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1、一次函数一次函数知识讲解知识讲解1正比例函数的定义正比例函数的定义 一般地，形如 y=kx（k 是常数，k0）的函数，叫做正比例函数， 其中 k 叫做比例系数2正比例函数的图像正比例函数的图像 正比例函数 y=kx（k 是常数且 k0）的图像是一条经过原点 （0，0）和点（1，k）的直线，我们称它为直线 y=kx；当 k0 时，直线 y=kx 经过第一，三象 限，y 随着 x 的增大而增大，当 k0第一，二，三象限k0b0第一，二，四象限k0）个单位得到一 次函数 y=kx+bm；一次函数 y=kx+b 沿着 x 轴向左（“”）、右（“”）平移 n（n0） 个单位得到一次函数 y=k（xn）+
2、b；一次函数沿着 y 轴平移与沿着 x 轴平移往往是同步进行的只不过是一种情况，两种表示罢了；直线 y=kx+b 与 x 轴交点为（，0），与 y 轴交点b k为（0，b），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为 S=b1 2b k 例题解析例题解析例例 1 （2006，江西省）已知直线 L1经过点 A（1，0）与点 B（2，3），另一条直线 L2 经过点 B，且与 x 轴相交于点 P（m，0）（1）求直线 L1的解析式；（2）若APB 的面积为 3，求 m 的值【分析】函数图像上的两点坐标也即是 x，y 的两组对应值，可用待定系数法求解，求函 数与坐标轴所围成的三角形面积关键是求出函数解析
3、式的 k，b 的值【解答】（1）设直线 L 的解析式为 y=kx+b，由题意得解得0,23.kbkb 1, 1.k b 所以，直线 L1的解析式为 y=x+1（2）当点 P 在点 A 的右侧时，AP=m（1）=m+1，有 SAPC=（m+1）3=31 2解得 m=1，此时点 P 的坐标为（1，0）；当点 P 在点 A 的左侧时，AP=1m，有 S=（m1）3=3，解得 m=3，此时，点 P 的坐标为（3，0）综上所述，m 的值为 1 或3【点评】先设一次函数的解析式，再代入点的坐标，利用方程组求解，其步骤是：设、代， 求、答例例 2 （2004，黑龙江省）下图表示甲，乙两名选手在一次自行车越野
4、赛中，路程 y（km） 随时间 x（min）的变化的图像（全程），根据图像回答下列问题：（1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？（2）求这次比赛全程是多少千米？ （3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇【分析】观察图像知，甲选手的路程 y 随时间 x 变化是一个分段函数，第一次相遇时是在 AB 段，故求出 15x33 时的函数关系式；欲求出比赛全程，则需知乙的速度，这可由第一次 相遇时的路程与时间的关系求得，要求第二次相遇时间，即先求甲在 BC 段的函数关系式，再 求出 BC 和 OD 的交点坐标即可【解答】（1）当 15x33 时，设 yAB=k1x+b1，将（15，5）与（33，7）
5、代入得：1111515733kbkb 解得111 9 10 3kb yAB=x+1 910 3当 y=6 时，有：6=x+，解得 x=241 910 3比赛进行到 24min 时，两人第一次相遇（2）设 yOD=kx，将（24，6）代入得：6=24k, k=1 4yOD=x1 4当 x=48 时，yOD=48=121 4比赛全程为 12km（3）当 33x43 时，设 yBC=k2x+b2，将（33，7）和（43，12）代入得：22227331243kbkb 解得221 2 19 2kb yBC=x1 219 2解得119 22 1 4xyxy 19 238xy比赛进行到 38min 时，两人
6、第二次相遇【点评】解答图像应用题的要领是从图像的形状特点、变化趋势、相关位置、相关数据出发， 充分发掘图像所蕴含的信息，利用函数、方程（组）、不等式等知识去分析图像以解决问题例例 3 （2006，贵州铜仁）铜仁某水果销售公司准备从外地购买西瓜 31t，柚子 12t，现计划 租甲，乙两种货车共 10 辆，将这批水果运到铜仁，已知甲种货车可装西瓜 4t 和柚子 1t，乙种货 车可装西瓜，柚子各 2t（1）该公司安排甲，乙两种货车时有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费 1800 元，乙种货车每辆要付运输费 1200 元，则该公司 选择哪种方案运费最少？最少运费是多少元？ 【解答】（1）设安排甲
7、种货车 x 辆，则安排乙种货车为（10x）辆，依题意，得42(10)312(10)12xxxx 解这个不等式组，得 5.5x8x 是整数，x 可取 6，7，8即安排甲，乙两种货车有三种方案：甲种货车 6 辆，乙种货车 4 辆甲种货车 7 辆，乙种货车 3 辆甲种货车 8 辆，乙种货车 2 辆（2）设运费为 y 元，则 y=1800x+1200（10x）=600x+12000当 x 取 6 时，运费最少，最少运费是：15600 元【点评】本例需要考生构建一元一次不等式和一次函数来解决实际问题，以考查学生运用综 合知识，分析、解决问题的能力强化训练强化训练一、填空题一、填空题 1（2006，绍兴）
8、如图所示，一次函数 y=x+5 的图像经过点 P（a，b），Q（c，d），则 a（cd）b（cd）的值为_2（2005，重庆市）直线 y=x+8 与 x 轴，y 轴分别交于点 A 和点 B，M 是 OB 上的一点，4 3若将ABM 沿 AM 折叠，点 B 恰好落在 x 轴上的点 B处，则直线 AM 的解析式为 _ 3（2006，白云区）关于 x 的一次函数 y=（a3）x+2a5 的图像与 y 轴的交点不在 x轴的 下方，且 y 随 x 的增大而减小，则 a 的取值范围是_ 4已知一次函数 y=kx+b（k0）的图像经过点（0，1），且 y 随 x 的增大而增大，请你写出 一个符合上述条件的函
