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1、应用举例应用举例【学习目标学习目标】 1了解仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离、水位等在测量中有用的概念，并弄清它们 的意义 2能够利用解直角三角形的有关知识，解决与仰角、俯角、水平距离、垂直距离、倾斜角、坡度、 坡角等有关的问题；并能解决与等腰三角形、等腰梯形有关的简单实际问题 【主体知识归纳主体知识归纳】 1仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角(如图 623)2方位角 指从起始位置，绕原点旋转到终止位置所成的角 3坡角与坡度坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度（或叫坡比） ，用字母 i 表示，即 i=lh如果把坡面与
2、水平面的夹角记作(叫做坡角 )，那么 i=tan(如图 624)lh【基础知识讲解基础知识讲解】 1要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素间的关系，要根据题意，画出正确 的示意图，利用已学过的图形的性质，作(画)出必要的辅助线，把有关的实际问题转化为解直角三角形的 问题 2在解决有关斜三角形、四边形等问题时，常常把它们转化为解直角三角形的问题，而转化的关键 是如何添加辅助线，添加辅助线的过程必须在解的过程中写清楚；添加辅助线后，要指出在哪个直角三角 形中，选用什么关系式来进行求解 【例题精讲例题精讲】 例 1：如图 625，小山上有一电视塔 CD，由地面上一点 A，测得塔顶 C
3、 的仰角为 30；由 A 点向小山前进 100 米到 B 点，在 B 点测得塔顶 C 的仰角为 60已知 CD20 米，求小山的高度 DE剖析：由题意可知 AB100 米，CD=20 米，ACBCBEA603030，可知 BCAB100 米，要求 DE，只要求得 CE 即可 解：CBE 是ABC 的一个外角， ACBCBEA603030，ACBA BCAB100（米)在 RtBCE 中，sinCBE，BCCECEBCsinCBE100sin60350DECECD50203例 2：如图 626，一电线杆 AB 的影子分别落在地上和墙上，某一时刻，小明竖起 1 米高的直杆，量 得其影长为 0.5
4、m,此时，他又量得电线杆 AB 落在地上的影子 BD 长 3 m，落在墙上的影子 CD 的高为 2 m, 小明用这些数据很快算出了电线杆 AB 的高请你计算电线杆 AB 的高剖析：如果没有墙，知道 AB 影子的长，又知道 1 米直杆的影长，我们会容易算出 AB 的高那么，我 们能否把问题转化为上述情况呢？怎样转化呢？通过观察我们知道，如果 AB 少 2 m 的话，那么它的影子 的长恰好是 3 m所以我们可以过点 C 作 CEAB,垂足为 E，连结 AC显然 CE=BD=3 m问题转化成了我 们常见的、会解决的情形 解：过点 C 作 CEAB,垂足为 E，连结 AC EC=BD=3 m,EB=C
5、D=2 m,AE=ABBE=AB2,解之，得 AB=8211 32,211AB CEAE答：电线杆 AB 的高为 8 m 说明：遇到新问题要注意分析，观察特点，找出解决问题的途径，解决这类问题，常常是把它们转化 为我们熟悉的、常见的、容易解决的问题 例 3：如图 627，某船向正东航行，在 A 处望见某岛 C 在北偏东 60，前进 6 海里到 B 点，测得该 岛在北偏东 30已知在该岛周围 6 海里内有暗礁问若该船继续向东航行，有无触礁危险?请说明理 由剖析：过点 C 向 AB 所在的直线作垂线段 CD，若 CD 的长大于 6 海里，船继续航行就无触礁的危险； 若 CD 的长不大于 6 海里，
6、就有触礁的危险因此，问题就转化为如何求 CD 的长 解：由题意可知，CAB30，CBD60， ABBC6在 RtCBD 中，sinCBD，BCCDCDBCsinCBD6sin603336，船继续向东航行，有触礁的危险3例 4：为了加固一段长江大堤，需要运来砂石和土将堤面加宽 1 m，使坡度由原来的 1：2 变成 1：3(如图 628 所示)，已知原来背水坡长 BC12 m，堤长 100 m，那么需要运来砂石和土多少立方米?(参考数据1.7，2.2)35剖析：本题需要计算的是加宽部分的体积，因而需要先计算加宽部分的横断面面积，横断面是个梯形， 因此过梯形上底两端点作下底的高，从而把梯形问题化归为
7、解直角三角形问题 解：过 C、D 两点作 CEAB 于点 E，DFAB 于点 F在 RtCBE 中，iBC21BECEBE2CE，又 BC12 （m） ，BC2=BE2+CE2,即 5CE2=144CE（m)，BE（m）55125524四边形 CDFE 为矩形，DFCE在 RtADF 中，iAD， （m)，553633,31CEDFAFAFDFABAFEFBE（1） （m）5512S梯形 ABCD(m2） 551272 25512)25512(2 CEABCDS梯形 ABCD1001001968（m3)551272答：需运来砂石和土 1968 m3 例 5：如图 629，在ABC 中，A90，
8、AB6，AC8，点 P 从点 A 开始向点 C、再沿 CB 向点 B 匀速运动，点 Q 从点 A 开始沿 AB 向点 B、再沿 BC 向 C 匀速运动，若 P、Q 两点同时从 A 点出发，则可同 时到达点 C(1)如果 P、Q 两点同时从点 A 出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当点 Q 移动到 BC 边上(Q 与 C 不重合)时，求作以 tanC、tanQPA 为根的一元二次方程 (2)如果 P、Q 两点同时从点A 出发，以原速度按各自的移动路线到某一时刻停止移动，当SPBQ时，求 PA 的长512解：设点 P 的速度为 v，则点 Q 的速度为 2v，tanQCA，s
9、inQCA，t 秒后 P、Q 位置如图 643 5329 所示，则 PAvt，QC162vt (1)过 Q 作 QDAC，垂足为 D，则有 QDQCsinC，CDQCcosC，QD (162vt)，CD（162vt） 53 54DPCDPC（162vt）（8vt）（8vt） 54 53tanQPDtanQPA2 )8(53)216(53vtvtDPQD 即 tanQPAtanQCA，tanQPAtanQCA241124343 23 以 tanQPA、tanQCA 为根的一元二次方程为 x20，即 4x211x6023 411x(2)由题意，知 SPBQ，SPBQSABCSABPSCPQ512即
10、(vt）211vt28053)8)(216(216216821 512vtvtvt解之，得 vt7 或 vt4故当 SBPQ时，PA7 或 PA4512说明：本题中运用整体的思想的求解策略，即这里只要求出 vt 即可，没有必要分别求出 v 与 t 【同步达纲练习同步达纲练习】 1选择题(1)等腰三角形底角为 30，底边长为 2，则腰长等于3A4B2C2323(2)如图 630，在离铁塔150 米的 A 处，用测角仪测得塔顶的仰角为30，又知测角仪高150 米， 则塔高 BE 为A76.5 米B75 米C （751.5）米 （5031.5）米3(3)在高为 h 的山坡上，测得一建筑物顶端与底部的
11、俯角分别为 30和 60，用 h 表示这个建筑的高 是AhBhChh41 32 21 31(4)两条宽度为 1 的带子以 角交叉重叠，如图 631，重叠部分(阴影部分)的面积是AsinBC sin1 cos11 2sin1(5)如图632，C 是 AB 上一点，ACBC2 cm，以AC、CB 为边在AB 同旁作等边ACD 和等边21CBE，则DE 的长为A3cmB2cmC3cm33cm3(6)菱形的较大角是较小角的 3 倍，并且高为 4cm，那么这个菱形的面积为A8cm2Bcm2C16cm223332232cm2 (7)如图 633，在直角梯形 ABCD 中，ABCADBBCD90，AD9，B
12、D12，则 BC 的长为A7BC9.66536(8)一出租车从立交桥头直行了 500 米到达立交桥上 25 米高处，那么这段斜坡路的坡度是A1：20B20：1C：11：399399(9)如图 634，从山顶 A 看地面 B、C 两点，它们的俯角分别是 30和 60，如果 BC50 米，则山 高 AD 等于A50 米B25米C25米25（231）米310）如图 635，为测河两岸相对两电线杆 A、B 间的距离，在距 A 点 16 m 的 C（AC 与河对岸平行） ， 测得ACB=46，则 A、B 间的距离为A16sin46mB16tan46mC16cos46m D16cot46m (11)如图
13、636，一缉查船上的警察在A 处看一艘可疑船只在北偏东60方向，这只缉查 船以 28 海里/时的速度向正东航行半小时到达B 处，在 B 处看见可疑船只 M 在北偏东 15方向， 此时两船的距离是A7海里B7 海里C14海里1422海里 2填空题(1)已知在一段坡面上，铅直高度为，坡面长为 2，则坡度 i_，坡角33_；(2)等腰三角形的腰和底之比为 1：，则底角为_，顶角为_；2(3)如图637，已知堤坝的横断面为梯形， AD坡面的水平宽度为3m，CD4m，B60，则3斜坡 AD 的铅直高度是_；斜坡 AD 的长是_； 堤坝底 AB 的长是_；坡角 A 的度数是_； 斜坡 BC 的长是_； (
14、4)如图638，沿AC 方向开山修渠，为了加快施工进度，要在山的另一侧同时施工，从 AC 上一点B，取 ABD150，BD200 米，D60当开挖点E 选在离D_米时，就能使A、C、E 在一条直线上(5)一气球在离地面 55 米的上空，此时一观测器测得它的仰角为 30，则观测器与气球间的距离是 _ 3如图 639，一轮船位于灯塔 P 的北偏东 60方向的 A 处，它沿正南方向航行 70 海里后，到达位 于灯塔 P 的南偏东 30方向上的 B 处，这时，轮船所在的 B 处距离灯塔 P 有多远?4如图 640，两座楼房 AB 和 CD 间的水平距离 BD 是 78 米，从一楼顶 A 测得另一楼顶 C 和楼底 D 的俯角分别是 30和 45，求这两座楼的高度5等腰三角形的底边长为 20cm，面积为 cm2，求各角的度数331006某乡需筑建横断面为等腰梯形的水库堤坝 400 米，横断面的尺寸如图 641(单位：米)，计算在 平地上筑此堤坝共需多少土方?7为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为 12 米，下底宽为 2 米， 坡度为1：0.8 的渠道(其横断面为等腰梯形)，并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了 0.6 米(如图 642) 求：(1)渠面宽 EF； (2)修
