《高二数学棱柱球练习题及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二数学棱柱球练习题及答案（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、典型例题一典型例题一例例 1 设有四个命题： 底面是矩形的平行六面体是长方体； 棱长都相等的直四棱柱是正方体； 有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； 对角线相等的平行六面体是直平行六面体 其中真命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 分析：分析：命题是假命题因为底面是矩形的直平行六面体才是长方体底面是矩形， 侧棱不垂直于底面，这样的四棱柱仍是斜平行六面体； 命题是假命题底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体； 命题是假命题因为有两条侧棱垂直于义面一边不能推出侧棱与底面垂直 命题是真命题，如图所示，平行六面体中所有对角线相等，对角面1111-DCBAABCD是平
2、行四边形，对角线，所以四边11BDDBDBBD11形是矩形，即，同理四边形11BDDBBDBB 1是矩形，所以，由知11ACCAACAA 111/ BBAA底面，即该平行六面体是直平行六面体1BBABCD故选 A 说明：说明：解这类选择题的关键在于理清各种棱柱之间的联系与区别，要紧扣底面形状及 侧棱与底面的位置关系来解题 下面我们列表来说明平行四边形与平行六面体的性质的“类比” ，由此，我们可以发现 立体几何与平面几何许多知识是可以进行类比的见表 表平行四边形平行六面体对边平行且相等相对的侧面平行且全等对角线交于一点，且在这一点互相平分对角线交于一点且在这一点互相平分四条边的平方和等于两条对角
3、线的平方 和十二条棱的平方和等于四条对角线的 平方和典型例题二典型例题二例例 2 如图，正四棱柱中，对角线，与侧面所1111-DCBAABCD81BD1BDCCBB11成角为，求：（1）与底面所成角；（2）异面直线与所成角；o301BDABCD1BDAD（3）正四棱柱的全面积分析：分析：正四棱柱是一种特殊的长方体，它的两底面、是正方形，长方体中有比较多的线面垂ABCD1111DCBA直关系，而线面垂直关系往往是解决立体几何问题的关键条 件题中无论是已知线面成角，还是求线面成角，都要把它 们转化为具体的角，落实线面成角，先要找线面垂直关系异面直线与所成角通过，落实为具1BDAD11/DAAD体的
4、正四棱柱各个面都是矩形，求面积只要用矩形面积公式BDA11解：解：（1）在正四棱柱中，面，CA111CDCCBB11是与侧面所成角，即11BCDBD1CCBB11o3011BCD ， ，81BD411CD341BC 是正方形，1111DCBA41111CDCB平面， 是与底面所成角，DD1ABCDBDD1BD1ABCD在中，RtDBD12411DBBD81BD，22cos11BDBDBDDo451BDD即与底面所成角为1BDABCDo45（2），11/DAAD是与所成角（或补角） BDA111BDAD平面， ，11ADBBAA11BAAD111中，RtBDA11411DA81BD，21cos1
5、1BDAo6011BDA即异面直线与所成角为AD1BDo60（3）中，Rt11CBB411CB341BC ，241BB 12232244244442全S说明：说明：长方体是一种特殊的棱柱，充分感受其中丰富的线面垂直、线线垂直关系是灵 活解题的关键，各种垂直关系是解决立体几何中证明和计算的重要条件典型例题三典型例题三例例 3 如图，已知长方体中，棱长，求直线1111-DCBAABCD51AA12AB与平面的距离11CB11BCDA分析：分析：求直线到平面的距离，首先要找直线上的点到 平面的垂线，而找平面的垂线的一个很有用的思路是，找 平面内一条直线与某一平面垂直，这里我们不难看出，长方体中有平面
6、，这样，只要作，CB11BBAABAHB11又有，得到平面CBHB1HB111ABCD解：解：长方体中，有平面，过作于，又有1ACBC11BBAA1BBAHB11H，HBBC1 平，即是到平面的距离HB111ABCDHB111CB11BCDA在中，由已知可得，Rt11ABB51BB1211BA ，131BA13601HB即是到平面的距离为HB111CB11BCDA1360说明：说明：长方体中有棱与面的线面垂直关系，正方体除此之外，还有对角线与对角面的线面垂直关系，比如，求正方体中，与面所成1AC11CABDC1角这里，要找与所成角，必须找到平面11CABDC11A的垂线，因为面，在对角面内，过
7、BDC1BDCCAA111AC作于，则，所以面，1A11OCHAHHABD1HA1BDC1可以得到为与面所成角，在对角面OCA1111CABDC1中可计算CCAA112arctan11OCA典型例题四典型例题四例例 4 如图，已知直三棱柱中，为侧棱上一点，1111-DCBAABCDACAB F1BB， （1）若为的中点，为上不同于、的任一点，aBCBF2aFB 1DBCEADAD求证：；（2）若，求与平面所成角的大小1FCEF aBA3111FCBBAA11分析：分析：点在上变化，为平面内变化的一EADEFADF组相交直线（都过定点） ，要证明与垂直，必有FFC1EF平面求与平面所成角的关键是
