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1、数学文化/第4卷第3期70数 学 教 育 athematics Educationx2 a2+y2 b2=1x2 a2y2 b2=1y2= ax 如果你是费马， 有了这些发现之后， 很自然会去思考三次方程定义的曲线，对不对？费马当然也会这么想。首先， 在一个合适的坐标变换后， 大多数三次方程可以写成标准形式y2 x3+ax+b,其中系数 a, b 满足 4a3+27b2 0, 这个方程描绘出来的曲线就叫做椭圆曲线。后面我们再介绍不满足这个条件的曲线。下面的两张图都是椭圆曲线一、费马先生的金蛋 ： 椭圆曲线在所有律师里面数学最好的是谁？毫无疑问是法国的费马（Pierre de Fermat） 一
2、位充满传奇色彩的业余数学家。 他在数学领域做了许多重要的开创性工作，足以媲美任何同时代的数学家。至今，我们还常常能在数学课本中见到他的名字。比如说到解析几何，很多人只知道笛卡尔的大名， 殊不知费马也是解析几何的创始人。他早就用坐标方法（即方程）去研究几何图形的性质。费马首先指出一次方程。ax+by+c 0.可以表示直线。接着，他注意到二次方程可以表示圆锥曲线（即椭圆、双曲线和抛物线） ，并且知道如何用坐标变换研究它们的一般形式，这正是中学时代经常折磨我们的玩意儿。浅说椭圆曲线陆 俊费马（1601-1665）（椭圆）（双曲线）（抛物线）12y2x3xy2x3x+1数学文化/第4卷第3期71数 学
3、 教 育 athematics Education费马的许多研究都围绕着椭圆曲线。让我们循着费马的轨迹，一起来欣赏一下这些有趣的工作（有兴趣的读者可以参看加藤和也等人写的 数论I: Fermat的梦想和类域论 ） 。(A) 立方数与三角数所谓三角数，就是下面这类等边三角形上的格点个数 ：1，3，6，10，15，。你很容易猜出三角数的一般公式是 n(n+1)/2.费马叙述了以下几个有趣的结果 ：(1) 除了 1 之外，任何三角数都不可能是立方数。用方程的语言， 就是说 y(y+1) 2= x3除了 (x, y) (1,1) 之外没有其他正整数解。上面这个方程描绘的曲线是椭圆曲线当然你需要做一些坐
4、标变换才能变成标准型。(2) 一个立方数减去 2 不可能是平方数 , 除非是以下特例 ： 52 332. 写成方程的话，就是y2 x32仅有一组正整数解 (x, y) (3, 5)。这方程描绘的曲线当然还是椭圆曲线。(3) 一个立方数减去 4 不可能是平方数 , 除非是以下特例 ： 22 234, 112 534。也就是说方程y2 x34仅有两个整数解 (x, y) (2, 2) 和 (5, 11)。上面的方程仍然描绘了椭圆曲线。(B) 直角三角形与同余数所谓的同余数， 来自于以下经典的数学问题。（同余数问题）给定正整数 n, 是否存在直角三角形， 使 得三条边都是有理数，并且面积恰好是 n?
