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1、猜想型试题猜想型试题例例 1 1 （2005 年常州）如图，已知为等边三角形，、ABCD 、分别在边、上，且也是等边三角EFBCCAABDEF 形 （1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并 证明你的猜想是正确的； （2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？ 写出变化过程 分析：分析：本题要求学生在掌握全等三角形的概念和性质的基础上，灵活运用三角形全 等的判定及性质进行结论猜想。求解这类问题，不能随意乱猜，要结合题目给出的条件， 根据图形直观的找出结论后再进行合理的推理论证。 解：解：（1）图中还有相等的线段是：AE=BF=CD，AF=BD=CE， 事实上，ABC 与D
2、EF 都是等边三角形，A=B=C=60，EDF=DEF=EFD=60,DE=EF=FD，又CED+AEF=120，CDE+CED=120AEF=CDE，同理，得CDE=BFD， AEFBFDCDE（AAS） ，所以 AE=BF=CD，AF=BD=CE。 （2）线段 AE、BF、CD 它们绕ABC 的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转 120， 可互相得到，线段 AF、BD、CE 它们绕ABC 的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转 120,可互相得到。 说明：说明： 1.本题考查的是在三角形全等的判定及应用及旋转变换，它立意考查学生的观察、 分析问题的能力. 2.因为几何直观是一种思维形式，它是
3、人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别 或猜想的心理状态它不仅拓展了学生的思维空间，考查了学生的能力，更因为几何直 观具有发现的功能发现的功能这种思维既有形象思维的特点，又有抽象思维的特点，所以成为近 几年中考试题的考点及热点问题。练习一练习一 1.（2005 年北京丰台）已知：如图，四边形 ABCD 是菱形， E 是 BD 延长线上一点，F 是 DB 延长线上一点，且 DE=BF。 请你以 F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一 条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等 （只须证明一组线段相等即可） 。（1）连结_；（2）猜想：_=_；FEDCBAA F B D E C （
4、3）证明： 2 （2005 年河北）如图 1012（1） ，1012（2） ，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A，B 重合） ，另一条直角边与CBM 的平分线 BF 相交于点 F。 如图 1012（1） ，当点 E 在 AB 边的中点位置时： 通过测量 DE，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 ； 连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 ； 请证明你的上述两猜想。 如图 1012（2） ，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在
5、 AD 边上找到一点 N，使得 NE=BF，进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系。3 （2005 年河南）空投物资用的某种降落伞的轴截面如图所示，是等边三角形，ABG 、是以为直径的半圆的两个三等分点，、分别交于点、CDABOCGDGABE ，试判断点、分别位于所在线段的什么位置？并证明你的结论（证明一种情况FEF 即可）4 （2005 年潍坊）如图，已知平行四边形及四边形外一直线 ，四个顶点ABCDlA、 到直线 的距离分别为BC、Dlabcd、 （1）观察图形，猜想得满足怎样的关系式？证明你的结论abcd、 (2)现将 向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论l5
6、 5.（2005 年锦州）如图 a，ABC 和CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共 顶点 C，连接 AF 和 BE. (1)线段 AF 和 BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图 a 中的CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图 b，(1)中的结论还成立吗?作 出判断并说明理由； (3)若将图 a 中的ABC 绕点 C 旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形 c(草图 即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由； (4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现. 例题例题 2 2 （2005 年福建三明市）已知二次函数(为常数，=qpxxy2qp,)的图象与
7、轴相交于 A，B两点，且 A，B 两点间的距离为，042 qpx0 ,1x0 ,2xd例如，通过研究其中一个函数及图象(如图)，可得出表中第 2 行的相交652xxy数据。在表内的空格 中填上正确的数； 根据上述表内 d 与的值，猜想它 们之间有什么关系？ 再举一个符合条件的 二次函数，验证你的 猜想； 对于函数：(为常数，=)证明你的猜想。qpxxy2qp,042 qp分析：分析：用求根公式进行“两根差“的运算，也可以得到相 应猜想的证明；无论是先用的证明，还是先用的证明，只要两种 证明都正确。qpxxy2pq1x2xd652xxy561231xxy21221 41 2122xxy223解解
