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1、几何部分几何部分第六章:圆第六章:圆知识点:知识点:一、圆1、圆的有关性质在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 A 随之旋转所 形成的图形叫圆,固定的端点 O 叫圆心,线段 OA 叫半径。由圆的意义可知:圆上各点到定点(圆心 O)的距离等于定长的点都在圆上。就是说:圆是到定点的距离等于定长的点的集合,圆的内部可以看作是到圆。心的距 离小于半径的点的集合。圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫 做弦,经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧,简称弧。圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫半圆,大于半圆的弧叫
2、优 弧;小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。圆心相同,半径不相等的两个圆叫同心圆。能够重合的两个圆叫等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫等弧。二、过三点的圆l、过三点的圆过三点的圆的作法:利用中垂线找圆心定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆,外接圆的圆心叫外心,这个三角形叫圆的 内接三角形。2、反证法反证法的三个步骤:假设命题的结论不成立;从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;由矛盾得出假设不正确,从而肯定命题的结论正确。例如:求证三角形中最多只有一个角是钝角。证明:设有两个以上是钝角则两个钝角之和180与三角
3、形内角和等于 180矛盾。 不可能有二个以上是钝角。即最多只能有一个是钝角。三、垂直于弦的直径圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。推理 1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对两条弧。弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一个条弧。推理 2:圆两条平行弦所夹的弧相等。四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。实际上,圆绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合。顶点是圆心的角叫圆心角,从圆心到弦的距离叫弦心距
4、。定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距 相等。推理:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中,有 一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。五、圆周角顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角。推理 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相 等。推理 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径。推理 3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。由于以上的定理、推理,所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。六、圆的内接四边形多边形的所有顶
5、点都在同一个圆上,这个多边形叫圆内接多边形,这个圆叫这个多边 形的外接圆定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。例如图 61,连 EF 后,可得:DEFBDEFA180 AB18ry BCDA七、直线和圆的位置关系1、直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫圆的割线直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫圆的切线,唯一的公共点 叫切点。直线和圆没有公共点时,叫直线和圆相离。2、若圆的半径为 r,圆心到直线的距离为 d,则:直线和圆相交dr;直线和圆相切dr;直线和圆相离dr;直线和圆相交 dr例如:图 62 中,直线与圆 O 相割, 有:rd图
6、 63 中,直线与圆 O 相切,rd图 64 中,直线与圆 O 相离,rd 八、切线的判定和性质切线的判定:经过半径的外端并且垂直 于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径 推理 1:经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。 推理 2:经过切点且垂直于切线的直线必经 过圆心。例如图 65 中,O 为圆心,AC 是切线,D 为切点。B90则有 BC 是切线OD 是半径ODAC九、三角形的内切圆要求会作图,使它和己知三角形的各边都相切分角线上的点到角的两边距离相等。 两条分角线的交点就是圆心。这样作出的圆是三角形的内切圆,其圆心叫内心,三角形叫圆的外切三角形。和多边形各边
7、都相切的圆叫多边形的内切圆,多边形叫圆的外切多边形。十、切线长定理经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的 线段的长,叫这点到圆的切线长。切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平 分两条切线的夹角,如图 66B、C 为切点,O 为圆心。ABAC,12十一、弦切角顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角 叫弦切角。弦切角定理弦切角等于它所央的弧对的圆周角。推理如果两个弦切角所央的弧相等,那么这两个弦切角也相等。 例如图 67,AB 为切线, 则有:CBAE,BAEDCD 十二、和圆有关的比例线段相交弦定理:圆内的两条相交弦,