5、 如果存在这 样的三角形， 就称 n 是同余数。费马在丢番图数论的空白处做的批注中叙述了这样的结果 ：n 1, 2 不可能是同余数。同余数问题由来已久， 至今仍未彻底解决。 目前我们已知的最前面的同余数是5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39,41, 45, 46,47同余数问题等价于求解正有理数 (a, b, c) 满足 ：a2+b2= c2,n =ab 2.如果我们令x =n(a+c) b,y =2n2(a+b) b2,则得y2 x3n2 x.这个方程再一次向我们呈现了椭圆曲线！显然(x
6、, y)(0, 0), (n, 0)，(-n, 0) 是它的有理数解。正整数 n 是否是同余数 , 取决于上面的方程还有没有其他有理数解。费马的另一个结论说 ： 假如 n 是同余数 , 那么上面的椭圆曲线方程应该还有无限多个有理数解。例如， 因为 5 是同余数，所以椭圆曲线方程 y2 = x325x 就有无限多个有理数解。一般说来，判断一条椭圆曲线的方程是否有无限多个有理数解， 是一个困难的问题。这个问题涉及到数学上最著名的猜想之一 BSD 猜想。这个重要的猜想曾作为千禧年七大数学猜想为世人所知，吸引了许多数学家为之奋斗。 它将数学中很多深刻的理论分支都联系在一起。如果能解决它， 那么数学的发
7、展必将会飞跃一大步。(C) 费马大定理费马曾经在丢番图的书的批注中提出如下的 “结论”（称为费马猜想、费马的最后定理、费马大定理） ：以下方程X n + Y n Z n (n 2), XYZ 0没有整数解 (X, Y, Z). 费马自己证明了 n 4 的情形 , 并声称找到了一种巧妙的方法能够解决一般情形。但是他并没有告诉人们一般情形数学文化/第4卷第3期72数 学 教 育 athematics Education证明是怎样的。此后的几百年，有许许多多优秀的数学家致力于证明这个结论， 但他们的努力都失败了。直到 1995 年前后，才由数学家怀尔斯（Andrew Wiles）彻底解决。虽然许多人
8、证明费马猜想的努力都未获成功， 但是他们的工作却在很大程度上促进了各个数学分支的发展， 极大地丰富了数学世界的内容。因此有人把费马猜想比喻作“一只会生金蛋的鸡” ，实在是非常地准确。 如今回过头来看， 我们不得不问 ： 对于如此之难的数学问题，为何费马会声称自己找到了证明 ? 到底是费马跟我们开了玩笑，还是上帝跟费马开了玩笑？这里不做探讨了。我们想要告诉大家的是， 费马猜想和椭圆曲线的关系是极为密切的。从某个方面说， 椭圆曲线是不折不扣的“金蛋” ！让我们来看几个具体的例子。例 1 ： X 3 + Y 3 Z 3.这个特殊情形由高斯和欧拉分别解决。欧拉的证明极为繁琐，相比之下高斯的方法不但简洁
9、，而且极富启发性。我们这里不打算介绍证明，有兴趣的读者可以参看 H. 德里100个著名初等数学问题一书。让我们做这样的初等变换 ：x =12Z X +Y,y =36(X Y) X +Y.将上式代入费马方程即得y3 x3432.瞧， 这又是椭圆曲线！因为我们现在已经知道原来的方程没有非平凡解 （所谓平凡解， 就是允许X, Y, Z其中一个数是零） ， 所以这相当于说上面的椭圆曲线方程只有显然的有理数解(12,36) 和 (12,-36).例 2 ： X 4 + Y 4 Z 4.费马利用无穷递降法证明其无平凡解。它也可以通过以下初等变换变成椭圆曲线 ：x =2(Y2+ Z2) X2,y =4Y(Y
10、2+ Z2) X3.代入原方程即得一条椭圆曲线y2 x34x.它仅有 (0,0), (2,0) 和 (-2,0) 三个有理数解。我们也可以用另一种方法得到椭圆曲线。令 x Z2 / Y 2, y X 2Z / Y 3, 这就得到新的椭圆曲线y2 x3x.例 3 ： X n + Y n Z n, n 是素数（所谓素数，就是指不能分解成两个更小的正整数的乘积的正整数） 。假设 (X, Y, Z) (a, b, c) 是一组非平凡解。此时人们构造了椭圆曲线 ( 它不是标准方程 )y2 x(x+an)(xbn). 这条椭圆曲线称作弗雷曲线 （Frey Curve） 。里贝特 （Kenneth Alan
