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1、 第第 8 8 讲讲 找规律(二)找规律(二)整数 a 与它本身的乘积,即 aa 叫做这个数的平方平方,记作 a2,即 a2aa;同样,三个 a 的乘积叫做 a 的三次方,记作 a3,即 a3aaa。一般地,n 个 a 相乘,叫做 a 的 n n 次方次方,记作 an,即本讲主要讲 an的个位数的变化规律,以及 an除以某数所得余数的变 化规律。因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关,所以 an 的个位数只与 a 的个位数有关,而 a 的个位数只有 0,1,2,9 共十 种情况,故我们只需讨论这十种情况。为了找出一个整数 a 自乘 n 次后,乘积的个位数字的变化规律,我 们列出下页
2、的表格,看看 a,a2,a3,a4,的个位数字各是什么。从表看出,an的个位数字的变化规律可分为三类:(1)当 a 的个位数是 0,1,5,6 时,an的个位数仍然是 0,1,5,6。(2)当 a 的个位数是 4,9 时,随着 n 的增大,an的个位数按每两 个数为一周期循环出现。其中 a 的个位数是 4 时,按 4,6 的顺序循环出 现;a 的个位数是 9 时,按 9,1 的顺序循环出现。(3)当 a 的个位数是 2,3,7,8 时,随着 n 的增大,an的个位数 按每四个数为一周期循环出现。其中 a 的个位数是 2 时,按 2,4,8,6 的顺序循环出现;a 的个位数是 3 时,按 3,9
3、,7,1 的顺序循环出现; 当 a 的个位数是 7 时,按 7,9,3,1 的顺序循环出现;当 a 的个位数是 8 时,按 8,4,2,6 的顺序循环出现。例例 1 1 求 67999的个位数字。分析与解:因为 67 的个位数是 7,所以 67n的个位数随着 n 的增大, 按 7,9,3,1 四个数的顺序循环出现。99942493,所以 67999的个位数字与 73的个位数字相同,即 67999的个位数字是 3。例例 2 2 求 291+3291的个位数字。分析与解分析与解:因为 2n的个位数字按 2,4,8,6 四个数的顺序循环出现, 914223,所以,291的个位数字与 23的个位数字相
4、同,等于 8。类似地,3n的个位数字按 3,9,7,1 四个数的顺序循环出现,2914723,所以 3291与 33的个位数相同,等于 7。最后得到 291+3291的个位数字与 8+7 的个位数字相同,等于 5。例例 3 3 求 28128-2929的个位数字。解解:由 128432 知,28128的个位数与 84的个位数相同,等于 6。由 292141 知,2929的个位数与 91的个位数相同,等于 9。因为 69,在减法中需向十位借位,所以所求个位数字为 1697。例例 4 4 求下列各除法运算所得的余数:(1)78555;(2)5553。分析与解分析与解:(1)由 554133 知,7
5、855的个位数与 83的个位数相 同,等于 2,所以 7855可分解为 10a2。因为 10a 能被 5 整除,所 以 7855除以 5 的余数是 2。(2)因为 a3 的余数不仅仅与 a 的个位数有关,所以不能用求 555 的个位数的方法求解。为了寻找 5n3 的余数的规律,先将 5 的各次方 除以 3 的余数列表如下:注意:表中除以 3 的余数并不需要计算出 5n,然后再除以 3 去求, 而是用上次的余数乘以 5 后,再除以 3 去求。比如,52除以 3 的余数是 1,53除以 3 的余数与 15=5 除以 3 的余数相同。这是因为 5238+1,其中 38 能被 3 整除,而53=(38
6、+1)5=(38)5+15,(38)5 能被 3 整除,所以 53除以 3 的余数与 15 除以 3 的余 数相同。由上表看出,5n除以 3 的余数,随着 n 的增大,按 2,1 的顺序循环 出现。由 552=271 知,5553 的余数与 513 的余数相同,等于 2。例例 5 5 某种细菌每小时分裂一次,每次 1 个细茵分裂成 3 个细菌。20 时后, 将这些细菌每 7 个分为一组,还剩下几个细菌?分析与解分析与解:1 时后有 13=31(个)细菌,2 时后有 313=32(个)细 菌20 时后,有 320个细菌,所以本题相当于“求 3207 的余数”。由例 4(2)的方法,将 3 的各次方除以 7 的余数列表如下:由上表看出,3n7 的余数以六个数为周期循环出现。由 20632 知,3207 的余数与 327 的余数相同,等于 2。所以最 后还剩 2 个细菌。最后再说明一点,anb 所得余数,随着 n 的增大,必然会出现周期 性变化规律,因为所得余数必然小于 b,所以在 b 个数以内必会重复出 现。