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1、排列、组合、排列、组合、二二项项式式定理与概率测试题定理与概率测试题 命题制卷:叶定华命题制卷:叶定华 班级班级 姓名姓名 分数分数 第第卷卷( (选择题,共选择题,共 6060 分分) ) 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分) 1. 3 名老师随机从 3 男 3 女共 6 人中各带 2 名学生进行实验,其中每名老 师各带 1 名男生和 1 名女生的概率为( A )A. B. C.D.52 53 54 1092. 某人射击 5 枪,命中 3 枪,3 枪中恰有 2 枪连中的概率为( B )A.B. C.D.52 53 101 20
2、13. 一批产品中,有 n 件正品和 m 件次品,对产品逐个进行检测,如果已检 测到前 k(kn 次均为正品,则第 k+1 次检测的产品仍为正品的概率是( A ) )A.B.kmnkn mnk 1C.D.11 kmnkn kmnk 14. 有一人在打靶中,连续射击 2 次,事件“至少有 1 次中靶”的对立事件是 ( C ) A.至多有 1 次中靶B.2 次都中靶 C.2 次都不中靶D.只有 1 次中靶 5.在一块并排 10 垄的土地上,选择 2 垄分别种植 A、B 两种植物,每种植 物种植 1 垄,为有利于植物生长,则 A、B 两种植物的间隔不小于 6 垄的概率 为( C )A. B. C.D
3、.301 154 152 3016.某机械零件加工由 2 道工序组成,第一道工序的废品率为 a,第二道工序 的废品率为 b,假定这 2 道工序出废品是彼此无关的,那么产品的合格率是( A ) A.abab+1 B.1ab C.1abD.12ab 7.有 n 个相同的电子元件并联在电路中,每个电子元件能正常工作的概率 为 0.5,要使整个线路正常工作的概率不小于 0.95,n 至少为( C ) A.3B.4 C.5D.68.一射手对同一目标独立地进行 4 次射击,已知至少命中一次的概率为,8180则此射手的命中率是( B )A.B. C.D.31 32 41 529.某工人一天出废品的概率为 0
4、.2,工作 4 天恰有一天出废品的概率是( A ) A.B.C.0.8 4D.0.2431 48 . 02 . 0C31 42 . 08 . 0C10.有一道竞赛题,甲解出它的概率为,乙解出它的概率为,丙解出它21 31的概率为,则甲、乙、丙三人独立解答此题,只有 1 人解出此题的概率是( 41B )A.B. C.D.1241 2411 241711事件 A 与事件 B 互斥是事件 A、事件 B 对立的( B ) A.充分不必要条件;B.必要不充分条件;C.充分必要条件;D.既不充分也 不必要条件 12若 P(AB)=0,则事件 A 与事件 B 的关系是( C ) A.互斥事件;B.A、B 中
5、至少有一个是不可能事件;C.互斥事件或至少有一 个是不可能事件;D.以上都不对 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 4 分,共分,共 16 分)分) 13四封信投入 3 个不同的信箱,其不同的投信方法有 种。 ()43 14设口袋中有 4 只白球和 2 只黑球,现从口袋中取两次球,第一次取出 一只球,观察它的颜色后放回口袋中,第二次再取出一只球,两次都取得白球的概率为_()9415若以连续投掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标,则点P 落在直线 x+y=5 下方的概率是_()6116在编号为 1,2,3,n 的 n 张奖卷中,采取不放回方式抽奖,若 1 号为获奖号码,则在第
6、k 次(1kn)抽签时抽到 1 号奖卷的概率为_()n1三、解答题(本大题共(本大题共 6 小题,共小题,共 76 分。解答应写出文字说明、证明过程分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤)或演算步骤) 17 (本小题满分 12 分)设 m,nZ+,m、n1,f(x)=(1+x) m+(1+x)n的展开式中,x 的系数为 19。(1)求 f(x)展开式中 x2的系数的最大、小值; (2)对于使 f(x)中 x2的系数取最小值时的 m、n 的值,求 x7的系数。 解:。19,1911nmCCnm即nm19(1)设 x2的系数为 T=。22 nmCC419171)219(171192 22nn
