 G 的任意兩個元素 a,b G, 在 G 中有相應的元素 a b; 結合律 是指 a (b c) = (a b) c; 有一個單位元是指G中有一個元素 e, 使得對 G 中的任意元素 a,有 e a = a e = a; 每個元素存在逆元是指對 G 中任意元素 a, 存在 G 中的元素 b 使得 a b = b a = e。群很常見, 例子很多, 如整數集對於加法成為群, 單位元是 0; 非零有理數全體對於乘法成為群, 單位元是 1; n 階可逆實方陣對於
6、矩陣乘法成為群, 單位元是單位矩陣; 1,2,.,n 的排 隊 (或排列) 有 n! 個, 在映射合成下成為群, 稱為 n 個數位或文字的對稱群, 也稱為置換群, 常記作 Sn。一件意想不到的事情是對稱群和解多項式方程有極大的關係。在歷史上解方程當然是很重要的事情。 最簡單的多項式方程是一元一次方程, 現在小學生 都會解。 早在西元前 2000 年巴比倫人就會解一元二次方程, 現在是初中生要學的。 一元三次方 程和一元四次方程的根式解在 15、 16 世紀時由義大利人發現1, 不過相當複雜, 好像中學生並不要求掌握, 估計一般人也未必記得這些公式。 接下來人們想得到更高次方程的根式解, 為此事
7、 數學家忙了很長時間, 花了很大的力氣, 其中包括偉大的數學家 Lagrange, 但都失敗了。 原來答案是否定的。 1824 年, 挪威數學家 Abel 證明了五次和更高次的一元多項式方程一般沒有根 式解2。 這個結論有時也叫 Abel-Ruffini 定理, 因為 Ruffini 在 1799 年幾乎證明了這個定理,不過他的論證有漏洞。 這個結果出乎人們意料。 幾年後法國數學家 Galois 找到證明這個定理更 好的方法, 實際上他的方法匯出了更徹底的結果: 給出了一元多項式方程何時有根式解的準則。Galois 發現一個方程的根的排列關係是非常重要的。 在這裡他引出了群的概念, 對每一個一
8、元 多項式, 有相應的群。 一個方程有根式解當且僅當這個群可解。 Galois 發現對次數為 n 的一般 多項式, 相應的群是我們剛才提到的對稱群 Sn, 而當 n 大於等於 5 時, 這個對稱群是不可解的。 正是這個不可解性導致了方程的根式不可解。 我們剛才所討論的結論一部分可以表述如下:定理: (1) 如果 n 5, 則 n 個文字的對稱群 Sn不可解 (Galois)。 (2) 五次或更高次的一元多項式方程一般沒有根式解 (Abel-Ruffini)。1在三次方程的求解史上, 我國唐代初期的數學家王孝通的工作有重要地位, 其著作 缉古算經 建立並求解了二十多個一元三次方程。(作者感謝本文
9、的審稿者指出這個史實, 對於其他的建議如增加一些文献等在此一並致謝。2N.-H. Abel, M emoire sur les equations alg ebriques o u on d emontre limpossibilit e de la r esolurion de l equationg en erale du cinqui eme degr e. Christiania: Groendahl, 1824, 7 pages.“C41N22” 2017/6/6 16:36 page 24 #324數學傳播41卷2期民106年6月Galois 的工作影響是非常深遠的, 群論由此誕生
10、, 成為數學的一個重要分支, 深深地影響 了以後的數學發展。 Galois 是才華橫溢的數學家, 在 20 歲那年跟人決鬥, 不幸英年早逝, 給數 學的發展帶來巨大的損失。 有些證據讓人推測 Galois 的決鬥與其情人有關, 所以你們如果哪天失戀的話, 千萬要記著, 冷靜, 不然數學的事業會受到很大的損失。 Abel 的命運也是比較悲慘 的, 他貧困交加, 雖然非常有才華, 但是在 27 歲時就因病去世了。 數學裡有很多以 Abel 命名的重要物件, 如 Abel 群、 Abel 簇、 Abel 範疇、 Abel 函數等。 挪威在 2002 年設立了 Abel 數學獎以紀念這位偉大的數學家,
