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1、1z z变换基本知识变换基本知识1 z 变换定义变换定义连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进行研究。一个连续信号的拉普拉斯变换是复变量 的有理分式函数；( )f t( )F ss而微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为 的代数方程，从而可以大大简s化微分方程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。因此，拉普拉斯变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了 z 变换。连续信号通过采样周期为 T 的理想采样开关采样后，采样信号( )f t的表达式为*( )ft0*(
2、)() ()(0) ( )( ) ()(2 ) (2 )kftf kTtkTftf TtTfTtT（1）(3 ) (3 )fTtTL对式（1）作拉普拉斯变换23*( )*( )(0)( )(2 )(3 )sTsTsTFsL ftff T efT efT eL（2）0()eksTkf kT 从式（2）可以看出，是 的超越函数，含有较为复杂的非线性关系，*( )Fss因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。为此，引入了另一个复变量“z” ，令（3）esTz 代入式（2）并令，得1ln*( )( ) szTFxF z 2（4）120( )(0)( )(2 )()kkF zFf T zfT
3、zf kT z L式（4）定义为采样信号的 z 变换，它是变量 z 的幂级数形式，从而*( )ft有利于问题的简化求解。通常以表示。( )*( )F zL ft由以上推导可知，z 变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信号作的变量置换。esTz 的 z 变换的符号写法有多种，如*( )ft等，不管括号内写的是连续信号、*( ), ( ), ( ), *( ),( )Z ftZ f tZ f kZ FsF z离散信号还是拉普拉斯变换式，其概念都应该理解为对采样脉冲序列进行 z 变换。式（1） ，式（2）和式（3）分别是采样信号在时域、 域和 z 域的表达式，s形式上都是多项式之和，加权系
4、数都是，并且时域中的域中()f kT()tkTs、的及 z 域中的均表示信号延迟了拍，体现了信号的定时关系。eksTkzk在实际应用中，采样信号的 z 变换在收敛域内都对应有闭合形式，其表达式是 z 的有理分式（5）1 110 1 110()( )mm m nn nK zdzd zdF zzCzC zC L Lmn或的有理分式1z（6）11 110 11 110(1)( )1lmm m nn nKzdzd zd zF zCzC zC z L Llnm其分母多项式为特征多项式。在讨论系统动态特征时，z 变换写成零、极点形式更为有用，式（5）可改写为式（7）（7）11()()( )( )( )()
5、()mnK zzzzKN zF zD zzpzpL Lmn2 求求 z 变换的方法变换的方法1）级数求和法根据 z 变换定义式（4）计算级数和，写出闭合形式。3例例 1 求指数函数的 z 变换。( )etf t解解 连续函数的采样信号表达式为( )f t*20( )e()( )e()e(2 )kTTTkfttkTttTtT L对应的 z 变换式为1220( )()1kTTkF zf kT zezez L上式为等比级数，当公比时，级数收敛，可写出和式为1e1Tz。11( )1 eeTTzF zzz例例 2 求单位脉冲函数的 z 变换。( ) t解解 因为采样信号的表达式为*( )(0) ( )(
6、 ) ()(2 ) (2 )ftftf TtTfTtTL对函数，它意味着仅由一项组成，即，且( )( )f tt*( )ft*( )(0) ( )ftft。所以(0)1f00( ) ( )()(0)1kkF zZtf kT zfz 2）部分分式展开法最实用的求 z 变换的方法是利用时域函数或其对应的拉普拉斯变换式( )f t查 z 变换表（见教材附录） ，对于表内查不到的较复杂的原函数，可将对应( )F s的拉普拉斯变换式进行部分分式分解后再查表。( )F s的一般式为( )F s（8）1 011 1 11( )( )( )mm mm nn nnb sbsbsbB sF sA ssa sasa
7、 L L（1）当无重根，则可写为个分式之和，即( )0A s ( )F sn4（9）1212( )ininCCCCF sssssssssLL系数可按下式求得，即iC（10）()( ) iiis sCssF sg（2）当有重根，设为 阶重根，为单根，则( )0A s 1sr12,rrnsssL可展成如下部分分式之和，即( )F s（11）111 1 1111( )()()nrrr rr rnCCCCCF sssssssssss LL式（11）中为单根部分分式的待定系数，可按式（10）计算。而重1,rnCCL根项待定系数的计算公式如下12,rC CCL（12）111111111111()( )d(