7、nnZ+,n1,当当。,163,181maxTnn时或81,109minTn时或(2)对于使 f(x)中 x2的系数取最小值时的 m、n 的值,即18)1 ()1 ()(xxxf从而 x7的系数为。7 18C18 (本小题满分 12 分)从 5 双不同的鞋中任意取出 4 只,求下列事件的 概率: (1)所取的 4 只鞋中恰好有 2 只是成双的;(2)所取的 4 只鞋中至少有 2 只是成双的。 解:基本事件总数是=210。4 10C(1)恰有两只成双的取法是=120。1 21 22 41 5CCCC所取的 4 只鞋中恰好有 2 只是成双的概率为74 210120 CCCCC4 101 21 22
8、 41 5(2)事件“4 只鞋中至少有 2 只是成双”包含的事件是“恰有 2 只成双”和“4 只 恰成两双”,恰有两只成双的取法是=120,四只恰成两双的取法是1 5C2 4C1 2C1 2C=10。2 5C所取的 4 只鞋中至少有 2 只是成双的概率为2113 210130 CCCCCC4 102 51 21 22 41 519 (本小题满分 12 分)有 8 位游客乘坐一辆旅游车随机到 3 个景点中的 一个景点参观,如果某景点无人下车,该车就不停车,求恰好有 2 次停车的概 率。 解:8 位游客在 3 个景点随机下车的基本事件总数有 38=6561 种。 有两个景点停车,且停车点至少有 1
9、 人下车的事件数有 (+)=3(282)=762 种。2 3C1 8C2 8C7 8C恰好有 2 次停车的概率为。2187254 656176220 (本小题满分 12 分)已知的展开式的系数和比的展nxx223)(nx) 13(开式的系数和大 992,求的展开式中:二项式系数最大的项;系数的n xx2)12(绝对值最大的项。解:由题意,解得。992222nn5n的展开式中第 6 项的二项式系数最大,10)12(xx 即.8064)1()2(555 10156xxCTT设第项的系数的绝对值最大,1r则rrrrrrr rxCxxCT21010 1010 1012) 1()1()2( ,得,即 1
10、101 1010 101101 1010 10 2222rrrrrrrrCCCC1 10101 1010 22rrrrCCCC rrrr 10) 1(2211,故系数的绝对值最大的是第 4 项.311 38 r3r21 (本小题满分 12 分)有 6 个房间安排 4 个旅游者住宿,每人可以随意进 哪一间,而且一个房间也可以住几个人。求下列事件的概率:(1)事件 A:指 定的 4 个房间中各有 1 人;(2)事件 B:恰有 4 个房间中各有 1 人; (3)事件 C:指定的某个房间中有两人;(4)事件 D:第 1 号房间有 1 人, 第 2 号房间有 3 人。解:4 个人住进 6 个房间,所有可
11、能的住房结果总数为:(种)(1)指定的 4 个房间每间 1 人共有种不同住法。4 4A。 54/16/)(44 4AAP(2)恰有 4 个房间每间 1 人共有种不同住法。 4 6A18/56/)(44 6ABP(3)指定的某个房间两个人的不同的住法总数为:(种),552 4C 。216/256/5)(422 4CCP(4)第一号房间 1 人,第二号房间 3 人的不同住法总数为:(种)43 31 4CC, 。324/16/4)(4 D22 (本小题满分 14 分)已知(是正整数)是首项是,公比是nan1a的等比数列。q (1) 求和:;3 342 331 320 312 231 220 21,C
12、aCaCaCaCaCaCa(2) 由(1)的结果归纳概括出关于正整数的一个结论,并加以证明;n (3) 设是等比数列的前项的和,求nSq, 1n。n nnn nnnnCSCSCSCSCS13 42 31 20 1) 1( 解:(1);2 12 1112 231 220 21)1 (2qaqaqaaCaCaCa。3 13 12 1113 342 331 320 31)1 (33qaqaqaqaaCaCaCaCa(2)归纳概括出关于正整数的一个结论是:已知(是正整数)是nnan首项是,公比是的等比数列,则1aq 。nn nnn nnnnqaCaCaCaCaCa)1 () 1(113 42 31 20 1 证明如下:n nnn nnnnCaCaCaCaCa13 42 31 20 1) 1( =n nnn nnnnCqaCqaCqaqCaCa133 122 11 10 1) 1( nnn nnnnn qaqCqCqCqCCa)1 ()(1332210 1 (3)因为,所以qqaSnn1)1 (1k nn k nkCqqaCS1)1 (1 1n nnn nnnnCSCSCSCSCS13 42 31 20 1) 1( =)(1) 1(12210132101nn nnnnn nn nnnnqCCqqCCqqaCCCCCqa =。nqqqa)1 (11