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1、电动力学习题解答 第四章 电磁波的传播- 1 -1. 考虑两列振幅相同的偏振方向相同频率分别为dd+和的线偏振平面波 它们都沿 z 轴方向传播 1 求合成波证明波的振幅不是常数而是一个波 2 求合成波的相位传播速度和振幅传播速度解 )cos()(),()cos()(),(22021101 txkxEtxEtxkxEtxE= rrrrrrrr)cos()cos(),(),(2211021txktxkxEtxEtxEE+=+=rrrrrrr)22cos()22cos()(221212121 0txkktxkkxE+=rr其中dddkkkdkkk=+=+=2121,;,)cos()cos()(20t
2、dxdktkxxEE=rrr用复数表示)( 0)cos()(2tkxietdxdkxEE=rrr相速 0=tkxkvp=群速 0=tdxdkdkdvg=2一平面电磁波以o45=从真空入射到2=r的介质电场强度垂直于入射面求反射系数和折射系数解nr为界面法向单位矢量0 的空间中是金属导体电磁波由 z时电动力学习题解答 第四章 电磁波的传播- 6 -mHz5 . 01104102221027626=时mmHz16110410222:1037939=时8平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上入射角为1求导电介质中电磁波的相速度和衰减长度若导电介质为金属结果如何提示导电介质中的波矢量vvvv,ik+
3、=只有 z 分量为什么解根据题意如图所示入射平面是 xz 平面导体中的电磁波表示为)( 0txixeeEE=vvvvvvvvvik+= 与介质中的有关公式比较可得=21222vv根据边界条件得0 =+=xxxxik实数又11 sinsinckkkxx=1sincx=而入射面是 xz 平面故 ,kkvv 无 y 分量 0, 0=yyv只有z存在v 有zx与其中1sincx= =+ 21)sin(2222 1zzzzc有解得2122222 12 2212 22 22)sin(21)sin(21+=ccz212222 12 22 2 12 22 22)sin(21)sin(21+=cczxz介质真空
4、312 k v k vkv电动力学习题解答 第四章 电磁波的传播- 7 -其相速度为=v 衰减深度为1如果是良导体则 =+210sin22 12 22zzzzc21sin212sin2222 14 44122 2+=ccz21sin21sin2222 14 2412 22 2+=ccz9无限长的矩形波导管在在 z0 处被一块垂直地插入地理想导体平板完全封闭求在 =z到 z0 这段管内可能存在的波模 解在此中结构得波导管中电磁波的传播依旧满足亥姆霍兹方程 =+000022EkEkEvrr方程的通解为)cossin()cossin()cossin(),(332211zkDzkCykDykCxkDx
5、kCzyxEzzyyxx+=根据边界条件有), 0( , 0axEEzy= ), 0( , 0byEEzx=), 0( , 0axxEx=), 0( , 0byyEy=)0( , 0=zzEz故 =zkykxkAEzkykxkAEzkykxkAEzyxzzyxyzyxxcossinsinsincossinsinsincos321其中 L2 , 1 , 0,=mamkxL2 , 1 , 0,=nbnky220022222 ckkkkzyx=+且0321=+zkAbnAamA电动力学习题解答 第四章 电磁波的传播- 8 -综上即得此种波导管种所有可能电磁波的解10电 磁 波)(2),(),(tzk
6、ieyxEtzyxE=vv 在 波 导 管 中 沿 z 方 向 传 播试 使 用EiHHiEvvvv00=及证明电磁场所有分量都可用),(),(yxHyxEzx和这两个分量表示证明沿 z 轴传播的电磁波其电场和磁场可写作)(),(),(tzkizeyxEtzyxE=vv)(),(),(tzkizeyxHtzyxH=vv由麦氏方程组得 EitEHHitBEvvvvvv000=写成分量式 xyzzyzHiEikyE zEyE0=1yz xzzxHixEEikxE zE0=2zxyHiyE xE0=xyzzyzEiHikyH zHyH0=3yz xzzxEixHHikxH zH0=4zxyEiyH