8、：第一行 ；0, 01xq21d第三行 ，=9，； 1p12x猜想： 2d例如：中；由得22xxy9, 2, 1qp022 xx， 9, 3, 1, 22 21ddxx2d证明。令，得，00y02qpxx设的两根为，02qpxx1x2x则+，1x2xpqxx21212 212 212 2124xxxxxxxxdqpqp4422说明：说明： 这是一道设计新颖的猜想题目，它不仅考查学生的分析，观察能力，而且还考查了 一元二次方程与函数的关系。通过猜想，归纳结论，从而体现从特殊到一般的认识规律 反映出从一般又回到特殊的思想的方法。 练习二练习二 1、 （河南课改）已知：在 RtABC 中，C900，
9、A、B、C 的对边分别为 a、b、c，设ABC 的面积为 S，周长为 l。 填表： 三边 a、b、cabcSl 3、4、52 5、12、134 8、15、176如果 abcm，观察上表猜想： _(用含有 m 的代数式表示)。S l 证明中的结论。1EGFBxOyCAD2 2、如图 1，平面直角坐标系中有一张矩形纸片 OABC，O 为坐标原点，A 点坐标为(10，0)， C 点坐标为(0，6)。D 是 BC 边上的动点(与点 B、C 不重合)，现将 COD 沿 OD 翻折，得 到 FOD；再在 AB 边上选取适当的点 E，将 BDE 沿 DE 翻折，得到 GDE，并使直线 DG、DF 重合。 (
10、1)如图 2，若翻折后点 F 落在 OA 边上，求直线 DE 的函数关系式； (2)设 D(0，6)，E(10，b)，求 b 关于 a 的函数关系式，并求 b 的最小值；(3)一般地，请你猜想直线 DE 与抛物线 y=x2+6 的公共点的个数，在图二的情形中1 24通过计算验证你的猜想；如果直线 DE 与抛物线 y=x2+6 始终有公共点，请在图一中1 24作出这样的公共点。2EGFBxOyCAD3、 （2003 年大连）已知 A1、A2、A3是抛物线上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分21 2yx别垂直于 x 轴，垂足为 B1、B2、B3，直线 A2B2交线段 A1A3于点 C。 （1）
11、如图，若 A1、A2、A3三点的横坐标依次为 1、2、3，求线段 CA2的长。（2）如图，若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐21 2yx2112yxx标为连续整数，其他条件不变，求线段 CA2的长。（3）若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为21 2yx2yaxbxc连续整数，其他条件不变，请猜想线段 CA2的长（用 a、b、c 表示，并直接写出答案） 。4、 （2005 年临沂）ABC 中，BC，AC，AB，若C=90，如图 1，根据勾股abcA1A2A3B3B2B1OCxy定理，则，若ABC 不是直角三角形，如图 2 和图 3，请你类比勾股定理，222cba试猜
12、想与的关系，并证明你的结论。22ba 2c能力训练能力训练 1 （2005 年青岛）在中，将一块等腰直角三角板的直角顶点放ABCACBCC290在斜边 AB 的中点 P 处，将三角板绕点 P 旋转，三角板的两直角边分别交射线 AC、CB 于 D、E 两点。图，是旋转三角板得到的图形中的 3 种情况。研究：（1）三角板绕点 P 旋转，观察线段 PD 和 PE 之间有什么数量关系？并结合图加以 证明。（ ）三角板绕点 旋转，是否能成为等腰三角形？若能，指出所有2PPBE情况（即写出为等腰三角形时的长）；若不能，请说明理由。PBECE（3）若将三角板的直角顶点放在斜边 AB 上的 M 处，且 AM：
13、MB1：3，和前面一样 操作，试问线段 MD 和 ME 之间有什么数量关系？并结合图加以证明。2 （2005 年苏州）(1)如图一，等边 ABC 中，D 是 AB 边上的动点，以 CD 为一边，向上 作等边 EDC，连结 AE。求证：AEBC； (2)如图二，将(1)中等边 ABC 的形状改成以 BC 为底边的等腰三角形，所作 EDC 改成 相似于 ABC。请问：是否仍有 AEBC？证明你的结论。3. （2005 年宜昌课改）如图，AB 是O 的直径,BD 是O 的弦，延长 BD 到点 C,使 DC=BD,连 接 AC 交O 与点 F. （1）AB 与 AC 的大小有什么关系?为什么?1EAB
14、CD2ECABD（2）按角的大小分类, 请你判断ABC 属于哪一类三角形，并说明理由.4 （2005 年玉林）如图(1)，AB 是O 的直径，射线 ATAB，点 P 是射线 A T 上的一个 动点(P 与 A 不重合)，PC 与O 相切于 C，过 C 作 CEAB 于 E，连结 BC 并延长 BC 交 AT 于点 D，连结 PB 交 CE 于 F(1)请你写出 PA、PD 之间的关系式，并说明理由；(2)请你找出图中有哪些三角形的面积被 PB 分成两等分，并加以证明； (3)设过 A、C、D 三点的圆的半径是 R，当 CF=R 时，求APC 的度数，并在图(2)41中作出点 P(要求尺规作图，
15、不写作法，但要保留作图痕迹)5 （2005 年绍兴）E、F 为ABCD 的对角线 DB 上三等分点，连 AE 并延长交 DC 于 P，连 PF 并延长交 AB 于 Q，如图 （1）在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图，试用刻度尺在图、中量O OF FD DC CB BA A得 AQ、BQ 的长度，估计 AQ、BQ 间的关系，并填入下表长度单位：cmAQ 长度BQ 长度AQ、BQ 间的关系图中图中由上表可猜测 AQ、BQ 间的关系是_ （2）上述（1）中的猜测 AQ、BQ 间的关系成立吗？为什么？ （3）若将ABCD 改为梯形（ABCD）其他条件不变，此时（1）中猜测 AQ、BQ 间的关 系是否成立？（不必说明理由）6、 （2005 年黑龙江）已知矩形 ABCD 和点 P，当点 P 在图 1 中的位置时，则有结论：SPBC=SPAC+SPCD理由：过点 P 作 EF 垂直 BC，分别交 AD、BC 于 E、F 两点图 l