8、找FC1ADF1FC11AABB到面的垂线，从而落实线面成角，直三棱柱中，侧1C11AABB棱平面给找点到面的垂线创造了方便的1AA111CBA1C1AB条件解：解：（1），且是的中点，ACAB DBCBCAD 又 直三棱柱中平面，1BBABC1BBAD 平面，ADCCBB11FCAD1在矩形中，CCBB11aBCBF2aFB1，aDF5aFC51aDC101，即，2 12 12DCFCDFo901DFCDFFC 1平面，1FCADFEFFC 1（2）过作于，平面，1C111BAHCH1AACBA11HCAA11平面，连接，是与平面所成角HC1BBAA11FHFHC1FC11AB在等腰中，AB
9、CaACAB3aBC2aAD22在等腰中，由面积相等可得，111CBAaaHC22231，又，aHC3241aFC51在中，RtHFC115104sin1FHC，15104arcsin1FHC即与平面所成角为FC11AB15104arcsin说明：说明：由于点在上变化，给思考增加了难度，但仔细思考，它又提供了解题的EAD突破口，使得线线垂直成为了与一组直线垂直本题的证明还有一个可行的思路，虽1CF然在上变化，但是由于平面，所以点在平面上的射影是定点EADADCCBB11E1BC，在平面上射影为定直线，使用三垂线定理，DEF1BCDF可由，直接证明三垂线定理是转化DFFC1EFFC1空间线线垂直
10、为平面内线线垂直的一个有力工具，再看一个例子，正方体中，是底面的中心，是1ACOABCDE上动点，是中点，求与所成角我们11BAF1DDAFOE取中点，虽然点变化，但在面上射影为定直线，在正方形ADGEOE1ADGA1中，易证，所以，即与所成角为DDAA11AFBA1OEAF AFOEo90典型例题五典型例题五例例 5 如图，正三棱柱的底面边长为 4，侧棱长为，过的截面与底111-CBAABCaBC面成的二面角，分别就（1）；（2）计算截面的面o303a1a积 分析：分析：要求出截面的面积，首先必须确定截面的形状，截面与底面成的二面角，如果较大，此时截面是三角形；但是如果o30a较小，此时截面
11、与侧棱不交，而与上底面相交，截面为梯形a解：解：截面与侧棱所在直线交于点，取中点，连1AADBCE、，AEDE是等边三角形，ABCBCAE 平面，1AAABCBCDE 为截面与底面所成二面角的平面角，DEAo30DEA等边边长为 4，ABC32AE在中，RtDAE2tanDEAAEDA（1）当时，点在侧棱上，截面为，3aD1AABCD在中，RtDAE422AEADDE84421 21DEBCSBCD（2）当时，点在延长线上，截面为梯形，1aD1AABCMN，是的中位线，2AD11AAMNDBC6843 43DBCBCMNSS梯形说明：说明：涉及多面体的截面问题，都要经过先确定截面形状，再解决问
12、题的过程，本例 通过改变侧棱长而改变了截面形状，我们也可以通过确定侧棱长，改变截面与底面成角而 改变截面形状典型例题六典型例题六例例 6 斜三棱柱中，平面底面，111-CBAABCCCAA11ABC，且2BC32ACo90ABCCAAA11CAAA11（1）求与平面所成角；1AAABC（2）求平面与平面所成二面角的大小；11ABBAABC（3）求侧棱到侧面的距离1BBCCAA11分析：分析：按照一般思路，首先转化条件中的面面垂直关系，由，取的中CAAA11AC点，连，则有，从而有平面，在此基础上，与底面DDA1ACDA1DA1ABCAA1所成角以及平面与底面所成二面角都能方便地找到，同时底面也
13、为11ABBADA1ABC寻找点到面的垂线创造了条件BCCAA11解：解：（1）取的中点，连接，ACDDA1，平面底面，CAAA11ACDA1CCAA11ABC底面，为与底面所成角DA1ABCACA1AA1ABC且，CAAA11CAAA11o451ACA（2）取中点，则，ABEBCDE/，o90ABCABCB ABDE 连，底面，在平面上射影为，EA1DA1ABCEA1ABCDE，为侧面与底面所成二面角的平面角ABEA1EDA1BA1ABC在等腰中，RtACA132AC31DA在中，RtABC2BC1DE在中，RtDEA13tan1 1DEDAEDA，即侧面与底面所成二面角的大小为o601ED
14、ABBAA11ABCo60（3）过作于，BACBH H底面，平面，DA1ABCBHDA1BHCCAA11在中，RtABC32AC2BC22AB，即到平面的距离为632ADBCABBH1BBCCAA11632说明：说明：简单的多面体是研究空间线面关系的载体，而线面垂直关系又是各种关系中最 重要的关系，立体几何中的证明与计算往往都与线面垂直发生联系，所以在几何体中发现 并使用线面垂直关系往往是解题的关键典型例题七典型例题七例例 7 斜三棱柱的底面是直角三角形，111-CBAABCABC，在底面上的射影恰好是的中点，侧棱与底面成角，o90Ccm2BC1BDBCo60侧面与侧面所成角为，求斜棱柱的侧面积与体积BBAA11CCBB11o30分析：分析：在底面上射影为中点，提供了线面1BABCDBC垂直平面，另外又有，即，又可以得到平面DB1ABCo90CBCAC AC，利用这两个线面垂直关系，可以方便地找到条件中的线面角以及二面角的平面CCBB11角解：解：在底面上，射影为中点1BABCDBC平面DB1ABC为侧棱与底面所成角，即，BDB1BB1ABCo601BDB，即，又，o90CBCAC DBAC1平面，过作于，连接，则ACCCBB11ABBAE1ECEBBCE1是侧面与侧面所成二面角的平面角，AECBBAA11BBCC11，o30AEC在直角中，CEBo60CEB2BC3CE
