《2010年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题及答案（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。 更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦） - 1 - 20102010 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛甘肃省预赛甘肃省预赛2010 年全国高中数学联赛甘肃省预赛于 2010 年 9 月 19 日（星期日）上 午 9:00-11:30 在甘肃各地州市同时举行,有九千多名中学生参加了这次预赛. 联赛预赛由省数学会普及委员会在甘肃省五学科竞赛管理委员会领导下组织出 题，由各地州市自己组织竞赛和阅卷,并按参加预赛人数的 5% 10%上报参 加联赛的人选. 最后选拔了近一千名同学参加在省城兰州举行的全国高中数学 联赛. 预赛试
2、题的大部分内容不超出现行全日制普通高级中学数学教学大纲 的范围，同时适当涉及到了高中数学竞赛大纲（2006 年修订试用稿） . 试 题结构与新的联赛试题结构相适应，取消了选择题. 预赛试卷包括 8 道填空题 和 4 道解答题，全卷满分 120 分.- 2 -试试 题题一一. .填空题填空题( (每小题每小题 7 7 分，共分，共 5656 分分) ) 1 1. 已知是非负整数,满足，则12nkkkL12222227nkkkL. 12nkkkL2.2. 设，函数和的图像交于点且它们分别与0a ( ) |2 |f xxa( ) |g xxaC轴交于和点，若三角形的面积是 ，则 . yABABC1a
3、 3 3. 已知是公差为正数的等差数列的前项之和，如果在时取到nSqn210nS n6n 最小值, 则的取值范围是 . q4 4. 已知函数在的切线和轴交于，如果, 则 .3yxkxax1ka11a limnnS 5 5. 函数对于一切满足不等式:fRR, ,x y zR，()()()3 (2)f xyf yzf zxf xyz则 ；(1)(0)ff6 6.锐角三角形中，角的对边分别为，若，则ABC, ,A B C, ,a b c4cosbaCab的最小值是；11 tantanAB7 7. 是椭圆上的一动点，和 是椭圆的两个焦点，则的P22 1124xy1F2F12PF PFuuu r uuu
4、 u r取值范围是；8 8. 用 3 种颜色给立方体的 8 个顶点染色，其中至少有一种颜色恰好染 4 个顶点则任一棱的两个端点都不同色的概率是 ；二二. .解答题解答题 ( (本题满分本题满分 6464 分分, , 第第 9 9、1010 题每题题每题 1414 分，第分，第 1111、1212 题每题题每题 1818 分分) )9 9. 已知，求1sinsin51coscos3 1cos2sin2 1cos2sin2 声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。 更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦） - 3 - 的值. 10.10. 设是的一个排列（） ，求证：
5、12,na aaL1 2, ,nL3n . 2222222222222 12323434521221111 121nnnn aaaaaaaaaaaan nnL1111.对任意的正整数,证明恒等式n.42 11nkk kk2 11 1nkknn1212.设是一些互不相同的 4 元数组的集合，其中或 , S1234(,)a a a a0ia 1已知的元素个数不超过且满足：1,2,3,4i S15若，则12341234(,),( ,)a a a ab b b bS11223344(max , ,max,max,max,)a ba ba ba bS且11223344(min , ,min,min,mi
6、n,)a ba ba ba bS求的元素个数的最大值S解解 答答1.1. 1919 提示： ,01567227123264 12822222 故，120 1 56719nkkk L于是应填.192.2. 2 提示：由和的图像知三角形是底为的等腰直角三角形,故( )f x( )g xABCa- 4 -其面积，于是. 应填.2 14a2a 23 3. 提示：设，则，于是10,141(1)naanq1(1) 2nn nSnaq1210210 22nSqqnann由题设知 ，62105210 7210min,262527qqq由此可得，故的取值范围是572qq10,144 4.3 提示： 由知，于是在
7、的切线方程为3yx23yx 3yxkxa323kkkyaaxa它与轴交于点，故x1(,0)ka，32 13kkkkaaaa由此可得又，故12 3kkaa11a ，21 ( )13limlim3221133nnnnS 所以应填35 5. 0 提示：， (0)(0)23020xyzfffxffxf (2 )(0)(0)3 (2 )(0)(2 )xyzfxfffxffx 由此得 ， 从而（常数） 故应填(0)( )(0)ff xf( )(0)f xfc06 6.提示：由题设及余弦定理，222 22222422abcabababcab于是声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。 更多资料详
