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1、专题复习专题复习(六六) 几何综合题几何综合题1(2016德州)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形(1)如图 1，四边形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别为边 AB、BC、CD、DA 的中点求证：中点四边形 EFGH 是平行四边形； (2)如图 2，点 P 是四边形 ABCD 内一点，且满足 PAPB，PCPD，APBCPD.点 E、F、G、H 分别为边 AB、BC、CD、DA 的中点猜想中点四边形 EFGH 的形状，并证明你的猜想； (3)若改变(2)中的条件，使APBCPD90，其他条件不变，直接写出中点四边形 EFGH 的形状(不必证明)图
2、1 图 2 解：(1)证明：连接 BD.E、H 分别是 AB、AD 的中点，EH BD，EHBD.12F、G 分别是 BC、CD 的中点，FG BD，FGBD.12EHFG，EHFG. 中点四边形 EFGH 是平行四边形 (2)中点四边形 EFGH 是菱形 证明：连接 AC、BD.APBCPD，APBAPDCPDAPD，即BPDAPC. 又PAPB，PCPD，APCBPD(SAS)ACBD. 点 E、F、G 分别为边 AB、BC、CD 的中点，EF AC，FG BD.EFFG.1212 又四边形 EFGH 是平行四边形，中点四边形 EFGH 是菱形图 3 (3)当APBCPD90时，如图 3，
3、AC 与 BD 交于点 O，BD 与 EF，AP 分别交于点 M，Q，中点四边形EFGH 是正方形理由如下： 由(2)知：APCBPD，PACPBD. 又AQOBQP，AOQAPB90. 又EFAC，OMFAOQ90. 又EHBD，HEFOMF90. 又四边形 EFGH 是菱形，中点四边形 EFGH 是正方形2(2016菏泽)如图，ACB 和DCE 均为等腰三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连接 BE.(1)如图 1，若CABCBACDECED50.求证：ADBE； 求AEB 的度数； (2)如图 2，若ACBDCE120，CM 为DCE 中 DE 边上的高，BN 为ABE 中 AE 边上
4、的高，试证明：AE2CMBN.32 33图 1 图 2 解：(1)证明：CABCBACDECED，ACBC，CDCE.CABCBACDECED， ACBDCE.ACDBCE. ACDBCE(SAS)ADBE. 由得ACDBCE，ADCBEC180CDE130. AEBBECCED1305080. (2)证明：在等腰DCE 中，CDCE，DCE120，CMDE，DCM DCE60，DMEM.12 在 RtCDM 中，DMCMtanDCMCMtan60CM，DE2CM.33由(1)，得ADCBEC150，ADBE，AEBBECCED120. BEN60.在 RtBEN 中，BEBN.BNsin60
5、2 33ADBEBN.2 33又AEDEAD，AE2CMBN.32 333(2016东营)如图 1，ABC 是等腰直角三角形，BAC90，ABAC，四边形 ADEF 是正方形，点 B、C分别在边 AD、AF 上，此时 BDCF，BDCF 成立 (1)当ABC 绕点 A 逆时针旋转 (01)，EFBC.(1)求D 的度数； (2)若两三角形重叠部分的形状始终是四边形 AGDH. 连接 GH，AD，当 GHAD 时，请判断四边形 AGDH 的形状，并证明； 当四边形 AGDH 的面积最大时，过 A 作 APEF 于 P，且 APAD，求 k 的值解：(1)AB2AC26282102BC2，BAC9
6、0. 又DEFABC，DBAC90.(2)四边形 AGDH 是正方形 证明：延长 ED、FD 分别交 BC 于点 M、N.DEFABC，EB. 又EFBC，EEMC.BEMC.EDBA. 同理 FDAC. 四边形 AGDH 是平行四边形 又FDE90，四边形 AGDH 是矩形 又ADGH，四边形 AGDH 是正方形 当 D 点在ABC 内部时，四边形 AGDH 的面积不可能最大 其理由是：如图 1，点 D 在内部时，延长 GD 到 D，过 D作 MDAC 于点 M，则四边形 GDMA 的面积大于矩 形 AGDH 的面积，当点 D 在ABC 内部时，四边形 AGDH 的面积不可能最大 按上述理由
7、，只有当 D 点在 BC 边上时，面积才有可能最大图 1 图 2 如图 2，D 在 BC 上时，易证明 DGAC，GDBACB.，即.BGBAGDACBAAGBAAHAC，即 AH8 AG.6AG6AH843S矩形 AGDHAGAHAG(8 AG) AG28AG (AG3)212.434343 当 AG3 时，S矩形 AGDH最大，此时DGAH4. 即当 AG3，AH4，S矩形 AGDH最大 在 RtBGD 中，BD5，则 DCBCBD5.BG2DG2即 D 为 BC 上的中点时，S矩形 AGDH最大在 RtABC 中，AD5，PAAD5.BC2 延长 PA 交 BC 于点 Q，EFBC，QP
8、EF，QPBC. QP 是 EF、BC 之间的距离 D 到 EF 的距离为 PQ 的长在 RtABC中， ABAC BCAQ，1212AQ4.8. 又DEFABC，k.PQAQPAAQAQ54.84.8492410(2016河南)(1)发现如图 1，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BCa，ABb. 填空：当点 A 位于 CB 延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 ab(用含 a，b 的式子表示)图 1 (2)应用 点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC3，AB1.如图 2 所示，分别以 AB，AC 为边，作等边三角形 ABD 和等边三 角形 ACE，连接 CD，BE. 请找
9、出图中与 BE 相等的线段，并说明理由；直接写出线段 BE 长的最大值 (3)拓展 如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(5，0)，点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA2，PMPB，BPM90.请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标图 2 图 3 备用图 解：(2)DCBE.理由如下：ABD 和ACE 为等边三角形， ADAB，ACAE，BADCAE60.BADBACCAEBAC，即CADEAB. CADEAB.DCBE. BE 长的最大值是 4. (3)AM 的最大值为 32，点 P 的坐标为(2，)222提示：如图 3，构造BNPMAP，则 NBAM，易得APN 是等腰直角三角形，AP2，AN2.由(1)知，2当点 N 在 BA 的延长线上时，NB 有最大值(如备用图)AMNBABAN32.2过点 P 作 PEx 轴于点 E，PEAE.2又A(2，0)，P(2，)22
