二项式定理__习题精选

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1、1二二项项式定理式定理 习题习题精精选选一、与通项有关的一些问题一、与通项有关的一些问题 例例 1在的展开式中，指出：1）第 4 项的二项式系数，2）第 4 项的系数， 3）求常数项 解解:展开式的通项为展开式中的第 r+1 项. 1），二项式系数为； 2）由 1）知项的系数为； 3）令 6-3r=0, r=2, 常数项为. 例例 2若的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项. 分析分析:通项为, 前三项的系数为，且成等差， 即 解得:n=8. 从而，要使 Tr+1为有理项，则 r 能被 4 整除. 2例例 31）求的常数项；2）求(x2+3x+2)5的展开式中 x 的系数. 解

2、解:1） 通项， 令 6-2r=0, r=3, 常数项为. 2）(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5 展开式中含 x 项由(x+1)5中常数项乘(x+2)5的一次项与(x+1)5的一次项乘(x+2)5的常数项相加得到，即为，因而其系数为240. 例例 4(a+b+c)10的展开式中，含 a5b3c2的系数为_. 分析分析:根据多项式相乘的特点，从(a+b+c)10的十个因式中选出 5 个因式中的a，三个因式中的 b，两个因式中的 c 得到，从而 a5b3c2的系数为. 小结小结:三项式的展开，或者转化为二项式展开，或者采用得到二项式定理的方 法去解决. 例例 5(1+x)3+(1+x

3、)4+(1+x)5+(1+x)100的展开式中 x3的系数为_. 分析分析:（法一）展开式中 x3项是由各二项展开式中含 x3项合并而形成.因而系 数为 （法二）不妨先化简多项式，由等比数列求和公式: 原式=, 要求 x3项只要求分子的 x4项，因而它的系数为. 二、有关二项式系数二、有关二项式系数的问题的问题. 例例 6(2x+xlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项为 1120，则 x=_. 分析分析:二项式系数最大的为第 5 项， 解得:x=1 或. 3例例 7的展开式中系数最大的项为第_项. 分析分析:展开式中项的系数不同于二项式系数，只能用数列的分析方法. 设第 r+1 项的系数最

4、大， 则 解得:， r=7，且此时上式两个等号都不能取得， 因而第 8 项系数最大. 三、赋值法三、赋值法: 例例 8已知 1）求 a0, 2）求 a1+a2+a3+a4+a5 3）求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 4）求 a1+a3+a5 5）|a0|+|a1|+|a5| 分析分析:1）可以把(1-2x)5用二项式定理展开求解. 从另一个角度看，a0为 x=0 时右式的结果，因而令 x=0, (1-0)5=a0, a0=1. 2）令 x=1, 则(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5 又 a0=1, a1+a2+a3+a4+a5=-2. 3）令 x=1，得 a0+a

5、1+a2+a5=-1 (*) 令 x=-1, 得 35=a0-a1+a2-a3+a4-a5 (*) 因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 4）联立(*),(*)两方程，解得 a1+a3+a5=-122. 5） 因而 |a0|+|a1|+|a5|即为(1+2x)5的展开式的所有系数和， |a0|+|a1|+|a5|=(1+2)5=35=243. 小结小结:求展开式的系数和只需令 x=1 可解； 赋值法也需合情合理的转化. 例例 9已知, 其中 b0+b1+b2+bn=62, 则 n=_. 分析分析:令 x=1，则, 由已知， 2n+1-2=62, 2n+1=64, n=5. 4例

6、例 10求的展开式中有理项系数的和. 分析分析:研究其通项. 显然当 r=2k(kZ)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)n的奇数项的系 数和. 设 (2+t)n=a0+a1t+a2t2+antn , 令 t=1，即 3n=a0+a1+a2+an 令 t=-1，即 1=a0-a1+a2-+(-1)nan 上两式相加，解得奇数项系数和. 四、逆用公式四、逆用公式 例例 11求值 S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1 解解: 例例 12求值: 分析分析:注意将此式还原成二项展开式的结构 原式= 五、应用问题五、应用问题 例例 13求证:32n+2-8n-9

7、能被 64 整除. 证明证明: 能被 64 整除. 例例 149192除以 100 的余数为_. 分析分析:9192=(90+1)92 被 9192100 除的余数为 81. 小结小结:若将 9192整理成(100-9)92 随之而来又引出一新问题，即 992被 100 除的余数是多少，所以运算量较大. 5例例 15求 0.9983的近似值（精确到 0.001) 解解: 典型例典型例题题例例 1、 已知二项式 展开式中，末三项的系数依次成等差数列，求此展开式中所有的有理项。解：二项展开式的通项公式为 由此得二项展开式中末三项的系数分别为 ， ， 依题意得 注意到这里 ，故得 n=8 设第 r+

8、1 项为有理项，则有 x 的幂指数 为整数， r=0，4，8， 这里 T1，T5，T9为有理项，又由通项公式得：， 所求二项展开式中的有理项分别为 ， ， 点评：点评：二项展开式中关于某些项或某些项的系数问题，一般都要运用通项公式。若（ 为相对常数，x 为变量），则当 g(n,r)为自然数时 为整式项；当 g(n,r)为整数时 为有理项。例例 2、 已知 的展开式中奇数项的二项式系数之和等于 512，试求：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项；6（3）系数最大的项。解：由题意得 n=10二项展开式的通项公式为 （1）n=10，二项展开式共 11 项二项展开式的中间一项即第六项的

