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1、2010 年度本科生毕业论文（设计）利用 F-EXP 方法求(1+1)维 Benjamin Ono 方程的精确解院 系: 数学学院 数学与应用数学系 专 业: 数学与应用数学 年 级: 2006 级 学生姓名: 李彩云 学 号: 5 导师及职称: 丁玉敏（教授） 2010 年 5 月2010 Annual Graduation Thesis (Project) of the College Undergraduate F-EXP function Method for Solving Exact Solutions of Benjamin Ono EquationDepartment: Col
2、lege of MathematicsMajor: Mathematics and Applied MathematicsGrade: 2006Students Name: Li CaiyunStudent No.:5Tutor: Ding Yumin（Professor）Finished by May, 2010毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果. .据我所知, ,除文中已经注明引用的内溶外,本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果.对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中作了明确说明并表示谢
3、意. 作者签名: 李彩云 日期: 2010 年 6 月 12 日 毕业论文（设计）授权使用说明毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定,学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版.有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅.学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容.保密的论文（设计）在解密后适用本规定. 作者签名:李彩云 指导教师签名: 日期: 2010 年 6 月 12 日 日期: 李彩云李彩云毕业论文（设计）答辩委员会毕业论文（设计）答辩委员会( (答辩小组答辩小组)
4、)成员名单成员名单姓名职称单位备注龙瑶教授数学学院主席（组长）丁玉敏教授数学学院谌孙康讲师数学学院何应辉讲师数学学院红河学院本科毕业论文（设计）摘要利用 F-展开法与指数函数方法相结合并借助 Maple 软件，求出了(1+1)维Benjamin Ono 方程的大量的新的精确解，包括各种孤立波解和三角函数周期波解.关键词关键词: : F 展开法;Exp 函数方法;广义 Riccati 方程; (1+1)维 Benjamin Ono 方程;F-Exp 方法红河学院本科毕业论文（设计）ABSTRACTUsing the combination of F-expansion method and th
5、e exponential function method , the help of Maple software, to find the (1+1)-dimensional Benjamin Ono equation of a large number of new exact solutions, which include solitary wave solutions and triangular function periodic wave solutions. Keywords: F-expansion method; EXP-function method; Generali
6、zed Riccati equation; (1+1)-dimensional Benjamin Ono equation; F-Exp method;红河学院本科毕业论文（设计）目 录 第一章 引言.1第二章 Benjamin Ono 方程的精确解 .22.1 F-EXP 函数法的基本思想.22.2 广义 Riccati 方程的精确解.22.3 Benjamin Ono 方程的求解及对解的变换和分析 .102.3.1 Benjamin Ono 方程的一般解 .102.3.2 Benjamin Ono 方程的精确解 .11第三章 结论.16参考文献.17致谢.19第二章 Benjamin On
7、o 方程的精确解2第一章 引言随着计算机代数理论的发展,许多复杂的代数计算可通过计算机来完成，非线性数学物理方程精确解的构造成为了科学家的主要研究对象.由于对非线性微分方程没有统一的求解方法,因此近年来一些特殊的方法相继被提出.利用计算机代数理论开发的符号计算软件如 Mathematica 和 Maple 等被广泛应用, 在非线性发展方程方面，为了求其精确解，研究人员对力学及物理学中的一些重要方程进行了系统深入的研究.在文献1中，戴世强研究了具有自由面的上部为浅层的大深度分层流体中的代数孤立波，考察其垂向结构所对应的本征值问题，给出了二维 Benjamin Ono 方程的一个解析解，并根据色散
8、关系作了物理解释. 在文献2中，张领海用 Leray-Schauder 不动点定理与积分先验估计,研究一类带奇异积分微分项的 Benjamin Ono方程的 Cauchy 问题,证明了该问题整体弱解的存在性. 在文献3中，韩效宵,郝海龙通过引入新的函数空间和采用一些特殊的技巧，对高阶 Benjamin Ono 方程在时解的渐近行为做了比较深入细致的研究. 在文献4中，张鸿庆,张玉锋利x用屠格式求出了 Benjamin 方程的 Bcklund 变换、精确孤波解、非线性叠加公式及其无穷守恒律.在文献5中，jian-pingWeng 研究了下列(1+1)维 Benjamin Ono 方程(1-1)
9、. 0)(2xxxxxxttuuu并使用其次平衡思想6和规则地混合指数函数7构建试探解，从而获得方程(1-1)的一些解析解.本文将 F-展开法8-10和 EXP-函数方法11-13相结合(简称 F-EXP 方法14)，再次研究方程(1-1)，获得了许多的新的精确解.第二章 Benjamin Ono 方程的精确解2第二章 Benjamin Ono 方程的精确解2.1 F-EXP 函数法的基本思想F-EXP 方法是 F-展开法与 EXP-函数方法的有机结合.即:对于给定的一个非线性偏微分方程, (2-1)0),(Lttxxxttxuuuuuup其中为及的各阶偏导数的一个多项式.Puu(1) 令,
10、(2-2)btaxutxu),(),(其中为待定常数,利用(2-2)式，可将(2-1)式化为的常微分方程：ba,)(u, (2-3) ( ,)0p u u u uL其中分别表示对求一阶、二阶、三阶导数.,.,uuu ux(2)设 , (2-4) 0( )( )n i i iuAF其中为待定常数，是非负整数，可由(2-3)式中具有支配地位的非线性01,nA AALnn项与最高阶导数项之间通过齐次平衡法来确定,且满足下列广义 Riccati 程: 0,( )nAF, (2-5) 4 42 202FhFhhF其中为待定常数.将(2-4)式代人(2-3)式并利用(2-5)式，可将(2-3)的左边化为0
11、24,h h h关于的多项式.令的各次幂的系数为零，得到关于，,( )F( )F01,nA AALba,的代数方程组，解此代数方程组，并将结果代人(2-4)式,就得到方程(1-1)用024,h h h表示的行波解的一般形式.( )F(3)利用 EXP-函数方法求出方程(2-5)的指数函数解，代人第(2)步中所得到的一般解中，从而得到方程(1-1)的指数函数解或孤立波解.红河学院本科毕业论文（设计）32.2 广义 Riccati 方程的精确解根据 Exp 方法，可设方程(2-5)的解为：(2-6),)()2( 2)( 10)( 1)2( 2)4( 4)2( 2)( 10)( 1)2( 2)3(
12、3)4( 4 ebebbebebebeaeaaeaeaeaeaF其中为待定常数.将(2-6)式带入(2-5)式，有 (2-7),iia b, 01)(168 j jecB其中为常数.令(2-7)式中的系数为零，有jj jbebB,)(4)(42 )4 , 2 , 1 , 0 , 1, 2(jje(2-8) . 0,.0, 0, 0, 0,.0, 0, 0832125321 cccccccc解关于的代数方程组(2-8), 得到如下六十一组参数值，相应就得到方程(2-5)的,ijka b h七十八个解，表一如下：表一(广义 Riccati 方程精确解)序号参数值广义 Riccati 方程的解1, 0043210
