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1、对比解法对比解法 反思教学反思教学本文用三种方法证明一道反比例函数中考题.这三种方法的思维起点不同，我们可以从 解题思路的形成过程中，对比各种方法的优劣，以提高解题能力.一、问题(2016 年淄博中考题)反比例函数ayx(0a ，a为常数)和2yx在第一象限内的图象如图 1 所示，点M在ayx的图象上，MCx轴于点C，交2yx的图象于点A；MDy轴于点D，交2yx的图象于点B，当点M在ayx的图象上运动时，以下结论：ODBOCASSVV四边形OAMB的面积不变;、 当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点.其中正确结论的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3二、解法分析 1 解答易
2、，略. 如图 1，要证明点B是MD的中点，因为A是MC的中点，若/ABCD，有MABMCDV: V，则MAMB MCMD点B是MD的中点成立.由于点A、B在同一反比例函数2yx图象上，可联想到图 2 所示的AOCBODSSVV，这两个三角形面积相等如何联系到/ABCD？于是想到图 3 中，当ABCABDSSVV时，有/ABCD.至此，图 1 中，将ACOV积转化成AB、CD两线中间的三角形，就成为求解的关健.根据两条平行线之间同底的三角形面积相等，由/ACOD，ACOACDSSVV，这样就把ACOV等积转化成ACDV.同理，由/BDOC，BDOBDCSSVV，把BDOV等积转化成BDCV则AC
3、DV与BDCV就是我们要寻找的三角形.又ACOBDOSSVV，ACDBDCSSVV再由图 3 基本图形的结论可以得到/ABCD. 证明 1 连结AB、CD、AD、BC 点A、B在同一反比例函数上，AOCBODSSVV/ACOD，/BDOCACOACDSSVV，BDOBDCSSVVACDBDCSSVV/ABCD MABMCDV: VMAMB MCMDA是MC的中点B是MD的中点分析，由题意可知，若MAMB ACBD成立，当点A是MC的中点时，点B是MD的中点成立.我们考虑能否用代数方法求出线段MA、AC、MB、BD的长，再算出MA AC和MB BD的值，然后看MA AC和MB BD的值是否相等，
4、这个思路更朴素一些.如图 4，不妨设( , )M m n，点A、B在反比例函数2yx上，则2( ,)A mm，2( ,)B nn，还可以求出( ,0)C m，(0, )Dn，容易求出线段MA的长为2nm线段AC的长为2 m，线段MB的长为2mn，线段 BD 的长为2 n又2122nMAmnm AC m ，2122mMBmnn BD n 所以MAMB ACBD，问题得证.证明 2 设( , )M m nMCxQ轴，MDy轴( ,0)C m，(0, )Dn点A、B在反比例函数2yx上2( ,)A mm，2( ,)B nn2MAnm，2ACm，2MBmn，2BDn2122nMAmnm AC m ，2
5、122mMBmnn BD n .MAMB ACBD.A是MC的中点B是MD的中点.分析 3 如图 5，由题意可知，点A是MC的中点，若MAMB ACBD成立，则点B是MD的中点成立.于是，问题就转化成证明MAMB ACBD点A和B在同一个反比例函数的图象上，容易想到的是作AFOD，BEOC；则矩形OCAF和矩形ODBE面积相等，即OCAFODBESS，又由OCAFODBESS，容易得出FGBDECAGSS而FGBDECAGSS (或OCAFODBESS)要关联MAMB ACBD才行，显然它们之间没有直接联系，继续观察图形，可以看到MABG、MBAG.于是把MAMB ACBD换成BGAG ACB
6、D，问题又转化FGBDECAGSS (或OCAFODBESS)，需要BGAG ACBD.由图 4 可以看到FGBDBG BDSg，ECAGAG ACSg这样，由FGBDECAGSS，可以轻松得出BGAG ACBD，进而证明了MAMB ACBD证明 3 作AFOD，BEOC，AF和BE交点为G. 点A、B在同一反比例函数上，OCAFODBESSFGBDECAGSSFGBDBG BDSg，ECAGAG ACSgBG BDAG ACggBGAG ACBDMABGQ，MBAGMAMB ACBDA是MC的中点B是MD的中点3 对比解法，反思教学 以上证法 1 主要应用了图 2 和图 3 两个基本图形的结
7、论，解题时要求能想到着两个结 论，还要在图 1 中添加辅助线构造出图 3 所示的基本图形，才能证明出图 1 中的/ABCD.证 法 2 的起点低，用代数方法解决，设出点M的坐标，用代数方法分别求出线段MA、 AC、MB、BD的长，再计算线段之比，得出结论.证法 3 从学生熟悉的结论OCAFODBESS入手，一步一步向MAMB ACBD靠拢，当发现不能直接得出结论时，将相等的线段进行替换，欲证的MAMB ACBD转化成BGAG ACBD，而BGAG ACBD经过变形变为BG BDAG ACgg，从而与学生熟悉的OCAFODBESS “无缝对接”，问题得证.解法 1 的思维起点是图 2 和图 3
8、所示两个基本图形的结论，有了这 2 个两个基本图形 结论的经验、就容易想到解法 1.笔者用解法 1 教学时没有达到预期的效果，于是想到能不 能用代数方法求解，探究后发现解法 2 的起点低，设出M的坐标后，只要计算无误，就能 正确解答.解法 2 易于理解，但不能确定什么条件下用代数方法求解，什么条件下不能用代 数方法求解.这三种解法相比，解法 2 最简单，学生容易接受，类似的问题也可以用同样的 方法解决.解法 3 符合学生的思路.学生对图 5 中OCAFODBESS较为熟悉，从学生熟悉的OCAFODBESS入手，一环扣一环的展开思考，顺利引导学生独立证明了问题.与解法 2 相比，解法 3 稍繁琐.但在证明的过程中，学生运用了反比例函数问题中的面积法，强化了数 学解题中的转化思想，发展了学生的思维，提高了学生的解题能力.综上所述，在解题教学中，要从学生的实际情况出发，找到学生思维的最近发展区， 根据学生现有的知识积累和解题经验寻找解题思路.这样的解题思路才是学生易于理解的思 路;这样的解题教学可以发展学生的数学思维，培养学生的解题习惯，提高学生的解题能力.
