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1、概率论和数理统计公式集锦概率论和数理统计公式集锦 一、随机事件与概率一、随机事件与概率 公式名称公式表达式德摩根公式，BABAIUBABAUI古典概型( )mAP An包含的基本事件数 基本事件总数几何概型，其中 为几何度量（长度、面积、体积）( )( )()AP A 求逆公式)(1)(APAP加法公式P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)0 时，P(AB)=P(A)+P(B) 减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)，时 P(A-B)=P(A)-P(B)BA条件概率公式 与乘法公式)()()(APABPABP()( ) () ()P ABCP A P B A P C A
2、B全概率公式 1( )() ()nii iP AP B P A B贝叶斯公式 （逆概率公式）1() ()() () ()ii inii iP B P A BP B A P B P A B 两个事件 相互独立；()( ) ( )P ABP A P B()( )P B AP B)()(ABPABP二、随机变量及其分布二、随机变量及其分布 1、分布函数() ( )(),()( )( ) ( )kk xxxP Xx F xP XxP aXbF bF a f t dt 2、离散型随机变量及其分布 分布名称分布律0-1 分布 Xb(1,p)1 , 0,)1 ()(1kppkXPkk二项分布(贝努利分布)X
3、B(n,p)nkppCkXPknkk n, 1 , 0,)1 ()(L泊松分布 Xp()(),0,1,2,!k P XkekkL3、续型随机变量及其分布 分布名称密度函数分布函数均匀分布 xU(a,b)他 他他 他, 0,1 )(bxaabxf0,( ),1, xa xaF xaxbba xb分布名称密度函数分布函数指数分布 XE()0, 00,)( xxexfx0, 00,1)(xxexFx正态分布xN()2,22() 21( )2 x f xex22() 21( )d2 txF xet标准正态分布 xN(0,1)221( )2 x xex21 21( )2txxedt分布函数分布函数对连续
4、型随机变量对连续型随机变量对离散型随机变量对离散型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：分布函数与密度函数的重要关系：4、随机变量函数 Y=g(X)的分布 离散型：，()(),1,2,jiij g xyP Yyp iL连续型： 分布函数法， 公式法( )( ( )( ) ( )YXfyfh yh yxh y单调h(y)是 g(x)的反函数三、多维随机变量及其分布三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量及其分布 分布律：分布函数(,), ,1,2,ijijP Xx Yypi jL(,)iiij xx yyF X Yp 边缘分布律： ()iiij jpP Xxp()jjij ipP Yyp
5、条件分布律：，(),1,2,ij ij jpP Xx YyipL(),1,2,ij ji ipP YyXL2、连续型二维随机变量及其分布 分布函数及性质分布函数： xydudvvufyxF),(),(性质：2( , )(,)1,( , ),F x yFf x yx y ( , )( , )GPx yGf x y dxdy边缘分布函数与边缘密度函数分布函数： 密度函数： x XdvduvufxF),()(dvvxfxfX),()( yYdudvvufyF),()(duyufyfY),()(条件概率密度，yxfyxfxyfXXY,)(),()(xyfyxfyxf YYX,)(),()(3、随机变量
6、的独立性 随机变量 X、Y 相互独立，( , )( )( )XYF x yFx Fy离散型： ，连续型：.ijijpp p( , )( )( )XYf x yfx fy4、二维随机变量和函数的分布(卷积公式) 离散型：注意部分可加性()(,)ijkkij xyzP ZzP Xx Yy连续型：( )( ,)(, )Zfzf x zx dxf zy y dy四、随机变量的数字特征四、随机变量的数字特征 1、数学期望定义：离散型，连续型1)(kkkpxXEdxxxfXE)()(性质：，( ),E CC)()(XEXEE)()(XCECXE )()()(YEXEYXE，当 X、Y 相互独立时：(正对逆
7、错)bXaEbaXE)()()()()(YEXEXYE2、方差 定义：222()() ()()D XE XE XE XEX性质：， 0)(CD)()(2XDabaXD),(2)()()(YXCovYDXDYXD当 X、Y 相互独立时：)()()(YDXDYXD3、协方差与相关系数 协方差：，当 X、Y 相互独立时：(, )()() ( )Cov X YE XYE X E Y 0),(YXCov相关系数： ，当 X、Y 相互独立时：(X,Y 不相(, ) ()( )XYCov X Y D XD Y0XY关) 协方差和相关系数的性质：，)(),(XDXXCov),(),(XYCovYXCov ，)