8、见华东师大版高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦） - 5 - 11cossinsincos tantansinsinBABA ABABsin()sin sinsinsinABC ABC2sin sinsinsinC ABC222sin2sin 212 2sinsin3cab abCabC ab abCC而上式等号成立当且仅当ABC112 tantan3AB7 7. 提示：设，则有 4,400(,)P xy12,0 ,0FcFc，10000(,0)(,)(,)PFcxyxcy uuu r，20000( ,0)(,)(,)PFcxycxyuuu u r于是 120000(,)(,)PF PFxcy
9、cxyuuu ruuuu r222 00xcy222 00xyc注意到，即有2222 00bxya，2222222 00bcxycac也即2222 12bcPF PFacuuu ruuuu r（其中） ，故有2222212,4,8abcab1244PF PF uuu ruuuu r8 8. 提示：当其中一种颜色染 4 个顶点时，其余两种颜色可任意染色剩余的 41 35个顶点于是满足要求的染色方法共有(种)140123 384444()3 70 15CCCCCC 若要求任一棱的两个端点都不同色，则一种颜色染 4 个顶点的染法只有 2 种，此时- 6 -其余两种颜色仍可任意染色剩余的 4 个顶点于
10、是这样的染法共有(种)10123 344442 ()6 15CCCCC 故所求概率为.6 151 3 70 15359.9. 由1sinsin2sincos225及1coscos2coscos223可得，于是3tan25. 23622tan15552tan91681tan122525 注意到 1 cos2 sin2sin2 1 cos21 cos2sin2 1 cos2sin2 t an从而=. 1cos2sin2 1cos2sin2 15 810.10.由柯西不等式容易得到： 222222222 12323421nnna a aa a aaaaL21112222222222 12323421
11、n aaaaaaaaannn L声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。 更多资料详见华东师大版高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦） - 7 - 从而有222222222 12323421111nnnaaaaaaaaaL22222222 121212222 122(2) 3()2()()(2) 3()(2) 1(1)(21)2nnnnn aaaaaaan aaann nn LL22(2) (1)(21)n n nn1111.证明：42422222 111121(1)nnnkkkkkk kkkkkkk 2222 11111()(1)(1)211nnkkk kk kkkkkk 2222
12、21111(1)212112nnnn nnnnnn gg.2 11 1nkknn1212. 显然所有可能的 4 元数组有 16 种因为至少有一个那样的 4 元数组不在中，S所以，和中至少有一个不在中，若不然由题(1,0,0,0)(0,1,0,0)(0,0,1,0)(0,0,0,1)S中条件可推出所有那样的 4 元数组都在中，不妨设 S(1,0,0,0)S此时由题中条件又知，和中至少有 2 个不能在中，不(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)S妨设和不在中此时又可知和不能同时在(1,1,0,0)(1,0,1,0)S(1,1,1,0)(1,0,0,1)- 8 -中，不妨设不在中于是
13、的元素个数不超过个S(1,1,1,0)SS16412现在设是所有可能的 16 个 4 元数组中去掉，和S(1,0,0,0)(1,1,0,0)(1,0,1,0)后所成的集合，我们要证满足题中条件，从而的元素个数最大值(1,1,1,0)SS为12任取. 12341234(,),( ,)a a a ab b b bS（1）若或或，则显然110ab41a 41b 11223344(max , ,max,max,max,)a ba ba ba b不等于上述去掉的 4 个 4 元数组中任何一个，从而属于又S11223344(min , ,min,min,min,)a ba ba ba b（2）若或且，则11a 11b 440ab112233442233(max , ,max,max,max,)(1,max,max,0)a ba ba ba ba ba b，由此推出或不属于，这种情况不会出现类似地有：1234(,)a a a a1234( ,)b b b bS（3）若或或，则显然10a 10b 441ab11223344(min , ,min,min,min,)a ba ba ba b不等于上述去掉的 4 个 4 元数组中任何一个，从而属于 S（4）若且或，则111ab40a 40b ，112233442233(min , ,min,min,min,)(1,min,min,0
