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1、专题五专题五 综合类问题综合类问题第一节第一节 开放与探究开放与探究【例题经典例题经典】 条件开放条件开放 例例 1 如图，ABC=CDB=90，AC=a，BC=b，试探究 BD 与 a、b 满足什么关系时， ABC 与CDB 相似？【解析】根据题目所给条件及要求，可结合直角三角形相似的判定方法来加以解决，要 注意分两种情况考虑【解答】当 BD=222bb abBDaa或时，图中ABC 与CDB 相似例例 2 （2006 年泰州市）已知：MAN=30，O 为边 AN 上一点，以 O 为圆心，2 为半 径作O，交 AN 于 D，E 两点，设 AD=x（1）如图（1）当 x 取何值时，O 与 AM
2、 相切； （2）如图（2）当 x 为何值时，O 与 AM 相交于 B，C 两点，且BOC=90【解答】 （1）在图（1）中，当O 与 AM 相切时，设切点为 F 连结 OF，则 OFAM，在 RtAOF 中，MAN=30，OF=1 2OA2=1 2（x+2） ，x=2，当 x=2 时，O 与 AM 相切 （2）在图（2）中，过点 O 作 OHBC 于 H 当BOC=90时，BOC 是等腰直角三角形，BC=222222OBOC=22，OHBC，BH=CH，OH=1 2BC=2在 RtAHO 中，A=30，OH=1 2OA，2=1 2（x+2） ，x=22-2当 x=22-2 时，O 与 AM 相
3、交于 B，C 两点，且BOC=90 【点评】解答这类问题往往是把结合反过来当条件用，本例利用了圆的切线性质和 垂径定理，构造特殊直角三角形，使问题得以求解结论开放结论开放 例例 3 （2006 年莆田市）已知矩形 ABCD 和点 P，当点 P 在边 BC 上任一位置（如图 所示）时，易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当 P点分别在图、图 中的位置时，PA2、PB2、PC2和 PD2又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况 的探究结论，并利用图证明你的结论答：对图的探究结论为_ 对图的探究结论为_证明：如图 2结论均是：PA2+PC2=PB2+PD2证明：如图过点 P 作
4、MNAD 交 AD 于点 M，交 BC 于点 NADBC，MNAD，MNBC在 RtAMP 中，PA2=PM2+MA2在 RtBNP 中，PB2=PN2+BN2在 RtDMP 中，PD2=DM2+PM2在 RtCNP 中，PC2=PN2+NC2PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2MNAD，MNNC，DCBC四边形 MNCD 是矩形MD=NC同理 AM=BNPM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2即 PA2+PC2=PB2+PD2【评析】本题也是一道结论开放题，通过阅读题目已知条件及要求，不难探究出正 确结论，但是说明
5、理由时，有一定的难度正确作出辅助线，创造使用勾股的条件，是 解决问题的关键【考点精练考点精练】 1 （2006 年山东省）如图，ABC 中，D、E 分别是 AC、AB 上的点，BD 与 CE 交于点 O给出下列三个条件：EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形）； （2）选择第（1）小题中的一种情形，证明ABC 是等腰三角形2 （2006 年随州市）如图，矩形 ABCD 中，M 是 AD 的中点（1）求证：ABMDCM； （2）请你探索，当矩形 ABCD 中的一组邻边满足何种数量关系时，有 BMCM 成 立，说明你
6、的理由3如图，在ABC 中，D 为 BC 上一个动点（D 点与 B、C 不重合） ，且 DEAC 交 AB于点 E，DFAB 交 AC 于点 F（1）试探究，当 AD 满足什么条件时，四边形 AEDF 是菱形？并说明理由 （2）在（1）的条件下，ABC 满足什么条件时，四边形 AEDF 是正方形？请说明 理由4如图，AB 是O 的直径，EF 是O 的切线，切点是 C点 D 是 EF 上一个动点，连 接 AD试探索点 D 运动到什么位置时，AC 是BAD 的平分线，请说明理由5 （2006 年成都市）已知：如图，在ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是线段 BC延长线 上一点，过点 A 作 B
7、E 的平行线与线段 ED 的延长线交于点 F，连结 AE、CF（1）求证：AF=CE； （2）若 AC=EF，试判断四边形 AFCE 是什么样的四边形，并证明你的结论6 （2006 年常德市）如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA、PB、PC，以 BP 为边作PBQ=60，且 BQ=BP，连结 CQ（1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论 （2）若 PA：PB：PC=3：4：5，连结 PQ，试判断PQC 的形状，并说明理由7如图，AB 是O 的直径，AD、BC、DC 都是O 的切点，A、B、E 分别是切点（1）判定COD 的形状，并说明理由 （2）设 AD
8、=a，BC=b，O 的半径为 r，试探究 r 与 a，b 之间满足的关系式，并说 明理由8 （2006 年绵阳市）在正方形 ABCD 中，点 P 是 CD 上一动点，连结 PA，分别过点 B、D 作 BEPA、DFPA，垂足分别为 E、F，如图（1）请探索 BE、DF、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系若点 P 在 DC的 延长线上（如图） ，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点 P 在 CD的延长线上呢（如图）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明答案答案: 考点精练 1答案不惟一，符合题意即可 2 （1）略 （2）当 AD=2AB 时，有 B
9、MCM 成立说明理由（略） 3 （1）当 AD 平分BAC 时，四边形 AEDF 是菱形理由（略） （2）在（1）的条件下，当BAC=90时，四边形 AEDF 是正方形说明理由（略） 4当点 D运动到满足条件 ADEF 时，AC 平分BAD证明（略） 5 （1）证明ADFCDE 即可 （2）四边形 AFCE 是矩形 （证明略） 6 （1）证明BPABQC，AP=CQ （2）PQC 是直角三角形， PA：PB：PC=3：4：5， 设 PA=3k，PB=4k，PC=5k， PBQ=60，BP=BQ，PBQ 是等边三角形， PQ=PB=4k，在PQC 中， PQ2+QC2=（4k）2+（3k）2=25k2，PC2=（5k）2=25k2， PQ2+QC2=PC2，PQC 是 Rt 7 （1）COD 是直角三角形，连 OE， 由圆的切线的性质可证得：OADOED，OECOBC， AOD=EOD，EOC=BOC，可证得DOC=90， 所以COD 是直角三角形 （2）r 与 a、b 之间满足的关系是 r2=ab证明OADCBO，得OAAD BCOB，OAOB=ADBC 即 r2=ab 8解：（1）BE=DF+EF，BE=DF-EF，EF=BE+DF （2）证明略
