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1、高考专题训练(三十二) 函数与导数(解答题)1(2014皖南八校联考)已知函数 f(x)ex(ax22x2)，其中 a0.(1)若曲线 yf(x)在 x2 处的切线与直线 xe2y10 垂直，求实数a 的值；(2)讨论 f(x)的单调性解 f(x)exax2(2a2)x(a0)新 课 标 第 一 网(1)由题意得 f(2)1，解得 a .(1e2)58(2)令 f(x)0，得 x10，x2.22aa当 01 时，f(x)的增区间为，(0，)，减区间为(，22aa).(22aa，0)2(2014云南二模)已知 f(x)ex(x3mx22x2)(1)假设 m2，求 f(x)的极大值与极小值；(2)
2、是否存在实数 m，使 f(x)在2，1上单调递增？如果存在，求实数 m 的取值范围；如果不存在，请说明理由解 (1)当 m2 时，f(x)ex(x32x22x2)的定义域为(，)来源:学。科。网 Z。X。X。Kf(x)ex(x32x22x2)ex(3x24x2)xex(x2x6)(x3)x(x2)ex，当 x(，3)或 x(0,2)时，f(x)0；f(3)f(0)f(2)0，f(x)在(，3)上单调递减，在(3,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，当 x3 或 x2 时，f(x)取得极小值；当 x0 时，f(x)取得极大值，f(x)极小值f(3)37e3，f(x)极小
3、值f(2)2e2，f(x)极大值f(0)2.(2)f(x)ex(x3mx22x2)ex(3x22mx2)xexx2(m3)x2m2f(x)在2，1上单调递增，当 x2，1时，f(x)0.又当 x2，1时，xex0，f(x)在(0,1)上是增函数；当 x(1，)时，f(x)0，b1 恒成立x.k.b.11xlnxx令 g(x)1 ，可得 g(x)，1xlnxxlnxx2g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，g(x)ming(1)0，b 的取值范围是(，03(理)(文)4.(2014广州调研)已知 f(x)是二次函数，不等式 f(x)0.w w w .x k b 1.c o mf(
4、x)2ax5a.函数 f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线 6xy10 平行，f(1)6.2a5a6，解得 a2.f(x)2x(x5)2x210x.(2)由(1)知，方程 f(x)0 等价于方程 2x310x2370.37x设 h(x)2x310x237，则 h(x)6x220x2x(3x10)当 x时，h(x)0，函数 h(x)在上单调递增(103，)(103，)h(3)10，h0，(103)127方程 h(x)0 在区间，内各有一个实数根，在区间(0,3)，(3，103) (103，4)(4，)内没有实数根存在唯一的正整数 t3，使得方程 f(x)0 在区间(t，t1)内有37x且只有
5、两个不相等的实数根4(理)(文)5.(2014辽宁五校联考)已知函数 f(x)xlnx.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)证明：对任意的 t0，存在唯一的实数 m 使 tf(m)；(3)设(2)中所确定的 m 关于 t 的函数为 mg(t)，证明：当 te 时，有0)，X |k |B| 1 . c|O |m令 f(x)0，得 x .1e当 x时，f(x)0，f(x)在上单调递增(1e，)(1e，)(2)当 00，令 h(x)f(x)t，x1，)，由(1)知 h(x)在区间1，)上为增函数，h(1)t0，存在唯一的实数 m，使 tf(m)成立(3)mg(t)且由(2)知 tf(m)，t0，
6、当 te 时，若 mg(t)e，则由 f(m)的单调性有 tf(m)f(e)e，矛盾，me.又，其中lngtlntlnmlnfmlnmlnmlnmlnmlnmlnlnmuulnuulnm，u1，要使1，F(u) ，371u37当 10，F(u)单调递增；73当 u 时，F(u)1，F(u)Fe 时，1 成立710lngtlnt5(理)(2014浙江考试院抽测)已知 a 为给定的正实数，m 为实数，函数 f(x)ax33(ma)x212mx1.(1)若 f(x)在(0,3)上无极值点，求 m 的值；(2)若存在 x0(0,3)，使得 f(x0)是 f(x)在0,3上的最值，求实数 m 的取值范围
7、解 (1)由题意得 f(x)3ax26(ma)x12m3(x2)(ax2m)，由于 f(x)在(0,3)上无极值点，故2，所以 ma.2ma(2)由于 f(x)3(x2)(ax2m)，故当0 或3，2ma2ma即m0 或 m a 时，新-课-标-第-一-网32取 x02 即满足题意此时 m0 或 m a.32当 02，即 0ma 时，列表如下：2max0(0，2ma)2ma(2ma，2)2(2,3)3f(x)00f(x)1单调递增极大值单调递减极小值单调递增9m1故 f(2)f(0)或 ff(3)，(2ma)即4a12m11 或19m1，4m312m2aa2即 3ma 或0，m2m3a2a2即 m 或 m0 或 m.a33a2此时 0m .a3当 23，即 am时，列表如下：2ma3a2x0(0,2)2(2，2ma)2ma(2ma，3)3f(x)00f(x)1单调递增极大值单调递减极小值单调递增9m1故 ff(0)或 f(2)f(3)，(2ma)即11 或4a12m19m1，4m312m2aa2即0 或 3m4a，4m2m3aa2即 m0 或 m3a 或 m.4a3此时m.4a33a2综上所述，实数 m 的取值范围是 m 或 m.a34a3新课标第一网系列资料
