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1、 暑假专题函数解题中的数学思想应用重点、难点数学思想的应用【典型例题典型例题】一. 方程思想的应用例 1. 已知点 P（x，x+y）与点 Q（y+5，x-7）关于 x 轴对称，则点 Q 坐标为_。分析：分析：P 点关于 x 轴对称时，横坐标不变，纵坐标相反构造方程组xy xyx 5 70解得：x y 4 1Q 点坐标为（4，-3）例 2. 已知一次函数的图像经过第一、二、三象限，求 m 的值。yxmmm22222分析：分析：一次函数条件：x 的次数为 1即：mm2221得：mm2230解得：mm1213 ，而当mm1123 时，此时图像经过一、三、四象限yxmm2222不符合题意，舍去故 m=
2、3例 3. 已知：在ABC 中，P 为 AB 上一动点（P 不CABBC90106，与 A、B 重合），过点 P 作 PE/BC 交 AC 于 E，连结 BE，设 AP=x，BPE 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系，并求自变量 x 的取值范围。A P E B C 分析：分析：Q SPEECBPE1 2知道 PE 的长、EC 的长是关键，而 PE、EC 与三角形相似有关。所以此题借助比例式找出 PE、EC 与 x 之间的等量关系。即：用含 x 的式子表示 PE、EC，进而得到函数关系式。解：解：Q PEBC/ /PE BCAP AB BCABAPxPExAP ABAE ACACABB
3、CAExECxQQ610 3 584 584 522，又， SPEECyxxxxxxPEB1 2 1 23 584 5 12 56 25 6 2512 522二. 数形结合思想的应用例 1. 一次函数的图像经过第_象限。yk xk2| |分析：分析：充当中的 k，此时大于 0k2ykxb充当中的 b，此时小于 0| | kykxb则依据直线，当的图象示意图：可知图像经过一、三、四象ykxbkb00，限。y O x 例 2. 已知反比例函数是反比例函数yk xkxyxyxy()()()()0112233，图象上的三个点，若，试判断的大小关系。xxx1230yyy123，分析：分析：反比例函数的图
4、像位于二、四象限yk xk()0y O x 只需将在图像上找到相对应的点，则可确定相应的函数值。xxx123，yyy123，从而根据位置判断大小。y 轴上，越往上数越大，所以。yyy1320y y1 x1 x2 x3 y3 y2 x O 例 3. 如图所示，一次函数的图像过第一、三、四象限，且与双曲线yk xb1的图像交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C，是终边上的一点，若yk x2A xy()，xOA，原点 O 到 A 点的距离为tanxOA1 526（1）求 A 点坐标；（2）求反比例函数的解析式；（3）若，求一次函数的解析式。SbAOC26y A O M x C B 分析：分析：此题关
5、键是在平面直角坐标系中借助及，在 Rt中tanxOA1 5OA 26求 A 点坐标。从而进一步借助到 y 轴距离等于，求出 b，确定1 2OCASbAOC26一次函数的解析式。解：解：（1）设点 A 坐标为（a，b），且ab00，过 A 作轴交 x 轴于 MAM x则OMaAMb| | |，在Rt AOMxOAOA中，且tan1 526则，ab51所以点 A 坐标为（5，1）（2）此反比例函数解析式为yx5（3），且（OC=|b|，C在 x 轴下方）Q SbAOC26b 0 1 2565 26251203 2422212| | bbbbbbbb解得：（舍去），一次函数解析式为：yk x14又直
6、线过点yk x14A()51， 154111kk，一次函数解析式为yx 4三. 分类讨论思想的应用例 1. 已知点 N 在 x 轴下方，且到 x 轴距离为 2，到 y 轴距离为，则点 N 的坐标为3_。分析：分析：设点 N 坐标为（x，y）由题意得：| | |xy32，则xy 32，又点 N 在 x 轴下方，y0 xy32，NN3232，或，例 2. 已知直线与直角坐标系的两坐标轴围成的三角形的面积为 9，则直线解ykx 3析式为_。分析：分析：设直线与 x 轴交点为 A，与 y 轴交点为 Bykx 3则AkB3003， Q SAOBOkkkkAOB 91 291 233936361 2，直线
7、解析式为yxyx 1 231 23或例 3. 已知点 A 为平面直角坐标系内第四象限夹角平分线上一点，且 OA=5，试在坐标轴上找一点 C，使得AOC 为等腰三角形，并写出 C 点坐标。分析：分析：首先应分别在 x 轴和 y 轴上找点 C其次，AOC 应分类找：（1）OA 为腰；（2）OA 为底y O x A 当 C 点在 x 轴上时 COCOACOCACCOCOACOAAC112223344505 220505 20() ，、，、，、，、y C1 C2 C3 C4 O x A 当 C 点在 y 轴上时 COCACCOAOCCOAACCOAOC55566778805 220505 205，、，