9、二项式系数最大又 所求二项式系数最大的项为 （2）设第 r+1 项系数的绝对值 最大，则有 解之得 ，注意到 ，故得 r=3 第 4 项系数的绝对值最大 所求系数绝对值最大的项为 （3）由通项公式的特征可知，系数最大的项应在项数为奇数的项内，即在 r 取偶数的各项内又 r 取偶数 0，2，4，6，8，10 时，相应的各项系数分别为， ， ， ， 7即分别为 1， ， ， ， 由此可知，系数最大的项为第 5 项(r=4)，即 点评：点评：（1）解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式 系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数。二者在 特殊

10、情况下方为同一数值。（2）这里 展开式中系数绝对值最大的项，实际上是 展开式中系数最大的项，必要时可适时转化。（3）本题解法“一题两制”：对于（2），我们运用一般方法进行推导；对于（3）， 我们运用认知、列举、比较的方法导出目标。当指数 n 数值较小时，（3）的解法颇为实 用。例例 3、 已知 a0，b0，2m+n=0， ，且在 的展开式中系数最大的项是常数项，求 的取值范围。解：设二项展开式中 为常数项， 依题意令 则将已知式 代入得 注意到这里 ，由得 r=4 展开式中系数最大的项是 于是有 因此可知，所求 的取值范围为 例例 4、 求证：（1） 能被 整除 ；（2） 证明：8（1）为利用

11、二项式定理，对 中的底数 n 变形为两数之和（或差）。 ，且 ， 于是有 （）注意到 ，且 ，故 ，因此由（）式知 能被 整除；（2）证法一（倒序相加法）：设 注意到二项式系数的性质： 将式右边各项倒序排列： +得 = 即 证法二（分项求和法）：注意到左边各项的相同结构，且各项的通项： 据此变形左边各项得右边 = = = 9= 右边 原等式成立点评：点评：证明组合恒等式，除去利用二项公式这一组合的母函数外，上述两种方法（特 别是证法二）是基本证明方法。例例 5、设、设 ，求，求展开式中各二项式系数的和；展开式中各二项式系数的和；展开式中各项系数的和；展开式中各项系数的和； 的值的值 的值的值

12、的值的值解：令 注意到这里n=200，故展开式中各二项式系数的和展开式中各项系数的和 注意到 仿得 又 解法一（直面原式）： 又 再由二项式的展开式知， 10 点评：对对于二于二项项展开式中各奇数展开式中各奇数项项系数的和或各偶数系数的和或各偶数项项系数的和或其它有关多系数的和或其它有关多项项式中式中 系数的和，一般可根据系数的和，一般可根据问题问题的具体情况，的具体情况，对对未知数未知数 x 赋赋予适当的数予适当的数值值，运用特取法求出和式，运用特取法求出和式 的的值值。 。例例 6、 化简下列各式（1） ；（2） 分析：注意到二项展开式中各项的特征： ，其中 b 的方幂与组合数上标相同。为

13、利用二项式公式求解，依次对原式实施凑因子和凑项，即使各项中有关因子的方幂 等于组合数上标，又使以原式为基础凑出的式子符合二项展开式的特征。解：（1）令 x= ，则 ，即 故得 （2）令 x= ，则 由 得 故得 11即 点评：点评：对于组合数系数成等比数列的组合式求和，一般是在适当作以凑因子或凑项的 构造之后，运用二项式公式本身化简或求值。例例 7、 试求下列二项展开式中指定项的系数：（1） 的展开式中 项的系数；（2） 的展开式中 项的系数；（3） 的展开式中 项的系数；（4） 的展开式中 x 项的系数；（5） 的展开式中 项的系数；解：（1）借助“配方转化”：原式 原展开式中 项的系数，即

14、 展开式中 项的系数又 展开式的通项公式为 令 得 r=3 展开式中 所求原展开式中 项的系数为-960；（2）注意到 的幂指数 3 较小，借助“局部展开”：原式 展开式中 的系数为 =-590（3）解法一（求和转化）：原式 12 所求原展开式中 项的系数即为 展开式中 项的系数， 所求展开式中 项的系数为 解法二（集零为整）：考察左式各部，展开式中 项的系数为（4）解法一（两次利用二项式定理）：设展开式中第 r+1 项为含有 x 的项，又 要使 x 的幂指数为 1，必须且只需 r=1即 而 展开式中的常数项为 ，故得原展开式中 x 的系数为 解法二（利用求解组合应用题的思路）：注意到 欲求

15、展开式中 x 的一次项，只要从上式右边 5 个因式中有 1 个因式取 3x，其余四个因式都取常数 2 即可。 原展开式中 x 的一次项为 所求原展开式中 x 的系数为 240；（5）解法一（两次利用二项展开式的通项公式）：注意到 其展开式的通项 13又 的展开式的通项 依题意 ， 由此解得 ， ， 由、得所求展开式中 项的系数为解法二（利用因式分解转化）： 所求即为 展开式中 的系数，于是利用“局部展开”可得其展开式中 的系数为=-168小结：小结：多项展开式中某一项系数的主要求法（1）等价转化：配方转化；求和转化；分解转化；化整为零。（2）局部展开；（3）两次利用二项式定理或两次利用二项展开式的通项公式；（4）借助求解组合应用题的思想例例 8、 已知数列 的通项 是二项式 与 的展开式中所有 x 的次数相同的各项的系数之和，求数列 的通项公式及前 n 项和公式。解：将 与 的展开式按升幂形式写出由可知，只有 的展开式中出现 的偶数次幂时，才能与 的展14开式中 x 的次数相同。 由、得 所求数列 的通项公式为 ；其前 n 项和公式为 五、高考真题五、高考真题（一）选择题（一）选择题1.