8、)( )d1 d()( )!d1d()( )(1)!dr rs sr r s sj r rjj s sr r r s sCssF sCssF ssCssF sjsCssF srs 例例 3 已知，求其相应采样函数的 z 变换。22( )(1) (3)sF ss ss( )F z解解 用直接查 z 变换表查不到，所以必须先进行部分分式分解。该式( )F s可分解为3214 2( )(1)13CCCCF sssss其中2 22 121(1)(1) (3)2ssCss ss g52 121d23(1)d(1) (3)4ssCsss ss g32 022 (1) (3)3ssCss ssg42 321
9、(3)(1) (3)12ssCss ssg将诸常数代入部分分式中，有211312 111( )2 (1)4 (1)3123F sssss gggg对照 z 变换表，查得231e321( )2 (e)4e3112eTTTTTzzzzF zzzzz gggg（13）2232e33 e21 4(e)3112eTTTTTzzzzz zzzgg3 z 变换的基本定理变换的基本定理z 变换的基本定理和拉普拉斯变换很相似，见表 1。这些定理一般均可用 z变换定义来证明，以下选择一些常用的定理进行证明。表 1 拉普拉斯变换和 z 变换特性拉普拉斯变换Z 变换线性1212( )( )( )( )L f tf t
10、F sF s1 1212( )( )( )( )LF sF sf tf t( )( )L af taF s1( )( )LaF saf t1212( )( )( )( )Z f tf tF zF z1* 1212( )( )( )( )ZF zF zftft( )( )Z af taF z1*( )( )ZaF zaft实微分（实超前位移）d( )dkkLf tt (1)1( )(0)k kkjjjs F ssf()Z f tlT10( )( )l lljjz F zzf j 6实积分 0( )( )dtF sLfs复微分d( )( )dL t f tF ss gd ( )( )dF zZ t
11、 f tTzz g复积分( )( )d sf tLF ppt( )f tZt 0( )()dlim zkFf kT TkT实延迟位移0 00() 1()e( )sTL f tTtTF s() 1()( )lZ f tlTtlTz F z复位移( )()atL ef tF sa me( )()atZf tZ F sa meatFz初值 0lim( )lim( ) isf tsF s 0lim()lim( ) kzf kTF z 终值 0lim( )lim( ) tsf tsF s 11lim()lim(1) ( ) kzf kTzF z比例尺变换1 ()sL f atFaa1/ ()()aZ f
12、 anTF z实卷积1212( )*( )( )( )L f tf tF s F sg1212( )( )( )( )Z f nfnF zF z求和 1 01( )( )1niZf iF zz1）实域位移定理）实域位移定理（1）右位移（延迟）定理）右位移（延迟）定理若，则 ( )( )Z f tF z（14） ()( )nZ f tnTzF z式中是正整数。n证明证明 根据定义()00 ()()()knk nkkZ f tnTf kTnT zzf kTnT z 令，则knm7 ()()nmmnZ f tnTzf mT z 根据物理可实现性，时为零，所以上式成为0t ( )f t0 ()()(
13、)nmnmZ f tnTzf mT zzF z 位移定理的时域描述如图 1 所示。图 1 位移定理的时域图形描述从图中可以看出，采样信号经过一个的纯超前环节，相当于其时间特性nz向前移动步；经过一个的纯滞后环节，相当于时间特性向后移动步。nnzn（2）左位移（超前）定理）左位移（超前）定理若，则 ( )( )Z f tF z（15）10 ()( )()n nkkZ f tnTzF zf kT z 证明证明 根据定义有0 ()()kkZ f tnTf kTnT z 令，则knr() ()()()r nnkr nr nZ f tnTf rT zzf rT z 11000()()( )()nn nr
14、rnkrrkzf rT zf rT zzF zf kT z 8当时，即在零初始条件下，则超前定理(0)( )(2 )(1) 0ff TfTfnTL成为（16） ()( )nZ f tnTz F z2）复域位移定理）复域位移定理若函数有 z 变换，则( )f t( )F z（17）e( )( e)ataTZf tF zm式中是常数。a证明证明 根据 z 变换定义有0e( )()eatakTkkZf tf kTz mm令，则上式可写成1eaTzz11 0e( )()( )atkkZf tf kT zF z m代入，得1eaTzze( )( e)ataTZf tF z m3）初值定理）初值定理如果函数的 z 变换为，并存在极限，则( )f t( )F zlim( ) zF z （18） 0lim()lim( ) kzf kTF z
