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1、1线性代数（经管类）考试笔记，重点解析武汉大学出版社 2006 年版 第一章 行列式 1.1 行列式的定义 1.2 行列式行(列)展开 1.3 行列式的性质与计算 1.3 克拉默法则 第二章 矩阵 2.1 线性方程组与矩阵的定义 2.2 矩阵运算 2.3 分阵的逆矩阵 2.4 分块矩阵 2.5 矩阵的初等变换与初等方阵 2.6 矩阵的秩 2.7 矩阵与线性方程组 第三章 向量空间 3.1 n 维向量概念及其线性运算 3.2 线性相关与线性无关 3.3 向量组的秩 3.4 向量空间 第四章 线性方程组 4.1 齐次线性方程组 4.2 非齐次线性方程组 第五章 特征值与特征向量 5.1 特征值与特
2、征向量 5.2 方阵的相似变换 5.3 向量内积和正交矩阵 5.4 实对称矩阵的相似标准形 第六章 实二次型 6.1 实二次型及其标准形 6.2 正这二次型和正定矩阵第一部分第一部分 行列式行列式 本章概述本章概述 行列式在线性代数的考试中占很大的比例。从考试大纲来看。虽然只占 13%左右。但在其他章。的试题中都有 必须用到行列式计算的内容。故这部分试题在试卷中所占比例远大于 13%。 1.11.1 行列式的定义行列式的定义 1.1.11.1.1 二阶行列式与三阶行列式的定义二阶行列式与三阶行列式的定义 一、二元一次方程组和二阶行列式一、二元一次方程组和二阶行列式2例 1.求二元一次方程组的解
3、。 解：应用消元法得当时。得同理得定义 称为二阶行列式。称为二阶行列式的值。记为。于是 由此可知。若。则二元一次方程组的解可表示为：例 2 二阶行列式的结果是一个数。我们称它为该二阶行列式的值。 二、三元一次方程组和三阶行列式 考虑三元一次方程组希望适当选择。使得当后将消去。得一元一次方程若，能解出其中要满足3为解出。在（6），（7）的两边都除以得这是以为未知数的二元一次方程组。 定义 1.1.1 在三阶行列式中，称4于是原方程组的解为;类似地得 这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。例 3 计算5例 4 （1） （2）例 5 当 x 取何值时，？为将此结果推广到 n 元一次方程
4、组。需先将二阶、三阶行列式推广到 n 阶行列式。 1.1.21.1.2 阶行列式的定义阶行列式的定义 定义 1.1.2 当 n 时，一阶行列式就是一个数。当时，称为 n 阶行列式。定义（其所在的位置可记为的余子式6的代数余子式。定义 为该 n 阶行列式的值。即。容易看出，第 j 列元素的余子式和代数余子式都与第 j 列元素无关；类似地，第 i 行元素的余子式和代数余子式都与第 i 行元素无关。n 阶行列式为一个数。例 6 求出行列式第三列各元素的代数余子式。例 7 （上三角行列式）71.21.2 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 定理 1.2.1（行列式按行（列）展开定理）例 1 下三
5、角行列式主对角线元素的乘积。例 2 计算行列式例 3 求 n 阶行列式8小结小结 1.行列式中元素的余子式和代数余子式的定义。2.二阶行列式的定义。3.阶行列式的定义。即。 4.行列式按行（列）展开的定理和应用这个定理将行列式降阶的方法。 1.31.3 行列式的性质及计算行列式的性质及计算 1.3.11.3.1 行列式的性质行列式的性质 给定行列式将它的行列互换所得的新行列式称为 D 的转置行列式，记为或。性质 1 转置的行列式与原行列式相等。即性质 2 用数 k 乘行列式 D 的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于 kD。9推论 1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到
6、行列式之外。 推论 2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为 0。 性质 3 行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。 以二阶为例设推论 3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。证 设中，第 i 行与第 j 行元素完全相同，则所以，D=0。 性质 4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。10性质 5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和，即只要看注意 性质中是指某一行（列）而不是每一行。可见 性质 6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以 加到另一行（列），所得的行列式的值不变。 证(任两行成比例则
7、行列式为零）.111.3.21.3.2 行列式的计算行列式的计算 人们认识事物的基本方法是化未知为已知。 对行列式，先看何为已知，（1）二，三阶行列式的计算；（2）三角形行列式的计算。 因此，我们计算行列式的基本方法是利用行列式的性质把行列式化为三角形，或降阶。例 1 计算在行列式计算中如何造零是个重要技巧，主要是应用性质 6。例 2 计算例 3 计算12例 4 计算（互换行列式的两行，值异号）例 5 计算扩展计算13例 6 计算 方法 1方法 2扩展：计算例 7 计算14例 8 计算扩展：计算 例 9 计算 n 阶行列式 解 按第一列展开，得 例 10 范德蒙行列式15.例 11 计算例 1
8、2 证明小结小结 1.准确叙述行列式的性质；2.应用行列式的性质计算行列式的方法 （1）低阶的数字行列式和简单的文字行列式； （2）各行元素之和为相同的值的情况 （3）有一行（列）只有一个或两个非零元的情况 1.41.4 克拉默法则克拉默法则16这一节将把二元一次方程组解的公式推广到 n 个未知数，n 个方程的线性方程组。为此先介绍下面的定理。 定理 1.4.1 对于 n 阶行列式证 由定理 1.2.1 知 ，注意改变第二列的元素，并不改变第二列元 素的代数余子式类似地，可证明该定理的剩余部分。 定理 1.4.2 如果 n 个未知数，n 个方程的线性方程组的系数行列式则方程组有惟一的解: 17
9、其中 证明从略例 1.求解把克拉默法则应用到下面的齐次方程组有 定理 1.4.3 如果 n 个未知数 n 个方程的齐次方程组的系数行列式 D0，则该方程组只有零解，没有非零解。 推论 如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式 D=0。事实上，以后我们将证明对于由 n 个未知数 n 个方程的齐次方程组，系数行列式 D=0，不仅是该齐次方程组有 非零解的必要条件，也是充分条件,即若系数行列式 D=0,则齐次方程组必有非零解。 例 2 判断线性方程组18是否只有零解例 3 当 k 为何值时，齐次方程组没有非零解？例 4 问当 取何值时,齐次方程组有非零解?191.定理 1.4.1 对于，有2.n 个
10、未知数,n 个方程的线性方程组的克拉默法则。 以及 n 个未知数, n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。 第一章小结第一章小结 基本概念1.行列式中元素的余子式和代数余子式。 2.行列式的定义 基本公式 1.行列式按一行(一列)展开的定理； 2.行列式的性质； 3.行列式中任一行(列)与另一行(列)的代数余子式乘积的和=0； 4.克拉默法则 5.n 个未知数,n 个方程的齐次方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式=0。 1.行列式中元素的余子式和代数余子式的计算； 2.行列式的计算及重点例题 （1）二、三阶行列式的计算；方法：利用行列式的性质降阶。 （2）各行元素之和为常数的情况(重点例题：1.3 节中例 5 及其扩展)； （3）特殊的高阶行列式。 第二部分第二部分 矩阵矩阵