8、,(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov),(),(YXabCovdbYcaXCovCov(x,a)=0(a 为常数)，),(2)()()(22YXabCovYDbXDabYaXD4、常见随机变量分布的数学期望和方差分布数学期望 EX方差 DX0-1 分布 ), 1 (pbpp(1-p)二项分布 ),(pnbnpnp(1-p)泊松分布 )(P均匀分布 ),(baU2ba12)(2ab正态分布 ),(2N2xdttfxXPxF)()()( xkkXPxXPxF)()()()()(xfxF指数分布 )(e121五、大数定律与中心极限定理五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若
9、对于任意有,)(,)(2XDXE02)()(XDXEXP2、大数定律(普通班不重要)： 切比雪夫大数定律：若相互独立，nXX L1且，则：2)(,)(iiiiXDXECi2 niiPniinXEnXn11)(),(11伯努利大数定律：设 nA是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A在每次试验中发生的概率，则，有：0 lim1AnnPpn 辛钦大数定律：若独立同分布，且，则1,nXXL)(iXE nPniiXn113、中心极限定理列维林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量，均(1,2,)iX i L值为，方差为，当 n 充分大时有：021()(0,1)nnk kYXnnN棣莫
10、弗拉普拉斯中心极限定理：随机变量，则对任意 x 有：),(pnBX221lim ( )(1)2txnXnpPxedtxnpp 近似计算：1()()()nk kbnanP aXbnn 六、数理统计的基本概念六、数理统计的基本概念1、总体和样本的分布函数设总体 XF(x)，则样本的联合分布函数)(),( 121knknxFxxxF L2、统计量样本均值：，样本方差： niiXnX11 niiniiXnXnXXnS122122)(11)(11样本标准差： ，样本阶原点距： niiXXnS12)(11kL2 , 1,11 kXnAnik ik样本阶中心距：k11() ,1,2,3n k ki iBXX
11、knL3、三大抽样分布(1)分布：设随机变量 XB(0,1)且相互独立，则称统计量2(1,2, )inL服从自由度为的分布，记为22 22 12 nXXXLn2)(22n性质：设且相互独立，则nnDnnE2)(,)(22)(),(22nYmX)(2nmYX(2) 分布：设随机变量，且 X 与 Y 独立，则称统计量：t)(),1 , 0(2nYNX服从自由度为的 分布，记为 nYXT nt)(ntT性质：( )0 (1),( )(2)2nE TnD Tnn221lim( )( )2xnnfxxe(3)分布：设随机变量，且与独立，则称统计量F22( ),( )Xm YnXY服从第一自由度为 m，第
12、二自由度为 n 的分布，记为( , )X mF m nY nF，性质：设，则( , )FF m n( , )FF m n1( ,)F n mF 七、参数估计七、参数估计1.参数估计定义：用估计总体参数，称为的12(,)nXXX L12(,)nXXX L估计量，相应的为总体的估计值。12( ,)nx xx L2.点估计中的极大似然估计设取自的样本，设或， 求法步骤：12,nXXXLX( , )Xf x( , )XP x似然函数： 11( )( , )()( )( , )()nniii iiLf xLP x连续型或离散型取对数： 或1ln ( )ln( , )ni iLf x1ln ( )ln(
13、, )nii iLp x解方程：，解得：1lnln0,0kLL L111212( ,)( ,)nkknx xxx xx LL LL3.估计量的评价标准无偏性设为未知参数的估计量。若 E(）12( ,)nx xx L=，则称 为的无偏估计量。 估 计 量 的 评 价 标 准有效性设和是未知参数1112( ,)nx xx L2212( ,)nx xx L的两个无偏估计量。若，则称有效。12()()DD 12 比一致性设是的一串估计量，如，有n 0 则称为的一致估计量（或相合估计lim (|)0n nPn 量） 。正态总体中，样本均值是的无偏估计量X修正样本方差是的无偏估计量2S25. 区间估计区间
14、估计 单正态总体参数的置信区间八、假设检验八、假设检验 1.假设检验的基本概念基本 思想假设检验的统计思想是小概率原理。 小概率事件的概率就是显著性水平 ，常取 =0.05，0.01 或 0.10。基本 步骤提出原假设H0；选择检验统计量；对于 查表1(,)ng XXL找分位数 ，使，从而定出拒绝域 W；1( (,)nP g XXWL由样本观测值计算统计量实测值；并作出判断：当实1( ,)ng xxL测值落入 W 时拒绝H0，否则认为接受H0。第一类错误：当H0为真时，而样本值却落入了拒绝域，应当否定H0。 “弃真错 误” P拒绝H0|H0为真=第二类错误：当H1为真时，而样本值却落入了接受域，应接受H0。 “取伪错误”P接受H0|H1为真
