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1、竞赛讲座 25 绝对值与二次根式绝对值与二次根式1 绝对值例 1 （1986 年扬州初一竞赛题）设 T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中 0p15.对 于满足 px15 的 x 的来说，T 的最小值是多少？解由已知条件可得T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x.当 px15 时，上式中在 x 取最大值时 T 最小；当 x=15 时，T=30-15=15，故 T的最小值是 15.例 2 若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于 0.试证这两个数 都不在-1 与-之间.证 设两数为 a、b，则|a|+|b|=|a|b|.|b|=|a|b|-|a|=|a|（
2、|b|-1）.ab0，|a|0，|b|0.|b|-1=0，|b|1.同理可证|a|1.a、b 都不在-1 与 1 之间.例 3 设 a、b 是实数，证明|a|-|b|a+b|a|+|b|.证明 当|a|-|b|0 时，|a|-|b|a+b|成立.当|a|-|b|0 时，由于（|a|-|b|）2-|a+b|2=（a2+b2-2|ab|）-（a2+b2+2ab）=-2（|ab|-ab）0，|a|-|b|a+b|.同理可证|a+b|a|+|b|.2 根式在根式进行化简、求值和证明的过程中，常采用配方法、乘方法、比较系数法、 设参法、公式法等等，现举例如下：（1） 配方法：将二次根号内的式子配成完全平
3、方式，将三次根号下的式子配 成完全立方式.例 4 (1981 年宁波初中竞赛题)设的整数部分为 x,小数部分为 y,试求的值.解=4-=2+(2-),故 x=2,y=2-,x+y+=4-+2+=6.例 5 化简解 原式=|x+3|+|x-1|-|x-2|.令 x+3=0，x-1=0，x-2=0.得 x=-3，x=1，x=2，这些点把数轴划分成四个部分：当 x-3 时原式=-（x+3）-（x-1）+（x-2）=-x-4；当-3x1 时，原式=（x+3）-（x-1）+（x-2）=x+2；当 1x2 时，原式=（x+3）+（x-1）+（x-2）=3x；当 x2 时，原式=（x+3）+（x-1）-（x
4、-2）=x+4.说明：将根号下含字母的式子化为带绝对值的式子来讨论，是解这类问题的一般 技巧.例 6 化简（a0）.解原式=a0. a22b2，原式=例 7 求证：证明：=原式=4.(2)乘方法:由于乘方与开方互为逆运算,顺理成章地可以用乘方的方法去根号例 8 已知求证:(x+y+z)3=27xyz.证明:两边立方x+y+即再边再立方得（x+y+z）3=27xyz.例 9 已知求证 证明 设则即 同理可设则A+B=由 A+B=a，得 （2） 比较系数法例 10 求满足条件的自然数 a、x、y.解 将等式两边平方得x、y、a 都是自然数.只能是无理数，否则与等式左边是无理数相矛盾.x+y=a，x
5、y=6.由条件可知 xy 且 x、y 是自然数.当 x=6 时，y=1，得 a=7.当 x=3 时，y=2，得 a=5.故 x=6,y=1,a=7.或 x=3,y=2,a=5.例 11 化简分析 被开方式展开后得 13+2,含有三个不同的根式,且系数都是 2,可看成是将平方 得来的.解 设=,两边平方得13+2=x+y+z+2比较系数,得 由有，代入，得代入，得 y2=52，y=5（x、y、z 非负） ，=1，原式=1+（4）设参法例 12 （1986 年数理化接力赛题）设（a1，a2，an，b1，b2，bn 都是正数）.求证:=证明 设且 a1=b1k,a2=b2k,，an=bnk.左边=右
6、边=左边=右边（5）公式法、代数变换及其他例 13 已知 x=求 x3+12x 的值.解 由公式（a-b）3=a3-b3-3ab（a-b）可得=8-3=8-12x.x3+12x=8.例 14 设求 x4+y4+（x+y）4.解 由条件知x+y=5，xy=1.原式=(x2+y2)2-2x2y2+(x+y)4=(x+y)2-2xy2-2x2y2+(x+y)4=(25-2)2-2+54=1152.例 15 (1978 年罗马尼亚竞赛题)对于 aR，确定的所有可能的值.解 记 y=. 先假定 a0，这时 y0，把两边平方得即 再平方，整理后得从而 0.由知 y22a2+2-2=2.再由知 y21，0y
7、1.反过来,对于0,1中的每一个 y 值,由可以定出 a，并且这时 2a2+2-y20，故可 由逆推出和，因而在 a0 时，的值域为（0，1）.同样在 a0 时，的值域为（-1，0） ，综上的值域是（-1，1）.练习十七1 选择题（1）若实数 x 满足方程|1-x|=1+|x|，那么等于（ ）.（A）x-1（B）1-x（C）（x-1） （D）1（E）-1（2）方程 x|x|-5|x|+6=0 的最大根和最小根的积为（ ）.（A）-6 （B）3 （C）-3 （D）6 （E）-18（3）已知最简根式与是同类根式，则满足条件的 a、b 的值（ ）.（A） 不存在 （B）有一组 （C）有二组 （D）多
8、于二组2 空题（1） 已知|x-8y|+（4y-1）2+则 x+y+z=_.（2） 若 abc0，l1=乘积中最小的一个是_.（3） 已知 0x1，化简（4） 已知则（5） （北京市 1989 年高一数学竞赛题）设 x 是实数，且 f（x） =|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则 f（x）的最小值等于_.3.化简(a0).4.已知 ab0，a2+b2=a2b2，化简5如果 x0，y0，且试求的值.6 （第 8 届美国教学邀请赛试题）求的值.7求适合下列各式的 x、y；（1）若 x、y 为有理数，且（2）若 x、y 为整数，8已知求证 a2+b2=1.9已知 A=求证1
9、1A3-B312A3+B313.10 （1985 年武汉初二数学竞赛题）已知其中 a、b 都是正数.（1） 当 b 取什么样的值时，的值恰好为 b？（2） 当 b 取什么样的值时，的值恰好为？练习十七1.略2 （1）3 （2）l （3）2x （4）a2-2 （5）6.当时，当时，若，原式；若 ，原式原式原式 （）（），；，由条件知两边平方后整理得再平方得 1-2b2-2a2+b4+2a2b2+a4=0 即 1-2(a2+b2)+(a2+b2)2=0,1-(a2+b2)2=0,a2+b2=1.9.A2+B2=6,AB=2,(A+B)2=1,A+B=,A-B=,A3-B3=(A-B)+3AB(A-B)=当 b0 时，原式值为 b，当 0b1 时，原式值为
