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1、1航空公司预订票数的最优化探究摘要摘要 通过查询大量统计资料，由概率统计知识，对题中飞机容量、飞行费用、 机票价格、每位被挤者的赔偿金、乘客迟到概率等变量进行合理赋值并由计量 经济学知识进行理论分析，以确定最优的预订票数及机票价格为研究对象，建 立定量评价模型，达到航空公司综合利益最大化。因此，所要讨论的问题可以 归结为一个曲线拟合和基于二项分布求最优决策的问题，建立曲线拟合和周期 波动两个模型：分别用来预测机票的未来价格和求机票的预定限额。 根据所给的 2005 年 10 月2010 年 3 月期间，每月经济舱机票平均价格 (单位:元)数据，通过 Matlab 软件用函数去拟合，所得函数即为
2、机票预订价格 的数学模型。 但在预测中发现，由模型所得参考价格不合实际。单方面拟合出 的模型并不具有实际价值。之后我们采用趋势外推法中最小二乘法的周期波动 模型来解题。通过与实际价格的比较，发现其误差较小且置信度较高。所以我 们得到的机票预定价格的数学模型。 根据实际情况，制定合理的预定策略需从经济利益最大化和社会声誉最好 两方面来考虑。社会声誉可以用定了票来登机因飞机满员而不能起飞的乘客不 超过某一给定值来衡量。则这个问题可化为经济利益最大化为单目标来求解。 我们假设每位乘客不按时前来登机的概率为 p，是否前来登机是相互独立的， 则不按时前来登机的乘客数服从二项分布。又因为订票需付一定量的定
3、金，且 在飞机起飞前 48 小时内取消预订会没收全部订金。对此，我们分情况讨论。由 概率分布知识可得利润 S 关于预定量限额 M 的函数。 由利润最大化，利用 Matlab 软件求出 M 的最优解，通过检验和灵敏度分析， 由模型得出的机票预订限额置信度较高。查阅资料得，此限额较符合实际情况。 最后，根据建立的模型对其进行优化。由实际可能出现的情况如增设某类旅客 （学生、旅游者）的减价票，规定迟到则机票作废。在此基础上再建立一个模 型。分别求此时飞机的参考价格和最优预订票数。关键字：关键字：曲线拟合 趋势外推 二项概率分布 周期波动模型 21 1、问题重述、问题重述航空公司对机票一般采取预定策略
4、。客户可以通过电话或互联网预定，这 种预定具有很大的不确定性，客户很可能由于各种原因取消预定。航空公司为 了争取最大利润，一方面要争取客户，另一方面要降低因客户取消预定遭受的 损失。为此，航空公司采用一些措施。首先，要求客户提供信用卡号，预付一 定数量的定金。如果客户在飞机起飞前 48 小时内取消预定，定金将如数退还， 否则定金将被没收。其次，航空公司采用变动价格，根据市场需求情况调整机 票价格，一般来说旺季机票价格比较高，淡季价格略低。 （1）建立机票预定价格的数学模型，并对以下实例作分析。表 1 给出了某 某航空公司某条航线 2005 年 10 月2010 年 3 月期间，每月经济舱机票平
5、均价 格(单位:元)，用模型说明价格变动的规律，并据此估计未来一年内的经济舱机 票的参考价格。收集更多的数据来佐证模型的价值（要求注明出处） 。 （2）在旺季，航空公司往往可以预定出超过实际座位数的机票数, 以减低 客户取消预定时航空公司的损失。但这样做可能会带来新的风险, 万一届时有 超出座位数的客户出现, 航空公司要通过升级机票档次或赔款来解决纠纷, 为 此航空公司还会承担信誉风险. 某条航线就一中机型，有头等舱 20 座，经济舱 300 座，每天一班航班。为该航线制定合理的预定策略, 并论证理由。 航空公司订座的特点是：旅客可以在飞机起飞前一百多天里向购票处或航 空公司订票，由于离飞机起
