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1、本资料来源于本资料来源于七彩教育网七彩教育网http:/函数与一元二次方程函数与一元二次方程知识考点：知识考点：1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与轴的交点情况；x3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。精典例题精典例题：【例 1】已抛物线（为实数） 。1)2() 1(2xmxmym（1）为何值时，抛物线与轴有两个交点？mx（2）如果抛物线与轴相交于 A、B 两点，与轴交于点 C，且ABC 的面积为 2，求该抛物线的xy解析式。分析分析：抛物线与轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一x元二次方
2、程有两个不相等的实数根应满足的条件。m略解：（1）由已知有，解得且 0012mm0m1m（2）由得 C（0，1）0x又1mm aAB21121 21mmOCABSABC或 或34m54m132 312xxy156 512xxy【例 2】已知抛物线。)6(2)8(222mxmxy（1）求证：不论为任何实数，抛物线与轴有两个不同的交点，且这两个点都在轴的正半轴mxx上；（2）设抛物线与轴交于点 A，与轴交于 B、C 两点，当ABC 的面积为 48 平方单位时，求yx的值。m（3）在（2）的条件下，以 BC 为直径作M，问M 是否经过抛物线的顶点 P？解析：（1），由，可得0)4(22m082 21
3、mxx0)6(22 21mxx证。（2）)6(8)8(4)(222 212 2121mmxxxxxxBC42m)6(22mOA又 48ABCS48)6(2)4(2122mm解得或（舍去） 22m122m2m（3），顶点（5，9） ，16102xxy6BC M 不经过抛物线的顶点 P。69 评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。探索与创新：探索与创新：【问题问题】如图，抛物线，其中、分别是ABC 的4)(2 2cxbaxyabcA、B、C 的对边。（1）求证：该抛物线与轴必有两个交点；x（2）设有直线与抛物线交于点
4、 E、F，与轴交于点bcaxyyM，抛物线与轴交于点 N，若抛物线的对称轴为，MNE 与yax MNF 的面积之比为 51，求证：ABC 是等边三角形；（2）当时，设抛物线与轴交于点 P、Q，问是否存在3ABCSx过 P、Q 两点且与轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；若y不存在，请说明理由。解析：（1）)()(22cbacbacba， 0cba0cba0（2）由得aba 2ba 由得： bcaxycxbaxy4)(2 2 0432 accaxx设 E（，） ，F（，） ，那么：，1x1y2x2yaxx321accxx4221由51 得：MNESMNFS215xx 或215xx 215
5、xx由知应舍去。021 xx215xx由解得 2121 53xxaxx22ax ，即acca 42522 04522cacayx问题图 EQ FPMONyx问题图 EQ FPMON 或（舍去）ca 05 ca cbaABC 是等边三角形。（3），即 或（舍去）3ABCS3432a2a2a，此时抛物线的对称轴是，与轴的两交点坐标2cba142xxy2xx为 P（，0） ，Q（，0）3232设过 P、Q 两点的圆与轴的切点坐标为（0，） ，由切割线定理有：ytOQOPt2 故所求圆的圆心坐标为（2，1）或（2，1）1t评注：本题（1） （2）问与函数图像无关，而第（3）问需要用前两问的结论，解题时
6、千万要认真分析前因后果。同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。跟踪训练：跟踪训练：一、选择题：1、已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则mxmxy) 1(52xy2549的值为（ ）mA、2 B、12 C、24 D、2 或 242、已知二次函数（0）与一次函数（0）的图像交于点cbxaxy2 1amkxy2kA（2，4） ，B（8，2） ，如图所示，则能使成立的的取值范围是（ ）21yy xA、 B、 C、 D、或2x8x82x2x8xyx第 2 题图 BAOyx第 3 题图 EBAOyx第 4
7、 题图 BAO3、如图，抛物线与两坐标轴的交点分别是 A、B、E，且ABE 是等腰直角三角形，cbxaxy2AEBE，则下列关系：；其中正确的有（ 0 ca0b1ac2cSABE）A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个4、设函数的图像如图所示，它与轴交于 A、B 两点，线段 OA 与 OB1) 1(22mxmxyx的比为 13，则的值为（ ）mA、或 2 B、 C、1 D、231 31二、填空题：1、已知抛物线与轴交于两点 A（，0） ，B（，0） ，且23) 1(2kxkxyx，则 。1722k2、抛物线与轴的两交点坐标分别是 A（，0） ，B（，0） ，且mxmxy2) 12(2x
8、1x2x，则的值为 。121xxm3、若抛物线交轴于 A、B 两点，交轴于点 C，且ACB900，则 1212mmxxyxym。4、已知二次函数与轴交点的横坐标为、，则对于下列结1) 12(2xkkxyx1x2x)(21xx 论：当时，；当时，；方程0 有两个不2x1y2xx 0y1) 12(2xkkx相等的实数根、；，；，其中所有正确的结论是 1x2x11x12xkkxx21241（只填写顺号） 。三、解答题：1、已知二次函数（0）的图像过点 E（2，3） ，对称轴为，它的图像cbxaxy2a1x与轴交于两点 A（，0） ，B（，0） ，且，。x1x2x21xx 102 22 1 xx（1）
9、求这个二次函数的解析式；（2）在（1）中抛物线上是否存在点 P，使POA 的面积等于EOB 的面积？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。2、已知抛物线与轴交于点 A（，0） ，B（，0）两点，与42)4(2mxmxyx1x2x轴交于点 C，且，若点 A 关于轴的对称点是点 D。y21xx 0221 xxy（1）求过点 C、B、D 的抛物线解析式；（2）若 P 是（1）中所求抛物线的顶点，H 是这条抛物线上异于点 C 的另一点，且HBD 与CBD的面积相等，求直线 PH 的解析式；3、已知抛物线交轴于点 A（，0） ，B（，0）两点，交轴于点mmxxy223 212x1x2xyC，
10、且，。210xx112)(2COBOAO（1）求抛物线的解析式；（2）在轴的下方是否存在着抛物线上的点，使APB 为锐角、钝角，若存在，求出 P 点的横坐标x的范围；若不存在，请说明理由。3-5 函数与一元二次方程函数与一元二次方程一、选择题：CDBD 二、填空题：1、2；2、；3、3；4、21三、解答题：1、 （1）；（2）存在，P（，9）或（，9）322xxy1311312、 （1）；（2） 3、 （1）；862xxy103 xy223 212xxy（2）当时APB 为锐角，当或时APB 为钝角。30Px01Px43Px3-6 函数的综合运用函数的综合运用本资料来源于七彩教育网http:/