11、 Ribet）于 1986 年证明该曲线不能是模曲线（这里我们不解释此概念） 。而另一方面怀尔斯于 1995 年证明谷山 - 志村猜想（TaniyamaShimura conjecture） ，即任何椭圆曲线都是模曲线，这就等于证明费马方程无非平凡解。如果 n 是大于 4 的合数，上面的几类例子可以很容易地推出 ： 此时的费马方程也无非平凡解。限于篇幅，我们不再详细介绍。有兴趣的读者可以参看辛格所著的费马大定理 或其他相关的科普书籍。二、退化的椭圆曲线上面我们定义的椭圆曲线方程 y2 x3+ax+b 要求系数满足 4a3+27b2 0.那么假如 4a3+27b2 0, 我们会得到什么样的三次方
12、程的曲线呢？怀尔斯（1953-）y2 x3y2 x3 3x 2cuspnode数学文化/第4卷第3期73数 学 教 育 athematics Education(1) 带结点的有理曲线（a, b 不全为零）此时图形如上图图右。大家可以看到，曲线上有一个自交点。 在这个交点附近看曲线类似于一个十字架，因此我们称之为结点 (node)。这里“有理曲线”一词可以粗略理解为指直线或圆锥曲线的意思。上述曲线图形可以差不多看成是这条有理曲线打了一个结后面我们会解释这一点。(2)带尖点的有理曲线(ab0)此时图形示意图如上图左。这条曲线有一个尖锐的点， 称作尖点 (cusp)。顾名思义， 这条曲线就好比是有
13、理曲线上捏出一个尖点。除了以上两种曲线， 我们还把以下几类曲线都统称为退化的椭圆曲线 ：(3) 三条直线的并集（即三条一次曲线的并集） ，(4) 一条圆锥曲线和一条直线的并集（即一条二次曲线和一条一次曲线的并集） 。从这个泛化概念上看， 我们可以把直线和圆锥曲线也看作是椭圆曲线的一个部分。因此，可以预见， 圆锥曲线的很多美妙性质应该都来自于椭圆曲线。事实正是如此。三、名不副实 ： 为什么叫“椭圆曲线” ？椭圆曲线的图形和椭圆显然没什么关系（见前面的图）那为什么我们要称之为“椭圆曲线”呢？原来，当初人们想用微积分计算椭圆的周长（圆的周长大家都会求） 。通过一定的积分技巧， 最终要求出以下类型的积
14、分 ：dxx3+ax+ba 其中分母的函数项 y x3+ax+b 两边平方一下恰好就是椭圆曲线的方程。 这就是为什么椭圆曲线的名字里包含 “椭圆”二字。顺便说一下，上述积分是无法用初等函数的表达式计算出来的 ； 而其本质原因和椭圆曲线的几何性质密切相关。四、海底冰山 ： 椭圆曲线隐藏的部分回顾一下，椭圆曲线的两个例子从第一张图，我们可以看到椭圆曲线的图形似乎可以分离成两个不相交的分支， 第二张图则只有一个分支。是否还有许多其他的类型呢？确实如此。牛顿曾经对椭圆曲线做了很细致的分类，将它们分成了数十种类型。为什么直线和圆锥曲线只有区区几种类型， 而椭圆曲线种类一下子增加很多呢？让我们先想象一个情
15、景 ： 在宽阔的海平面上露出一处礁石。如果海平面降低的话，礁石就会变大，可能会形成一座小山 ； 如果海平面继续下降， 本来的一座小山可能会变成许多座互不相连的小山 ； 随着海平面下降，小山们变成了一座座小岛， 有些本来不相连的岛甚至可能会连接起来。假如我们抽干所有的水，那么你会发现所有的岛其实只不过是同一块陆地的不同部分。其实我们要解释的问题和上述比喻完全一样。 因为通常考虑的曲线上的点 (x, y) 都是实数点，即 x, y 是实数。假如我们允许 x, y 取复数，那么椭圆曲线上就多出了许许多多复数点。想象一下，实数坐标平面好比我们的海平面， 包括全部复数点和实数点的椭圆曲线好比是陆地， 其
16、中露在海平面上的部分只是实数点（见以下示意图） 。 这样一来， 你看到的椭圆曲线实图形其实只是整个椭圆曲线中的很少一部分， 大部分都隐藏在实坐标平面背后。海面上的岛屿千差万别，但实际上无非是同一块陆地的不同部分。这就是我们所要的答案有点类似于“盲人摸象”的典故。上面的讨论告诉我们， 如果仅考虑实数情形的话，我们其实损失掉了很多有用的几何信息。仅考虑实数平面图形显然是一个不必要的思维枷锁。因此我们完全可以放弃掉这一假设， 即允许 x, y 取复数。这样一来我们得到的椭圆曲线要比原来的丰富了许多！当然，为了以后画图方便，人们仍然习惯于用实数平面的图形作为椭圆曲线的示意图上一节的几张图都是这样。以后我们谈到椭圆曲线就默认它是在复数坐标上的。实平面上看到的曲线图形隐藏在实平面外的部分yxyx