8、、，、，、 y C8 O x C5 A C6 C7 四. 转化思想的应用例 1. 已知一次函数的图像经过二、三、四象限，求 k 的取值范ykxk ()()15围。分析：分析：直线经过二、三、四象限则k k 10 50得：k k 1 5所以 51k例 2. 待定系数解题（转化为方程组）如：已知与成正比例，其中 m，n 是常数，当时，；当ynxmx 1y 1时，求 y 与 x 的函数关系。x 1y 7分析：分析：设ynk xm()当时，得：x 1y 1 11nkm()当时，得：x 1y 7 71nkm()解方程组 11 71nkm nkm() () 1 7kkmn kkmn解得：k kmn 3 4
9、所求函数关系式为：ynk xmykxkmnx()，34例 3. 如图所示，直线与 y 轴交于点 A（0，3）与 x 轴交于点 B，正方形ykxbOPQR 的两边在坐标轴上，Q 在直线 AB 上，OP：PB=1：2，求直线的解析式。y A R Q O P B x 分析：分析：求直线 AB 解析式，需要知道 A、B 坐标。而 A 点（0，3），则 OA=3，求 B点即可，即求 OB 长，此问题转化为几何问题。Q AOBRQOB AR AORQ OB中，/ /又知 PQRO 为正方形，设正方形边长为 x，则RQOROPxQ OPPBPBxOBxARxxx xxOB：则，122333 3326B 点坐
10、标为（6，0）直线解析式为yx 1 23五. 几何解题思想的综合应用例：已知反比例函数和一次函数，其中一次函数的图象经过（a，b），yk x2yx21（a+1，b+k）两点。（1）求反比例函数的解析式；（2）如图所示，已知点 A 是上述两个函数的图象在第一象限的交点，求点 A 的坐标；（3）利用（2）的结果，回答：在 x 轴上是否存在点 P，使AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的 P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。y A O x 分析：分析：（1）由一次函数的图象经过两点（a，b），（a+1，b+k），代入消yx21去 a，b，可得 k=2，进而可确定反比例函数的关系式。（2）将
11、联立成方程组，易求出点 A 的坐标；yxyx211与（3）应根据 OA 为腰和底进行分类，结合（2）探求出点 P 的存在性。解：解：（1）依题意可得：ba bka 21 211()两式相减，得k 2所以反比例函数的解析式为yx1（2）由，得，yxyx 211xy1111xy221 2 2 经检验都是原方程组的解。xyxy1122111 2 2 与因为 A 点在第一象限，所以 A 点坐标为（1，1）（3），OA 与 x 轴所夹锐角为 45OA 11222如图下所示，当 OA 为腰时，由 OA=OP，得PP122020()，由，得OAAPP320，当 OA 为底时，得P410，所以这样的点有 4
12、个，分别是、02， 010202，、，、，y A P2 O P4 P1 P3 x 【模拟试题模拟试题】（答题时间：30 分钟）1. 反比例函数的图象上两点，当时，ym x12A xy11，B xy22，xx120有，则 m 的取值范围是_。yy122. 已知反比例函数的图象在第一、三象限，则一次函数的图象不经yk xykx 2过第_象限。3. 直线与 y 轴的交点在 x 轴上方，且 y 随 x 的增大而减小，则ymxm()235m 的取值范围是_。4. 三角形三边长为 3cm，5cm，xcm，则三角形的周长为与的函数关系式y cm()x cm()是_，自变量 x 的取值范围是_。5. 当 m
13、取何值时，函数是 x 的一次函数？它是否是正比例函ymxmm()2223数？6. 已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，求 m 的取值范围。ymxm()237. 直线和直线的交点在第_象限。yx22yx58. 两个一次函数的图象交于 y 轴上一点 A，分别交 x 轴于点 B、C，如图所示，若已知|OB|：|OA|：|OC|=1：2：3，且ABC的面积是 16，求两函数的解析式。y A B O C x 9. 在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，且 m 为整数，则过点Amm725，A 的反比例函数的解析式为_。10. 如果一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为 10，则此一次ykx 2函数为_。11. 已知点 A 是正比例函数和反比例函数在第一象限的交点yx 2yx8（1）求点 A 的坐标；（2）如果直线经过点 A 且与 x 轴交于点 C，求 b 及点 C 的坐标。yxb4 312. 如图所示，在第四象限内的矩形 OABC，两边在坐标轴上，一个顶点在一次函数的图象上，当点 A 从左向右移动时，矩形的周长与面积也随之发生变化，设yx1 23线段 OA 长 m，矩形的周长为，面积为 s。l y A O
