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1、巧用等角条件巧用等角条件 生成自然解法生成自然解法二次函数与三角形知识相综合的问题中，其已知条件含一对角相等或与角有关的数量 关系，要求解决相关问题.本文通过例题对这一类问题的解题策略作一初步的研究.一、借助锐角三角比，发挥等角作用例题 1 (2016 年上海市中考题)如图 1,抛物线经过点(4，-5)，25(0)yaxbxaA与轴的负半轴交于点，与轴交于点，且,抛物线的顶点为点.xByC5OCOBD(1)求这条抛物线的表达式;(2)连结、，求四边形的面积;ABBCCDDAABCD(3)如果点在轴的正半轴上，且，求点的坐标.EyBEOABC E图 1解 (1)根据抛物线表达式，可知点坐标为(0
2、，-5).由条件，可得点坐C5OCOBB标为(-1,0).又已知过点(4，-5)，可得这条抛物线的表达式为.A245yxx(2)连结.AC抛物线的表达式为,Q245yxx，2(2)9yx.(2, 9)D,14 5102ABCS 14 482ACDS .=+10818ABCACDABCDSSS四边形(3)过点作，垂足为点.CCHABH,22(4 1)( 5)5 2AB Q又的面积为 10,ABC,15 2102CH,又.2 2CH261BCBO，在 Rt中，BHC，22=3 2BHBCCHQ.2tan3CHABCBH在 Rt 中，BEO,tan,BOBEOBEOABCBE Q,tantanBEO
3、ABC,213,32BOCHEOBEBHEO.3(0, )2E点评 第(3)小题中已知条件给出一对角相等，求满足条件的点的坐标.将问题与第(2) 小题相联系，即可知利用等积法求出边上的高，为在锐角三角比中发挥等角的作用搭AB 设好“脚手架” ，解题思路自然、顺畅，一气呵成.二、构造相似三角形，建立等量关系对于此题中的第(3)题，由已知条件中给出一对角相等，我们也可以从相似三角形的角 度出发，尝试解决问题.记与轴相交于点.AByF(4，-5) , (-1,0)，AQB直线的表达式为，AB1yx 又的坐标为(0，-1)，.F4CF ，又,BEOABC QBCFBCE ,BECFBCBCCF ECB
4、C,264 526EO解得.33,(0, )22EOE点评 根据已知一对角相等，把已知的这对等角放在和中，学生容易BECBCF 借助图形直观挖掘图形特征，寻找隐含条件另一对相等的角，证明这两个三角形相似，得 出对应边成比例，建立等量关系，从而求出点的坐标.E对于利用相似三角形的方法，我们还可以从其他角度观察并寻找解题途径:将已知的这一对等角放在与中，观察的特征，不难发现，进而可ABCBEFABC45BAC 以证明，所以这两个三角形相似，求出点的坐标，具体如下:45BFEE(4，-5) , (-1,0)， ，AQB直线的表达式为,AB1yx 其与轴的交点的坐标为(0，-1)，yF.4CF又轴，4
5、,/ACACx,45BACCFA .45 ,BFEBACBFE 又,BEOABC ,ABCFEB,5 24,12ABAC EFBFEO解得.33,(0, )22EOE点评 这种解法是利用含有 45角的两个三角形相似求解相关点的坐标.根据与ABC 相似，可以推出三边对应成比例，选取两对边对应成比例，联立方程，解方程即可.BEF对于利用相似三角形解题，还有其他构造方法.如，将放在中，发现ABCBCF ，因此可以构造一个含有 135的钝角三角形，且其中一个角为，所135BFCBEF以可以在轴的正半轴上截取，所以，进而求yOMOB135 ,BMEEMB BFC出点的坐标.E三、构造几何图形，借助图形性
6、质例题 2 (2012 年上海中考题)如图 2，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点 (4,0), (-1,0)，与轴交于点，点在线段上，26yaxxcAByCDOC，点在第二象限，垂足为.ODtE190 ,tan,2ADEDAEEFODF(1)求这个二次函数的解析式;(2)求线段、的长(用含 的代数式表示);EFOFt (3)当时，求 的值.ECAOAC t解 (1)由题意得二次函数的解析式为.2268yxx (2),90ADEQ .90EDFODA ,EFODQ ,90EDFDEF .DEFODA 又,90EFDDOA ,EFDDOA.EFFDED DOAOAD.11tan,22EDD
7、AEADQ，点(4,0)，ODtQA.,22tEFOFt (3)延长交轴于点.CExG.,ECACAOCGAG Q设,( ,0),(0,8), (4,0)G xCAQ,2228(4)xx.6,( 6,0),6xGGO ,/,EFCFEFGOGOCOQ又,810CFOFt.1 102,668ttt点评 本题第(3)小题中已知条件是一对角相等，自然联想到将这一对角如果放在一个三角形中就构成一个等腰三角形，从而想到“等角对等边” ，求出的长，再由GO ，的条件建立等量关系，解出 的值.本题的解法较多，也可以利用等腰三角形/EFGOt“三线合一”的性质求出的长.无论哪种解法，解决问题的关键都是使用已知
8、的这一对GO 等角，结合已知条件，构造相关几何图形，发挥这一对角的作用.如，还可以把这一对角放 在一个梯形中，构造等腰梯形;放在两个三角形中，构造全等三角形。这些的方法的自然生 成都离不开对几何图形性质的理解和学习经验的积累.四、转化已知条件，寻找基本图形例题 3 在平面直角坐标系中，将抛物线xOy向下平移使之经过点 (8,0)，平移后21(3)4yxA的抛物线交轴于点.点在平移后抛物线的对称yBD 轴上且位于第一象限，连结、，当DADB 时，求点坐标.BDAOBA D解 设平移后的抛物线表达式为，21(3)4yxb又抛物线经过点(8,0)，A,2134,(0, 4)42yxxB对称轴为直线.
9、3x 记对称轴与轴，交于点.xAB,M N轴，/DNyQ12 又,BDAOBA ，DBANDA 又,DANBAD ,.DANBADADAN ABAD轴，./DNyQANAM ABAO,4 5,8,5ABAOAMQ,5 5,5 22ANAD.5,(3,5)DMD点评 在本题中，观察所给的两个等角，其中在 Rt中，因此想到过点OBAOAB 作的垂线构造直角三角形，再利用相似三角形性质或锐角三角比建立等量关系.但由ADB 于点的不确定，带来所在的三角形三边长无法确定，这种方法很难走下丢.于是DBDA 再仔细观察图形，挖掘图形中的隐含条件，发现一组内错角相等，从而将已知条件“”转化为“” ，这样再利用推出的这一对相等的角，构BDAOBA DBANDA 造相似三角形、建立等量关系，进而解决间题。这样，通过题干信息和图形信息相结合， 推出新的已知条件将问题转化为常见的相似基本图形.可见，在解决问题的过程中思维受阻时，转换思维角度，利用化归思想使得问题得以 顺利解决，这也是思维的自然发展. 在这此类问题中，如何利用已知“等角”成为解决问题的关键.“等角”条件不可能孤 立存在，在解决问题的过程中，我们要对条件之间可能存在的关联作出判断，尝试发现已 有条件的衍生并再加工，让思维趋于自然顺畅，最终达到解决问题的目的.