8、被交点分成的两条线段长的积相等。推理:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线 段长的比例中项。推理:从圆外一点引两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等, 如图 68,若 F 为切点则有:AF2=AHAC,AGABAF2EMMD=BMMGCNNH=DNNE十三、圆和圆的位置关系如图 69若连心线长为 d,两圆的半径分别为 R,r,则:1、两圆外离d Rr;2、两圆外切d = Rr;3、两圆相交RrdRr(Rr)4、两圆内切d = Rr;(Rr)5、两圆内含dRr。 (Rr)
9、定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。如图 610,O1,O2为圆心, 则有:ABO1O2,且 AB 被 O1O2平分十四、两圆的公切线和两个圆都相切的直线叫两圆的 公切线,两圆在公切线同旁时,叫外 公切线,在公切线两旁时,叫内公切线,公切线上两个切点的距离叫公切线的长。如图 611,若 A、B、C、D 为切点,则 AB 为内公切线长,CD 为外公切线长内外公切线中的重要直角三角形,如图 612,OO1A 为直角三角形。d2=(Rr)2e2为外公切线长,又如图 613, OO1C 为直角三角形。d2(R 十 r)2 e2为内公切线长。十五、相切在作图中的应用生活、生产中常常需要由一条线(
10、线段或孤)平滑地渡到另一条线上,通常称为圆弧 连接,简称连接,连接时,线段与圆弧,圆弧与圆弧在连接外相切,如图 6 14十六、正多边形和圆各边相等,各角也相等的多边形叫正多边形。定理:把圆分成 n(n3)等分:(l)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形;(2)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形。定理:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆。正多边形的外接(或内切)圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的 半径,内切圆的半径叫正多边形的边心距。正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等,叫正多边形的中心角。正 n 边
11、形的每个中心角等于no360正多边形都是轴对称图形,一个正 n 边形共有 n 条对称轴,每条对称轴都通过正 n 边 形的中心。若 n 为偶数,则正 n 边形又是中心对称图形,它的中心就是对称中心。边数相同的正多边形相似,所以周长的比等于边长的比,面积的比等于边长平方的比。十七、正多边形的有关计算正 n 边形的每个内角都等于nno180)2( 定理:正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形。正多边形的 有关计算都归结为解直角三角形的计算。十八、画正多边形1、用量角器等分圆2、用尺规等分圆正三、正六、正八、正四及其倍数(正多边形) 。正五边形的近似作法;二十、圆周长、
12、弧长1、圆周长 C2R;2、弧长180RnL二十一、圆扇形,弓形的面积l、圆面积:; 2RS2、扇形面积:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。在半径为 R 的圆中,圆心角为 n的扇形面积 S扇形扇形的计算公式为:3602RnS扇形注意:因为扇形的弧长。所以扇形的面积公式又可写为180RnLLRS21扇形(3)弓形的面积由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果 弓形的弧是劣弧,则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形 的弧是优弧,则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。二十二、圆柱和圆锥的侧面展开图1、圆柱的侧面展开图圆柱
13、可以看作是由一个矩形旋转得到的,如把矩形 ABCD 绕边 AB 旋转一周得到的图形是一个圆柱。 (图 6 一 16)AB 叫圆柱的轴,圆柱侧面上平行轴的线段 CD, CD,都叫 圆柱的母线。圆柱的母线长都相等,等于圆柱的高。圆柱的两个底面是平行的。圆柱的侧面展开图是一个长方形,如图 617,其中 AB=高,AC=底面圆周长。S侧面侧面=2Rh圆柱的轴截面是长方形一边长为 h,一边长为 2RR 是圆柱底半径,h 是圆柱的高。见图 68(2)圆锥的侧面展开图圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。如图 619,把 RtOAS 绕直线 SO 旋转一周 得到的图形就是圆锥。旋转轴 SO 叫圆锥的轴,连通
14、过底面圆的圆心, 且垂直底面。连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的 SA、SA、 都叫圆锥的母线,母线长都相等。圆锥的侧面展开图如图 6 一 19 是一个扇形 SAB半径是母线长,AB 是 2R。 (底面的周长) ,所以圆锥侧面积为 S侧面侧面=RL 例题:例题:例 1、如图 7.2-1,AB 是O 的直径,ADCD,BCCD,且 AD+BC=AB, 1、求证:O 与 CD 相切; 2、若 CD=3,求 ADBC. 特色本题来源于教材,主要考查切线的判定方法及相似三角形的知识. 解答(1)过 O 点作 OECD 于 E. ADCD, BCCD, ADOEBC, 又AO=BO, DE=CE, OE=
15、(AD+BC). 而 AB=AD+BC,21 OE=OA, 而 OECD, O 与 CD 相切. (2)连结 AE、BE,O 与 CD 相切, OECD , BAE=BEC. 而 BAE= OEA, OEA+ DEA=90 ,o DEA+BEC=90 . 又ADCD, DEA+ DAE=90 ,oo DAE=BEC, AEDEBC,ADEC=DEBC, 即 ADBC=DEEC=.2 21CD49例 2、如图 7.1-2.已知,AB 为O 的直径,D 为弦 AC 的中点, BC=6cm,则 OD= . 特色 以上几道中考题均为直接运用圆的有关性质解题.解答由三角形的中位线定理知 OD=BC21例 3、如图 7.3-1O 为ABC 的内切圆,C=,AO 的延长线交 BC90o于点 D,AC=4,CD=1,则O 的半径等于( ).A 、 B、 C、 D、54 45 43 65特色本题考查内心的性质. 解答 过点 O 半径 OE,则 OECD,AEAC=OECD,设半径为 R,则(4-R)4=R1,解之得 R=,选 A.54例 4、圆内接四边形 ABCD,A、B、C 的度数的比是 123,则这个四边形的最 大角是