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1、 第第 8 8 讲讲 找规律（二）找规律（二）整数 a 与它本身的乘积，即 aa 叫做这个数的平方平方，记作 a2，即 a2aa；同样，三个 a 的乘积叫做 a 的三次方，记作 a3，即 a3aaa。一般地，n 个 a 相乘，叫做 a 的 n n 次方次方，记作 an，即本讲主要讲 an的个位数的变化规律，以及 an除以某数所得余数的变 化规律。因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关，所以 an 的个位数只与 a 的个位数有关，而 a 的个位数只有 0，1，2，9 共十 种情况，故我们只需讨论这十种情况。为了找出一个整数 a 自乘 n 次后，乘积的个位数字的变化规律，我 们列出下页
2、的表格，看看 a，a2，a3，a4，的个位数字各是什么。从表看出，an的个位数字的变化规律可分为三类：（1）当 a 的个位数是 0，1，5，6 时，an的个位数仍然是 0，1，5，6。（2）当 a 的个位数是 4，9 时，随着 n 的增大，an的个位数按每两 个数为一周期循环出现。其中 a 的个位数是 4 时，按 4，6 的顺序循环出 现；a 的个位数是 9 时，按 9，1 的顺序循环出现。（3）当 a 的个位数是 2，3，7，8 时，随着 n 的增大，an的个位数 按每四个数为一周期循环出现。其中 a 的个位数是 2 时，按 2，4，8，6 的顺序循环出现；a 的个位数是 3 时，按 3，9
3、，7，1 的顺序循环出现； 当 a 的个位数是 7 时，按 7，9，3，1 的顺序循环出现；当 a 的个位数是 8 时，按 8，4，2，6 的顺序循环出现。例例 1 1 求 67999的个位数字。分析与解：因为 67 的个位数是 7，所以 67n的个位数随着 n 的增大， 按 7，9，3，1 四个数的顺序循环出现。99942493，所以 67999的个位数字与 73的个位数字相同，即 67999的个位数字是 3。例例 2 2 求 291+3291的个位数字。分析与解分析与解：因为 2n的个位数字按 2，4，8，6 四个数的顺序循环出现， 914223，所以，291的个位数字与 23的个位数字相
4、同，等于 8。类似地，3n的个位数字按 3，9，7，1 四个数的顺序循环出现，2914723，所以 3291与 33的个位数相同，等于 7。最后得到 291+3291的个位数字与 8+7 的个位数字相同，等于 5。例例 3 3 求 28128-2929的个位数字。解解：由 128432 知，28128的个位数与 84的个位数相同，等于 6。由 292141 知，2929的个位数与 91的个位数相同，等于 9。因为 69，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为 1697。例例 4 4 求下列各除法运算所得的余数：（1）78555；（2）5553。分析与解分析与解：（1）由 554133 知，7
5、855的个位数与 83的个位数相 同，等于 2，所以 7855可分解为 10a2。因为 10a 能被 5 整除，所 以 7855除以 5 的余数是 2。（2）因为 a3 的余数不仅仅与 a 的个位数有关，所以不能用求 555 的个位数的方法求解。为了寻找 5n3 的余数的规律，先将 5 的各次方 除以 3 的余数列表如下：注意：表中除以 3 的余数并不需要计算出 5n，然后再除以 3 去求， 而是用上次的余数乘以 5 后，再除以 3 去求。比如，52除以 3 的余数是 1，53除以 3 的余数与 15=5 除以 3 的余数相同。这是因为 5238+1，其中 38 能被 3 整除，而53=（38
6、+1）5=（38）5+15，（38）5 能被 3 整除，所以 53除以 3 的余数与 15 除以 3 的余 数相同。由上表看出，5n除以 3 的余数，随着 n 的增大，按 2，1 的顺序循环 出现。由 552=271 知，5553 的余数与 513 的余数相同，等于 2。例例 5 5 某种细菌每小时分裂一次，每次 1 个细茵分裂成 3 个细菌。20 时后， 将这些细菌每 7 个分为一组，还剩下几个细菌？分析与解分析与解：1 时后有 13=31（个）细菌，2 时后有 313=32（个）细 菌20 时后，有 320个细菌，所以本题相当于“求 3207 的余数”。由例 4（2）的方法，将 3 的各次方除以 7 的余数列表如下：由上表看出，3n7 的余数以六个数为周期循环出现。由 20632 知，3207 的余数与 327 的余数相同，等于 2。所以最 后还剩 2 个细菌。最后再说明一点，anb 所得余数，随着 n 的增大，必然会出现周期 性变化规律，因为所得余数必然小于 b，所以在 b 个数以内必会重复出 现。
