双曲函数的作用

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1、双曲函数的作用双曲函数的作用双曲正弦 sh z (ez-e(-z)/2 （1） 双曲余弦 ch z (ez+e(-z)/2 （2） 双曲正切 th z sh z /ch z (ez-e(-z)/(ez+e(-z) （3） 双曲余切 cth z ch z/sh z(ez+e(-z)/(ez-e(-z) （4） 双曲正割 sech z 1/ch z （5） 双曲余割 csch z 1/sh z （6） 其中，指数函数（exponential Csch_sech_cothfunction）可由无穷级数定义 ez1z/1！z2/2！z3/3！z4/4！zn/n！ （7） 双曲函数的反函数（invers

2、e hyperbolic function）分别记为 ar sh z、ar ch z、ar th z 等。 定义定义在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。基本双曲函数是双曲正弦 “sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反 函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。 因为双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。 双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数函数的有理 函数，并因此是完整的。 射线出原点交双曲线 x2 y2

3、= 1 于点 (cosh a,sinh a)，这里的 a 被称为双曲角，是这条射 线、它关于 x 轴的镜像和双曲线之间的面积。定义 双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数： sinh / 双曲正弦： sinh(x) = ex - e(-x) / 2 cosh / 双曲余弦： cosh(x) = ex + e(-x) / 2 tanh / 双曲正切： tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=ex - e(-x) / ex + e(-x) coth / 双曲余切： coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = ex + e(-x) / e(

4、x) - e(-x) sech / 双曲正割： sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / ex + e(-x) csch / 双曲余割： csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / ex - e(-x) 其中， e 是自然对数的底 e2.71828 18284 59045.= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!.+ 1/n! +. ex 表示 e 的 x 次幂,展开成无穷幂级数是: ex=x0/0! + x1/1! + x2/2! + x3/3! + x4/4! + x5/5!.+ xn/n! +. 如同点 (cost,si

5、nt) 定义一个圆，点 (cosh t, sinh t) 定义了右半直角双曲线 x2 y2 = 1。这基于了很容易验证的恒等式 cosh2(t) - sinh2(t) = 1 和性质 t 0 对于所有的 t。 双曲函数是带有复周期 2i 的周期函数。 参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点 (cosh t, sinh t) 的直线之间的面积的两倍。 函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。 函数 sinhx 是奇函数，就是说-sinhx=sinh-x 且 sinh0=0。 实变双曲函数图像的基本性质实变双曲函数图像的基本性质y=sinh(x).定义域：R

6、.值域：R.奇函数.函数图像为过原点并且穿越,象限的严格单调递增曲线,当 x-+时是(1/2)ex 的等价无穷大.函数图像关于原点对称. y=cosh(x).定义域：R.值域：1,+).偶函数.函数图像是悬链线，最低点是(0,1),在象限部分 是严格单调递增曲线，当 x-+时是(1/2)ex 的等价无穷大.函数图像关于 y 轴对称. y=tanh(x).定义域：R.值域：(-1,1).奇函数.函数图像为过原点并且穿越,象限的严格单 调递增曲线.其图像被限制在两渐近线 y=1 和 y=-1 之间.limx-+,tanh(x)=1,limx- ,tanh(x)=-1. y=coth(x).定义域：

7、x|x0.值域：x|x|1.奇函数.函数图像分为两支,分别在,象 限,函数在(-,0)和(0，+)分别单调递减.垂直渐近线为 y 轴，两水平渐近线为 y=1 和 y=- 1.limx-+,coth(x)=1,limx-,coth(x)=-1. y=sech(x).定义域：R.值域：(0,1.偶函数.最高点是(0,1),函数在(0,+)严格单调递减.x 轴是其渐近线.limx-,sech(x)=0. y=csch(x).定义域：x|x0.值域：x|x0.奇函数.函数图像分为两支,分别在,象限,函 数在(-,0)和(0，+)分别单调递减.垂直渐近线为 y 轴，两水平渐近线为 x 轴.limx- ,

8、csch(x)=0. 双曲函数名称的变更：sh 也叫 sinh, ch 也叫 cosh 复变中的双曲函数复变中的双曲函数? ?1 1、定义、定义双曲正弦： sh(z) = ez - e(-z) / 2 双曲余弦： ch(z) = ez + e(-z) / 2 2 2、性质、性质解析性：shz,chz 是全平面的解析函数 周期性：shz,chz 是周期函数，周期为 2i2i,这是完全不同于实变函数中的性质 双曲函数与三角函数的关系双曲函数与三角函数的关系双曲函数与三角函数有如下的关系: * sinh x = -i * sin(i * x) * cosh x = cos(i * x) * tanh