11、 每年獎勵一兩位數學家, 獎金高達約一百萬美元。在當今社會數學家的命運要好得多3, 生活沒有什麼風險, 收入也非常穩定4, 雖然不會成為富豪, 但是會非常愉快, 能做自己喜歡的事情, 在其他國家有很多朋友和同行, 有很多時間旅 行, 也不用帶什麼實驗設備, 不過別忘了帶著你的愛人, 不然你會寂寞的。前面定理中的對稱群 Sn是作為一個一元 n 次方程的 Galois 群出現的, 從而群的不可解性導致相應的方程沒有根式解。 Galois 群是數學裡非常重要的概念。 我們對這一點要多說幾 句。 把所有一元整係數多項式的根全部拿來放到一起, 這就構成一個集合, 一般記作Q, 顯然它 包含有理數集。 集
12、合Q 中的非零數的逆在這個集合中, 任意兩個數的和、 差、 積還在這個集合中, 所以是一個域, 稱為有理數域的代數閉包。 在中學我們學過多項式函數、 指數函數、 三角函 數、 對數函數等。 這裡我們考慮域Q 上一些特別但又自然的函數 f :Q Q, 它們保持加法和乘法, 即有f(a + b) = f(a) + f(b),f(ab) = f(a)f(b),f(1) = 1.所有這種函數的全體一般記作 Gal(Q/Q), 稱為有理數域的絕對 Galois 群, 是代數數論研究 的中心物件之一, 很多重要的工作和這個群都有關係, 如在 20 世紀末 Wiles 對 Fermat 大定理的著名證明中起
13、著關鍵的作用, 也還有很多未解決的重要問題, 如 Langlands 綱領中的一些 問題, 著名的 hafarevich 猜想等。 這是由簡單數學匯出來的一些高深的數學。2.計數數字的出現無疑與計數有關。 計數有時很簡單, 比如集合 甲, 乙, 丙 含有三個元素, n個數 1,2,.,n 的排列數是 n!; 有時很不容易, 如一個國家的人口數很難得到準確的值。 計數 是組合數學研究的問題。 不管怎麼說, 對有限集, 理論上計數是件簡單的事情, 一個一個數就行了。 但對無限集事情就比較麻煩, 比如有理數和無理數誰多呢? 如果你有一個面積無限的王國, 增加或損失幾百萬平方千米的國土對你都無所謂。
14、或許你們讀過伽莫夫的科普作品 從一到無3Sarah E. Needleman, Doing the Math to Find the Good Jobs-Mathematicians Land Top Spot in New Rankingof Best and Worst Occupations in the U.S., The Wall Street Journal, January 6, 2009.4在 http:/ 上可以看到美 國 2009 年的職業排行, 並提供了下一年的職業排行連接。“C41N22” 2017/6/6 16:36 page 25 #4數學簡單與高深25窮大, 從中
15、可以知道如果一個旅店有無窮多間客房, 哪怕住滿了客人, 仍能安排一個新來的客 人: 把原來住 1 號房的客人換到 2 號房, 住 2 號房的客人換到 3 號房, , 這樣 1 號房就 可以空出來給新來的客人住了。 如果一個旅店的客房數有限, 這樣的事情就辦不到了。 這些事實表明有限的世界和無限的世界有本質的不同。怎樣比較無限的集合呢? 我們不能像有限集那樣斤斤計較多一個元素少一個元素, 那不是 無限的本質。 德國數學家 Cantor 找到了比較無限集大小的辦法, 建立了集合論。 Cantor 利用映射來比較集合的多少, 這個辦法對有限集和無限集都管用。 Cantor 利用一一映射建立了等勢 的概念。 一個從集合 A 到集合 B 的映射稱為一一映射, 如果它把不同的元素映到不同的元素,並且 B 裡的每個元素都有 A 裡的元素映過來。 兩個集合稱為等勢, 如果它們之間有一一映射。 兩個有限集等勢的充要條件是它們所含的元素的個數一樣。 對無限集, 等勢是個有趣的概念, 準確把握了無限的本質, 忽略了次要的因素。 等勢的集合只是表明兩者勢力相當, 猶如兵來將擋、 水來土掩, 不表明兩者有一樣多的元素。 實際上一個無限集可以和它的子集等勢, 如整數集和自 然數集等勢, 它們之間的一一映射可以構造如下:
