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1、专题三 方案设计与动手操作型问题方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求， 寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优方 案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力方案设计型问题，主要有以下几 种类型： (1)讨论材料，合理猜想设置一段讨论材料，让考生进行科学的判断、推理、证明；(2)画图设计，动手操作给出图形和若干信息，让考生按要求对图形进行分割或设 计美观的图案； (3)设计方案，比较择优给出问题情境，提出要求，让考生寻求最佳解决方案 操作型问题是指通过动手实验，获得数学结论的研究性活动这类问题需要动手操作、 合理猜想和
2、验证，有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯常 见类型有：(1)图形的分割与拼接；(2)图形的平移、旋转与翻折；(3)立体图形与平面图形之 间的相互转化三个解题策略 (1)方程或不等式解决方案设计问题：首先要了解问题取材的生活背景；其次要弄清题意， 根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际 问题确定方案设计的种数 (2)择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出，要求综合运用数学知识比较确 定哪种方案合理此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要求，二是要具有代表性 (3)操作型问题：大体可分为三类，即图案设计类、图形拼接类、图形分
3、割类等对于图 案设计类，一般运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决；对于图形拼接类，关键是 抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系，然后逐一组合；对于图形分割类，一般遵 循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程统计测量型方案设计 【例 1】 某学校举行演讲比赛，选出了 10 名同学担任评委，并事先拟定从如下 4 个 方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为 10 分)： 方案 1：所有评委所给分的平均数； 方案 2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分 的平均数； 方案 3：所有评委所给分的中位数； 方案 4：所有评委所给分的众数 为了探究
4、上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验下面是这个 同学的得分统计图： (1)分别按上述 4 个方案计算这个同学演讲的最后得分；(2)根据(1)中的结果，请用统计 的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分解：(1)方案 1 最后得分：(3.27.07.83838.49.8)7.7；方案 2 最后110得分： (7.07.83838.4)8；方案 3 最后得分：8；方案 4 最后得分：8 或 8.4 18 (2)因为方案 1 中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平” ，所以方 案 1 不适合作为最后得分的方案；又因为方案 4 中的众数有两个，从而使众数失
5、去了实际 意义，所以方案 4 不适合作为最后得分的方案 【点评】通过计算得出各个方案的数值，逐一比较1(2012宜宾)如图，飞机沿水平方向(A，B 两点所在直线)飞行，前方有一座高山， 为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶 M 到飞行路线 AB 的距离 MN.飞机能够测量的数 据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方 N 处才测飞行距离)，请设 计一个求距离 MN 的方案，要求： (1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)； (2)用测出的数据写出求距离 MN 的步骤解：(1)如图，测出飞机在 A 处对山顶的俯角为 ，测出飞机在 B 处对山顶的俯角为 ，测出 AB 的
6、距离为 d，连接 AM，BM (2)第一步骤：在 RtAMN 中，tan，AN，第二步骤：在 RtBMN 中，tan，BN，其MNANMNtanMNBNMNtan中：ANdBN，解得：MN，此题为开放题，答案不唯一，只要方案dtantantantan 设计合理利用方程(组)、不等式、函数进行方案设计 【例 2】 (2013茂名)在信宜市某“三华李”种植基地有 A，B 两个品种的树苗出售， 已知 A 种比 B 种每株多 2 元，买 1 株 A 种树苗和 2 株 B 种树苗共需 20 元 (1)问 A，B 两种树苗每株分别是多少元？ (2)为扩大种植，某农户准备购买 A，B 两种树苗共 360 株
7、，且 A 种树苗数量不少于 B 种数量的一半，请求出费用最省的购买方案解：(1)设 A 种树苗每株 x 元，B 种树苗每株 y 元，由题意，得，解得：xy2 x2y20)，答：A 种树苗每株 8 元，B 种树苗每株 6 元x8 y6) (2)设 A 种树苗购买 a 株，则 B 种树苗购买(360a)株，共需要的费用为 W 元，由题意，得，由，得 a120.由，得 W2a2160.k20，W 随a 12（360a） W8a6（360a）) a 的增大而增大，a120 时，W 最小2400，B 种树苗为：360120240 棵最 省的购买方案是：A 种树苗购买 120 棵，B 种树苗购买 240
8、棵【点评】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题的运用、不等式的运用、一次函数 的解析式的运用，解答时建立一次函数关系式是难点2(2014丽水)为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买 A，B 两种型号的污 水处理设备共 10 台已知用 90 万元购买 A 型号的污水处理设备的台数与用 75 万元购买 B 型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：污水处理设备A 型B 型 价格(万元/台)mm3 月处理污水量(吨/台)220180 (1)求 m 的值； (2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过 165 万元，问有多少 种购买方案？并求出每月最多
9、处理污水量的吨数 解：(1)由 90 万元购买 A 型号的污水处理设备的台数与用 75 万元购买 B 型号的污水处理设备的台数相同，即可得：，解得 m18，经检验 m18 是原方程的解，即90m75m3 m18 (2)设买 A 型污水处理设备 x 台，则 B 型(10x)台，根据题意得：18x15(10x)165，解得 x5，由于 x 是整数，则有 6 种方案，当 x0 时，y10，月处理污水量为 1800 吨，当 x1 时，y9，月处理污水量为 22018091840 吨，当 x2 时，y8， 月处理污水量为 220218081880 吨，当 x3 时，y7，月处理污水量为220318071
10、920 吨，当 x4 时，y6，月处理污水量为 220418061960 吨， 当 x5 时，y5，月处理污水量为 220518052000 吨，答：有 6 种购买方案，每 月最多处理污水量的吨数为 2000 吨图形类方案设计 【例 3】 (2014济宁)在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为 6 个单位长 度的圆形纸板，要求同学们： (1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板 分成面积相等的四部分； (2)设计的整个图案是某种对称图形 王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告名称四等分圆的面积 方案方案一方案二方案三
11、选用的工具带刻度的三角板带刻度三角板、量角器、 圆规带刻度三角板、圆规.画出示意图简述设计方案作O 两条互相垂直的直 径 AB，CD，将O 的面 积分成相等的四份.(1)以点 O 为圆心，以 3 个单位长度为半径作圆；(2)在大O 上依次取三 等分点 A，B，C；(3)连 接 OA，OB，OC.则小圆 O 与三等份圆环把O 的 面积四等分(4)作O 的一条直径 AB；(5)分别以 OA，OB 的中点为圆心，以 3 个单 位长度为半径作O1，O2；则 O1，O2和O 中剩 余的两部分把O 的面积 四等分.指出对称性既是轴对称图形又是中心 对称图形轴对称图形既是轴对称图形又是中心 对称图形 【点评
12、】 本题主要考查了利用轴对称设计图案以及轴对称图形、中心对称图形的性质， 熟练利用扇形面积公式是解题关键3认真观察下图的 4 个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征 特征 1：_都是轴对称图形_； 特征 2：_都是中心对称图形_ (2)请在下图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征解：(2)满足条件的图形有很多，只要画正确一个图形的分割与拼接 【例 4】 (2014广安)在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室现有 平行四边形 ABCD 的邻边长分别为 1，a(a1)的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形， 在余下的四边形纸
13、片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，依此类推，请画出剪三次 后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出 a 的值 解：如图，a4，如图，a ，52如图，a ，43如图，a ，53【点评】 本题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知平行四边形 ABCD 将平行四边形分割是解题关键4ABC 是一张等腰直角三角形纸板，C90，ACBC2. (1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图)，比较甲、 乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由 (2)图中甲种剪法称为第 1 次剪取，记所得的正方形面积为 S1；按照甲种剪法，在余 下的ADE 和BDF 中，分
14、别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第 2 次剪取，并记这两个正方形面积和为 S2(如图)，则 S2_ _；再在余下的四个三角形中，用同样的12 方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第 3 次剪取，并记这四个正方形的面积和为 S3(如图)；继续操作下去则第 10 次剪取时，S10_129(3)求第 10 次剪取后，余下的所有小三角形的面积和解：(1)如图甲，由题意得 AEDEEC，即 EC1，S正方形 CFDE1.如图乙，设MNx，则由题意，得 AMMQPNNBMNx，3x2，解得 x，S正方22 23形 PNMQ()2 .1 ，甲种剪法所得的正方形的面积更大；2 238989
15、(2)由题意可得，S1111，S22 ，S322 ，S423 Sn.故 S212121214141418181812n1，S10； (3)结合(2)中求得的规律：Sn，则第 10 次剪取后余下的所有小三角1212912n1形的面积和为 S9S10S10.129图形的平移、旋转与翻折 【例 5】 (2014江西)如图，边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 在 AB 边上(不与点 A，B 重合)，点 F 在 BC 边上(不与点 B，C 重合) 第一次操作：将线段 EF 绕点 F 顺时针旋转，当点 E 落在正方形上时，记为点 G； 第二次操作：将线段 FG 绕点 G 顺时针旋转，当点 F 落在正方形上时，记为点 H； 依此操作下去(1)图中的三角形 EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为_等边三角形_，求此 时线段 EF 的长； (2)若经过三次操作可得到四边形 EFGH； 请判断四边形 EFGH 的形状为_正方形_，此时 AE 与 BF 的数量关系是 _AEBF_； 以中的结论为前提，设 AE 的长为 x，四边形 EFGH 的面积为 y，求 y 与 x 的函数 关系式及面积 y 的取值范围 解：(1)等边三角形