9、 x = -i * tan(i * x) * coth x = i * cot(i * x) * sech x = sec(i * x) * csch x = i * csc(i * x) i 为虚数单位,即 i * i = -1 恒等式恒等式与双曲函数有关的恒等式如下: cosh2(x) - sinh2(x) =1 coth2(x)-csch2(x)=1 tanh2(x)+sech2(x)=1 加法公式加法公式sinh(x+y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y) cosh(x+y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) *

10、sinh(y) tanh(x+y) = tanh(x) + tanh(y) / 1 + tanh(x) * tanh(y) coth(x+y)=(1+coth(x) * coth(y)/(coth(x) + coth(y) 减法公式减法公式sinh(x-y) = sinh(x) * cosh(y) - cosh(x) * sinh(y) cosh(x-y) = cosh(x) * cosh(y) - sinh(x) * sinh(y) tanh(x-y) = tanh(x) - tanh(y) / 1 - tanh(x) * tanh(y) coth(x-y)=(1-coth(x) * cot

11、h(y)/(coth(x) - coth(y) 二倍角公式二倍角公式sinh(2x) = 2 * sinh(x) * cosh(x) cosh(2x) = cosh2(x) + sinh2(x) = 2 * cosh2(x) - 1 = 2 * sinh2(x) + 1 tanh(2x) = 2tanh(x)/(1+tanh2(x) coth(2x) = (1+coth2(x)/2coth(x) 三倍角公式三倍角公式 sinh(3x)=3sinh(x)+4sinh3(x) cosh(3x)=4cosh3(x)-3cosh(x) 半角公式半角公式cosh2(x / 2) = (cosh(x) +

12、 1) / 2 sinh2(x / 2) = (cosh(x) - 1) / 2 tanh(x / 2) = (coth(x)-1)/sinh(x)=sinh(x)/(coth(x)+1) coth(x / 2) = sinh(x)/(coth(x)-1)=(coth(x)+1)/sinh(x) 德德 莫佛公式莫佛公式 (cosh(x)sinh(x)n=cosh(nx)sinh(nx) 双曲函数的恒等式都在圆三角函数有相应的公式。Osborns rule 指出：将圆三角函数恒等式 中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个 sinh 的积时(包括 coth2(x), tanh2(x), csch2(

13、x), sinh(x) * sinh(y)则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。如 三倍角公式三倍角公式sin(3 * x) = 3 * sin(x) 4 * sin3(x) sinh(3 * x) = 3 * sinh(x) + 4 * sinh3(x) 反双曲函数反双曲函数反双曲函数是双曲函数的反函数. 它们的定义为: arcsinh(x) = lnx + sqrt(x2 + 1) arccosh(x) = lnx + sqrt(x2 - 1) arctanh(x) = lnsqrt(1 - x2) / (1 - x) = ln(1 + x) / (1 - x) / 2 arccot

14、h(x) = lnsqrt(x2 - 1) / (x - 1) = ln(x + 1) / (x - 1) / 2 arcsech(x) = ln1 + sqrt(1 - x2) / x arccsch(x) = ln1 - sqrt(1 + x2) / x , 如果 x 0 其中, sqrt 为 square root 的缩写 , 即平方根 双曲函数与反双曲函数的导数双曲函数与反双曲函数的导数(sinh(x)=cosh(x) (cosh(x)=sinh(x) (tanh(x)=sech2(x) (coth(x)=-csch2(x) (sech(x)=-sech(x)tanh(x) (csch

15、(x)=-csch(x)coth(x) (arcsinh(x)=1/sqrt(x2+1) (arccosh(x)=1/sqrt(x2-1) (x1) (arctanh(x)=1/(1-x2) (|x|1) 双曲函数与反双曲函数的不定积分双曲函数与反双曲函数的不定积分sinh(x)dx=cosh(x)+c cosh(x)dx=sinh(x)+c sech2(x)dx=tanh(x)+c csch2(x)dx=-coth(x)+c sech(x)tanh(x)dx=-sech(x)+c csch(x)coth(x)dx=-csch(x)+c tanh(x)dx=ln(cosh(x)+c coth(x)dx=ln|sinh(x)|+c sech(x)dx=arctan(sinh(x)+c=2arctan(ex)+c1=2arctan(tanh(x/2)+c2 csch(x)dx=ln|coth(x)-csch(x)+c=ln|tanh(x/2)|+c 1/sqrt(x2+1)dx=arcsinh(x)+c=ln(x+sqrt(x2+1)+c 1/sqrt(x2-1)dx=sgn(x)arcc