6、飞时间较长，以及旅客行为的不确定性，往往航空 公司会售出超过实际座位数的票数，即超售。在订座决策中，航空公司面临 2 种风险：空座风险和超售风险，以航班客座容量为临界点，如果超售的结果 （即实际到达机场的已预定座位的旅客人数）少于航班容量，会造成座位剩余， 这就是空座风险；如果决策结果多于航班容量，造成有些旅客被拒绝登机，从 而带来超售风险，合理的超售可以减少空位损失，但要确定合理的超售数额， 却是十分困难的。 超售是航空公司收益管理的一项重要内容，这是解决所谓的 No Show 问题， 提高航空公司效益的重要技术手段，同时也有许多理论问题甚至法律问题需要 研究。在实际航运中，航空公司发现经常
7、发生已购票的乘客没有乘机（叫做 No Show） ，使得一些座位空着虚飞，而一些想旅行的和一些有急事临时到达机场（ 叫做 Co Show）的旅客却因购不到票而不能成行，这不仅浪费了航空公司的生 产资源，同时也浪费了社会资源。根据对历史销售和离港数据进行分析，可以 预测旅客的 No Show 率和 Co Show 率，然后确定超售率进行机票销售。这样做 不但可以充分利用热线航班的座位，提高航空公司的收益，同时也使得其他想 乘机旅行人员能够成行，可以说是各方都受益的好事。德国汉莎航空公司在超 售方面所做的工作非常出色，每年能为公司多创造 5%的收益。因此对超售的研 究一直为航空公司所重视。但超售预
8、测不可能十分准确，因此可能发生所谓的 DB（Denied Boarding）问题，即实 No Show 率低于 Co Show 率时，便发生了已 购票并来乘机的旅客上不了飞机的问题。这常常引起旅客的不满甚至航空公司 与旅客的冲突，航空公司采取补偿 DB 旅客以化解矛盾的做法，但这样的补偿常 常是机票价格的两倍以上。发生 DB，航空公司的成本迅速上升，这也是航空公 司不愿意看到的。因此超售是一把双刃剑，如何解决好 No Show 率和 DB 这一对 矛盾，一直是航空公司和学术界都十分关心的问题。 目前研究的较多的是机票超售模型是静态的。对于一个航班从开始销售之3日到飞机起飞时，超售的数量保持不变
9、。这样将完全忽略机票实际销售情况。 超售实际上完全溶于机票销售过程中。在机票销售过程中，航空公司的订座系 统一面接受旅客的订票，一面接受旅客的取消订票或是改签其他航班。显然机 票的预定速度应大大超过取消速率，在飞机起飞前某时刻将达到或接近飞机的 容量，此时航空公司就将面临超售问题。一般来说，航空公司可以控制订票的 流量，当已定机票超过理想的数量时，就不再接受订票的请求。但是由于订票 需求的不确定性，目前被拒绝的需求未来不再出现，而未来的取消还继续发生， 则到飞机起飞时将产生空座，造成航班收益下降。因此机票的超售是一个动态 的决策过程。这一过程依赖于当前的销售状态，未来的需求分布，机票取消分 布
10、和起飞时的 NO-SHOW 率2 2、符号说明与模型假设、符号说明与模型假设2.12.1 符号说明符号说明r飞行费用（为常数）n1飞机头等舱容量（为常数）n2飞机经济舱容量（为常数）g1头等舱机票价格（为常数）g2经济舱机票价格（为常数）)(111nmm头等舱预定票数量的限额（为常数）)(222nmm经济舱预定票数量的限额（为常数）p每位乘客没来登机且未在 48 小时之前取消订票的概率k1头等舱中定了票没有登机的乘客k2经济舱中定了票没有登机的乘客b1每位头等舱被挤掉者获得的赔偿金（为常数）b2每位经济舱被挤掉者获得的赔偿金（为常数）S平均利润l机票订金占机票价格的比重4X月份，初始值为 x=
11、1，2.22.2 模型假设模型假设 1、各位乘客是否按时前来登机是相互独立的（这适用于单独行动的商人、游客） 。 2、每趟飞机预定票数量都大于飞机的实际座位数。 3、飞行费用与乘客人数无关，为一个固定的常数。 4、头等舱与经济舱顾客未按时取消订票的概率相等 5、文中所设数据均合理； 6、登机乘客中学生、旅游者及普通乘客的比例与预定机票时其相应比例相同。3 3、 模型建立与求解模型建立与求解4.1 模型一：线性回归模型 4.1.1 步骤一：数据处理 某航空公司某条航线 2005 年 10 月2010 年 3 月经济舱月平均价格(单位: 元)如图一。由所给数据，用 Matlab 软件来拟合函数，再