7、xH0=由23消去 Hy得 )( )(10 2 22xEkyHkciEz zzzx =电动力学习题解答 第四章 电磁波的传播- 9 -由14消去 Hx得 )( )(1 0 2 22yEkxHkciEz zzzy=由14消去 Ey得 )( )(10 2 22yE xHk kciHzz zzx+ =由23消去 Ex得 )( )(10 2 22xE yHk kciHzz zzy =11写出矩形波导管内磁场Hv 满足的方程及边界条件解对于定态波磁场为tiexHtxH=)(),(vvvv由麦氏方程组 =0HEitDH vvvv得 EiHHHHvvvvv=22)()(又HitBEvvv=HHEivvv22
8、=+0, 0)(2222HkHkvv即为矩形波导管内磁场Hv 满足的方程由0=Bnvv得 0=Hnvv0=nH利用HiEvv=和电场的边界条件可得 0= nHt电动力学习题解答 第四章 电磁波的传播- 10 -边界条件为 =nHHtn012论证矩形波导管内不存在 TMm0或 TM0n波证明已求得波导管中的电场Ev 满足 =zik yxzzik yxyzik yxxzzzyekxkAEyekxkAEyekxkAEsinsincossinsincos321由EiHvv=可求得波导管中的磁场为=zik yxyxzzik yxxzyzik yxzyxzzzyekxkkAkAiHyekxkkAkiAiH
9、yekxkkiAkAiHcoscos)(sincos)(cossin)(123123本题讨论 TM 波故 Hz0即012=yxkAkA故1若0, 0, 02=xykAbnkn则又0, 02那么Aamkx=0=yxHH2若0, 0, 01=yxkAamkm则又0, 01=Abnky那么0=yxHH波导中不可能存在 TMm0和 TM0n两种模式的波13频率为91030Hz 的微波在cmcm4 . 07 . 0的矩形波导管中能以什么波模传播在cmcm6 . 07 . 0的矩形波导管中能以什么波模传播解1Hz91030=波导为cmcm4 . 07 . 0电动力学习题解答 第四章 电磁波的传播- 11
10、-由22)()(22bn amc m+=当mbma22104 . 0.,107 . 0=时HznmHznmHznm101010107 . 3,1, 0101 . 20, 1103 . 4,1, 1=时时时此波可以以 TM10波在其中传播2Hz91030=波导为cmcm6 . 07 . 0HznmHznmHznm101010103 . 3,1, 0105 . 20, 1101 . 2,1, 1=时时时此波可以以 TE10和 TE01两种波模传播14一对无限大的平行理想导体板相距为 b电磁波沿平行与板面的 z 方向传播设波 在 x 方向是均匀的求可能传播的波模和每种波模的截止频率 解在导体板之间传
11、播的电磁波满足亥姆霍兹方程 =+000022EkEkEvrr令 Uxyz是Ev 的任意一个直角分量由于Ev 在 x 方向上是均匀的)()(),(),(zZyYzyUzyxU=又在 y 方向由于有金属板作为边界是取驻波解在 z 方向是无界空间取行波解解得通解zik yyzeykDykCzyxU)cossin(),(11+=由边界条件0, 0=nEEn和vv定解)( 3)( 2)( 1)sin()cos()sin(tzki ztzki ytzki xzzzeybnAEeybnAEeybnAE=且L2 , 1 , 0,)(22 22 2=+=nkbn ckz又由0= Ev 得A1独立与 A2,A3无
12、关zzAikAbn=2电动力学习题解答 第四章 电磁波的传播- 12 -令 kz0 得截止频率bcnc=15证明整个谐振腔内的电场能量和磁场能量对时间的平均值总相等证明在谐振腔中电场Ev 的分布为 =zik yxzzik yxyzik yxxzzzyekxkAEyekxkAEyekxkAEsinsincossinsincos321由EiHvv=可求得波导管中的磁场为=zik yxyxzzik yxxzyzik yxzyxzzzyekxkkAkAiHyekxkkAkiAiHyekxkkiAkAiHcoscos)(sincos)(cossin)(123123由)(21BHDErvvv+=有谐振腔中1 电场能流密度DEEvr=21)Re(41)Re(2121*DEDEEvvvr=cossinsinsincossinsinsincos42222 32222 22222 1zkykxkAzkykxkAzkykxkAzyxzyxzyx+=2)磁场能流密度BHBvv=21)Re(41*BHBvv=+=zkykkxkkAkAzyxzzy2222 32coscossin)(41 +zkykxkkAkAzyxxz2222 31cossincos)(sincoscos)(2222 12zkykxkkAkAzyxyx+电动力学
