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1、必修 5宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 z 第一章第一章 解三角形解三角形1.1.正弦定理：正弦定理：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 （其中 R 是三角形外接圆的半径）RCc Bb Aa2sinsinsin2.变形：1）sinsinsinsinsinsinabcabc CCAA2）化边为角：CBAcbasin:sin:sin:；;sinsin BA ba;sinsin CB cb;sinsin CA ca3）化边为角：CRcBRbARasin2,sin2,sin24）化角为边： ;sinsin ba BA;sinsin cb CB;sin
2、sin ca CA5）化角为边： RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：已知两个角及任意边，求其他两边和另一角；已知两边和其中边的对角，求其他两个角及另一边。4.ABC 中，已知锐角 A，边 b，则时，B 无解；Abasin或时，B 有一个解；Abasinba 时，B 有两个解。baAbsin注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。二二. .三角形面积三角形面积1.BacAbcCabSABCsin21sin21sin212. ,其中 是三角形内切圆半径.rcbaSABC)(21r3. , 其中,)()(cpbpappSABC)(21cbap
3、4. ,R 为外接圆半径RabcSABC45.,R 为外接圆半径CBARSABCsinsinsin22AbsinAb必修 5宝剑锋从磨砺出 梅花香自苦寒来 三三. .余弦定理余弦定理 1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它 们夹角的余弦的积的 2 倍，即Abccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos22222.变形： bcacbA2cos222acbcaB2cos222abcbaC2cos222注意整体代入，如：21cos222Bacbca3利用余弦定理判断三角形形状： 设、 是的角、的对边，则：abcCAAC若，所以为锐角若为直角Aab
4、c222若， 所以为钝角，则是钝角三角形4.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 1）已知三边，求三个角 2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角四三角形中常见的结论四三角形中常见的结论 1）三角形三角关系：A+B+C=180；C=180(A+B)； 2）三角形三边关系：两边之和大于第三边：，；两边之差小于第三边：，； 3）在同一个三角形中大边对大角：BAbaBAsinsin4) 三角形内的诱导公式：sin()sin,ABCcos()cos,ABC tan()tan,ABC )2sin()2cos()22cos()22sin( )22tan(2tanCCCC CBA 必修 5宝剑锋
5、从磨砺出 梅花香自苦寒来 5) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()cos cos sin sin .(3)tan().(注意等价变形）tan tan 1 tan tan 6) 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)22cos1cos;22cos1sin22(4)tan 2.2tan 1tan2（半角公式）（半角公式） 7) 三角形的四心：垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平分线相交于一点五应用举例。