12、根据函数来预测经济 舱机票的参考价格。记 2005 年 10 月份为 x=1，则 05 年 11 月份为 x=2，以此类 推。即：2005 年 10 月为第一个月份，如：x=10，则表示 06 年 7 月。时间价格时间价格时间价格 2005.106562007.048022008.101068 2005.115262007.058782008.11996 2005.125022007.067942008.12804 2006.014822007.079262009.01794 2006.024982007.0810182009.02832 2006.036322007.099482009.03
13、902 2006.046882007.1010162009.04972 2006.057202007.119162009.051014 2006.066402007.128242009.06916 2006.076882008.017382009.07986 2006.087682008.028062009.081124 2006.097362008.038722009.09948 2006.108022008.048942009.101056 2006.117262008.059662009.11872 2006.126722008.068782009.12796 2007.01732200
14、8.0710282010.01884 2007.026622008.0811002010.02808 2007.037802008.099782010.03856表 1 经济舱月平均价格(单位:元)步骤二：对数据进行拟合：5由 MATLAB 软件对上述数据进行曲线拟合，拟合后的数据分布及拟合曲线如 下图 2 所示， 【计算过程及计算结果见附录 1】图 1 经济舱机票价格拟合图 由 MATLAB 软件求解得经济舱月平均价格函数如下： f(x)=a1*exp(-(x-b1)/c1)2)+a2*exp(-(x-b2)/c2)2)+a3*exp(-(x- b3)/c3)2)+a4*exp(-(x-b4
15、)/c4)2)+a5*exp(-(x-b5)/c5)2)+a6*exp(-(x- b6)/c6)2) 该函数置信度为：95%。说明该函数能较好地反应经济舱价格随时间的变化。 步骤三：由函数对未来价格的预测 根据模型,由 Matlab 软件求得未来一年经济舱机票参考价格如下表所示： 时间价格 2010.04716 2010.05614 2010.06480 2010.07307 2010.0885 2010.09-198 2010.10 2010.11 2010.12 2011.01表 2 经济舱机票价格预测图 由上表格可得预测的机票价格从 2010 年 9 月起变成了负数，显然与实际不符6合，
16、所以该模型并不能帮助我们解决实际问题。 4.2 模型二：周期波动模型 4.2.1 周期波动模型理论基础 季节型时间数列以日历时间为波动周期；循环型时间数列波动周期往往大于 一年，且不稳定。尽管两者有所区别，但都呈周期性波动，因此宜以正弦曲线 为基础，经修正波幅与周期拟合波动规律。正弦曲线预测模型的一般形式为：012345cos(2/)sin(2/)cos(2/)sin(2/)xxxtxt Txt Tx tt Tx tt Ty式中，截距，是周期模型对实际数据起始点的调整0x周期性时间数列所包含的线性趋势1xt和波动周期 T 对预测价格的周期性影2cos(2/)xt T3sin(2/)xt T响；和对全期数据波动幅度的调整。4cos(2/)x tt T5sin(2/)x tt T分别设：、为、cos(2/)t Tsin(2/)t Tcos(2/)tt Tsin(2/)tt T2x、，3x4x5x并以 取代 ，原方程模型变为：1t