9、数关系式_ 5（2005，黑龙江省）一次函数 y=kx+3的图像与坐标轴的两个交点之间的距离为 5，则 k 的 值为_ 6（2005，包头市）若一次函数 y=ax+1a 中，y 随 x 的增大而增大，且它的图像与 y 轴交于正半轴，则a1+=_2a8如图所示，点 M 是直线 y=2x+3 上的动点，过点 M 作 MN 垂直 x 轴 于点 N，y 轴上是否存在点 P，使以 M，N，P 为顶点的三角形为等腰直角三 角形小明发现：当动点 M 运动到（1，1）时，y 轴上存在点 P（0，1）， 此时有 MN=MP，能使NMP 为等腰直角三角形在 y 轴和直线上还存在符 合条件的点 P 和点 M请你写出
10、其他符合条件的点 P 的坐标_二、选择题二、选择题 9（2006，南安）如图所示，一个蓄水桶，60min 可匀速将一满桶水放 干其中，水位 h（cm）随着放水时间 t（min）的变化而变化h 与 t 的函 数的大致图像为（ ）10（2005，杭州市）已知一次函数 y=kxk，若 y 随 x 的增大而减小，则该函数的图像经过（ ）A第一，二，三象限 B第一，二，四象限C第二，三，四象限 D第一，三，四象限 11（2008，济南）济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用 4h，调进物资 2h 后开始 调出物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）储运部库存物资 S（t）与时间 t（h）之间的函
11、数关系如图 535 所示，这批物资从开始调进到全部调出所需要的时间是 （ ）A4h B4.4h C4.8h D5h 12（2006，泉州）小明所在学校离家距离为 2km，某天他放学后骑自行车回 家，行驶了 5min 后，因故停留 10min，继续骑了 5min 到家，下面哪一个图像能大致描述他回家过程中离家的距离 s（km）与所用时间 t（min）之间的关系（ ）13（2006，黄冈）如图所示，在光明中学学生体力测试比赛中，甲， 乙两学生测试的路程 s（m）与时间 t（s）之间的函数关系图 像分别为折线 OABC 和线段 OD，下列说法正确的（ ）A乙比甲先到达终点B乙测试的速度随时间增加而增
12、大C比赛进行到 29.7s 时，两人出发后第一次相遇 D比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快 14（2005，黄冈市）有一个装有进，出水管的容器，单位时间内进，出的水量都是一定 的已知容器的容积为 600L，又知单开进水管 10min 可把空容器注满若同时打开进，出 水管，20min 可把满容器的水放完现已知水池内有水 200L，先打开进水管 5min，再打开 出水管，两管同时开放，直至把容器中的水放完，则能正确反映这一过程中容器的水量 Q（L）随时间 t（min）变化的图像是下图中的（ ）15（2005，重庆市）为了增强抗旱能力，保证今年夏粮丰收，某村新修建了一个蓄水池，这个 蓄水池安装
13、了两个进水管和一个出水管（两个进水管的进水速度相同），一个进水管和一个 出水管的进出水速度如图 a，b 所示，某天 0 点到 6 点（至少打开一个水管），该蓄水池的 蓄水量如图 c 所示，并给出以下 3 个论断：0 点到 1 点不进水，只出水；1 点到 4 点不进 水，不出水；4 点到 6 点只进水，不出水，则一定正确的论断是（ ）(a) (b) (c)A B C D 16（2008，重庆）如图所示，在直角梯形 ABCD 中，DCAB，A=90， AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，点 M 从点 D 出发，以 1cm/s 的速度向点 C 运动，点 N 从 点 B 同时出发，以 2cm
14、/s 的速度向点 A 运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一 个动点也随之停止运动，而四边形 ADMN 的面积 y（cm2）与两动点的运动时间 t（s）的函 数图像大致是（ ）三、解答题三、解答题 17（2008，河北）如图所示，直线 L1的解析表达式为 y=3x+3，且 L1与 x 轴交于点 D直线 L2经过点 A，B，直 线 L1，L2交于点 C（1）求点 D 的坐标；（2）求直线 L2的解析表达式；（3）求ADC 的面积； （4）在直线 L2上存在异于点 C 的另一点 P，使得ADP 与 ADC 的面积相等，请直接写出点 P 的坐标18（2008，南京）一列快车从甲地驶往乙地，一列
15、慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发设慢 车行驶的时间为 x（h），两车之间的距离为 y（km），下图中的折线表示 y与 x 之间的函 数关系根据图像进行以下探究：信息读取:（1）甲，乙两地之间的距离为_km;（2）请解释图中点 B 的实际意义图像理解:（3）求慢车和快车的速度;（4）求线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围问题解决: （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同在第一列快车与慢车 相遇 30min 后，第二列快车与慢车相遇，求第二列快车比第一列快车晚出发多少小 时19（2005，黑龙江省）某企业有甲，乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以 6m3/h 的 速度注入乙池，甲，乙两个蓄水池中水的深度 y（m）与注水时间 x（h）之间的函数图像如 图所示，结合图像回答下列问题：（
